Развиваю формулу Карно для суммы R плюс r

Формулу для суммы радиусов описанной окружности R и вписанной окружности r  великий Карно нашел уже в стародавние времена (приблизительно в 1775 году). Мне же было интересно узнать: как выглядит формула для суммы расстояний от вершин треугольника до ортоцентра в зависимости только от сторон треугольника a, b, c ?
На днях без особого труда получил нехилое выражение и даже опубликовал его в Википедии. На иллюстрации - в большой фиолетовой рамке. Смотрится она ничуть не хуже формулы Герона для площади треугольника. В моей формуле знаменатель - это четыре площади треугольника , то есть 4S.
Формулу успешно проверил численно по программе

rem Сумма расстояний от вершин треугольника до ортоцентра
a=3.8:b=4.8:c=7
p=a+b+c
p1=a+b-c
p2=a-b+c
p3=-a+b+c
r=sqrt(p1*p2*p3/(4*p))
R=a*b*c/sqrt(p*p1*p2*p3)
sum1=2*(R+r)
sum2=(2*a*b*c+p1*p2*p3)/(sqrt(p*p1*p2*p3))
print sum1 using "####.########"
print sum2 using "####.########"

При любых задаваемых сторонах треугольника Наблюдаем тождество.



4 июня 2023 г.