Формальное определение алгебр Гамильтона-Кэли

                Формальное определение алгебр Гамильтона-Кэли

        Минимальная алгебры Гамильтона-Кэли содержит одну единицу и ей соответствуют натуральные числа, а таблица умножения: 1*1 = 1, состоит из одной клеточки.
        В общем случае таблица умножения состоит из "2 в cтепени n" единиц и содержит (2 в cтепени n)*(2 в cтепени n) клеток.
        Правила перехода к следующей таблице умножения:
        1. Таблица, скажем для 2 имён, обладающих знаками, имеет вид
            +x +y
            +y  -x
        2. Следующая таблица cтроится из удвоенного числа имен: x, y, x', y' и на первом шаге имеет вид
            +x  +y  +x' +y'
            +y   -x
            +x'  -y'  -x
            +y' +x'  -y  -x
        3. На втором шаге осуществляется "отражение от главной диагонали со сменой знака на противоположный"
            +x  +y  +x' +y'
            +y   -x  +y' -x'
            +x'  -y'  -x  +y
            +y' +x'  -y   -x

        Начинаем с комплексного числа.
        +1  +i
        +i  -1

        Следующая таблица
         +1  +i  +1' +i'           +1  +i  +1' +i'
         +i   -1              -->     +i  -1  +i'  -1'
         +1'  -i'  -1                +1' -i'   -1  +i
         +i' +1'  -i   -1             +i' +1'  -i  -1

        Переписываем его в именах: 1, i, j, k и получаем таблицу умножения кватерниона Гамильтона
        +1 +i +j +k
        +i  -1 +k  -j
        +j  -k  -1 +i
        +k +j  -i  -1

       Следующая таблица
+1  +i  +j  +k  +1' +i' +j' +k'   +1  +i  +j  +k  +1' +i' +j' +k'
+i  -1  +k  -j                +i   -1  +k  -j  +i'  -1'  -k' +j'
+j  -k  -1  +i                +j   -k   -1  +i  +j' +k' -1'  -i'
+k  +j  -i  -1                -->        +k  +j    -i   -1  +k' -j' +i'  -1
+1' -i' -j' -k' -1                +1'   -i'   -j'   -k' -1  +i  +j  +k
+i' +1' -k' +j' -i  -1                +i' +1'    -k' +j'  -i   -1   -k +j
+j' +k' +1' -i' -j  +k  -1              +j' +k'  +1'  -i'  -j  +k   -1   -i
+k' -j' +i' +1' -k  -j  +i  -1         +k'   -j'  +i' +1'  -k   -j  +i   -1
      Переписываем его в именах: 0, 1, 2, 3. 4. 5. 6. 7  и получаем таблицу умножения Артура Кэли.
         +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
         +1  -0 +3 -2  +5  -4  -7 +6
         +2 -3  -0 +1 +6 +7  -4  -5
         +3 +2 -1  -0 +7  -6 +5  -4
         +4  -5 -6  -7 -0  +1 +2 +3
         +5 +4 -7 +6  -1  -0  -3 +2
         +6 +7 +4  -5  -2 +3  -0 -1
         +7 -6 +5 +4  -3  -2 +1  -0
      Следующая таблица
         +0  +1  +2   +3  +4  +5  +6  +7  +0' +1' +2' +3' +4' +5' +6' +7'
         +1  -0  +3   -2  +5   -4  -7  +6
         +2  -3  -0   +1  +6   +7  -4  -5
         +3  +2  -1   -0  +7   -6  +5  -4
         +4  -5  -6   -7  -0   +1  +2  +3
         +5  +4  -7   +6  -1   -0  -3  +2
         +6  +7  +4   -5  -2   +3  -0  -1
         +7  -6  +5   +4  -3   -2  +1  -0
         +0' -1'  -2'   -3'  -4'  -5'  -6'  -7' -0
         +1' +0' -3'  +2' -5'  +4' +7' -6' -1  -0 
         +2' +3' +0'  -1' -6'  -7' +4' +5' -2  +3  -0
         +3' -2' +1'  +0' -7'  +6' -5' +4' -3  -2  +1  -0
         +4' +5' +6'  +7' +0'  -1' -2' -3' -4  +5  +6  +7  -0
         +5' -4' +7'   -6' +1'  +0' +3' -2' -5  -4  +7  -6  +1  -0
         +6' -7' -4'  +5'  +2'  -3' +0' +1' -6  -7  -4  +5  +2  -3  -0
         +7' +6' -5'  -4' +3' +2'  -1' +0' -7  +6  -5  -4  +3  +2  -1  -0
     Заполнение знаками (см. рис.). Это формальное определение седениона. И так далее...