Индуктивное правило для алгебр Гамильтона-Кэли

         Индуктивное правило для алгебр Гамильтона-Кэли
        Первая алгебра этого семейства была опубликована Сэром Гамильтоном "на мосту" в 1843 году. Таблица умножений единиц алгебры Гамильтона самая простая

        +0 +1 +2 +3
        +1  -0 +3  -2
        +2  -3  -0 +1
        +3 +2  -1  -0

 где через: +x (-x) обозначен координатный вектор четырёхмерного пространства +e (-e) с индексом равным х. Отчётливо видна рамка, в которой в первом столбца (первой строке) идут имена подряд со знаком "+", тогда как в последнем столбце знаки чередуются (в последней строке идут парами и тоже чередуются). Пространство внутри рамки, являющееся квадратом 2 на 2, заполняется первым столбцом, элементы которого заполняют столбец "+2": "+3, +2", далее смена знака на противоположный, и с противоположного конца: "-1", "-0". Затем столбец отражается от главной диагонали и таблица заполнена.
        Следующий шаг сделал Артур Кэли, опубликовав таблицу векторного умножения единичных векторов для восьмимерного пространства

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1  -0 +3  -2 +5  -4  -7 +6
        +2  -3  -0 +1 +6 +7  -4  -5
        +3 +2  -1  -0 +7  -6 +5  -4
        +4  -5  -6  -7  -0 +1 +2 +3
        +5 +4  -7 +6  -1  -0  -3 +2
        +6 +7 +4  -5  -2 +3  -0  -1
        +7  -6 +5 +4  -3  -2 +1  -0

 В ХХ веке Евгений Кузьмин в "Математической энциклопедии" опубликовал другую таблицу умножения единичных вектором восьмимерного пространства, отличающуюся только заполнением знаками, однако внешне более похожую на таблицу умножения Уильяма Гамильтона, чем таблица Артура Кэли

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1  -0 +3  -2  -5 +4  -7 +6
        +2  -3  -0 +1  -6 +7 +4  -5
        +3 +2  -1  -0  -7  -6 +5 +4
        +4 +5 +6 +7  -0  -1  -2  -3
        +5  -4  -7 +6 +1  -0  -3 +2
        +6 +7  -4  -5 +2 +3  -0  -1
        +7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0
        Действительно, раздвигаем её точно по средине на 4 части и отчетливо видим, что четвёртый (теперь тоже ставший первым) столбец заполнен первым столбцом рамки: по правилу: рамки не касаемся, а дальше заполняем столбец от "-0" вниз: "+1", "+2"; "+3"; далее сверху (меняем знак на противоположный) и продолжаем от "+4" вниз: "-5", "-6", "-7". Не исключено, что это чистая случайность, однако...
        Однако не менее отчётливо видно, что предыдущий третий столбец (теперь ставший в том же самом смысле последним) заполнен последним столбцом рамки: от "-0" вниз: "+7", "+6", "-5"; пропускаем "-4", сверху "+3"; меняем знак на противоположный и продолжаем от "+3": "-2", "-1" - а это уже не похоже на случайное совпадение. Но это ещё не всё!

        +0 +1 +2 +3    +4 +5 +6 +7
        +1  -0 +3  -2     -5 +4  -7 +6
        +2  -3  -0 +1     -6 +7 +4  -5
        +3 +2  -1  -0     -7  -6 +5 +4

        +4 +5 +6 +7     -0  -1  -2  -3
        +5  -4  -7 +6    +1  -0  -3 +2
        +6 +7  -4  -5    +2 +3  -0  -1
        +7  -6 +5  -4    +3  -2 +1  -0

        Оказывается, четвёртая строка (первая строка нижней половины) точно по тому же самому правилу заполняется первой строкой: ("+4" пропускаем) "+5", "+6", "+7"; затем смена знака и с противоположной стороны: "-3", "-2", "-1".
        Третья строка (последняя строка верхней половины) заполняется последней строкой рамки: (от "-0" влево пропускается уже заполненное "-7",  "-6", "+5"; "+4" пропускается, (смена знака) и с другой стороны строки от "+3": "+2", "-1",  "-0" уже стоит.
        Получается, что российский математик Евгений Кузьмин открыл "индуктивное правило" расчленения большой таблицы умножения гиперкомплексных чисел Гамильтона-Кэли на 4 таблицы половинного размера, однако вообще не обратил на это никакого внимания. Было бы чрезвычайно глупо и далее следовать подобной традиции!