В чём отличие октонионов Кузьмина и Кэли

        В чём отличие октонионов Кузьмина и Кэли

        Октонионы Кузьмина (см. рис.) и Кэли изоморфны. Это не я доказывал, это великая Академия Наук СССР в годы своего расцвета доказывала. Однако они разные! Октонион Кэли демонстрирует всю мощь теоретико-множественного метода, позволяя радикально обобщить понятие "следующий" на алгебры Гамильтона-Кэли, позволяя дать формальное определение бесконечной последовательности таблиц умножения по двум точкам: таблице умножения Гамильтона и таблице умножения Кэли, подчёркивая их единство.
       Таблица умножения Кузьмина, наоборот, подчеркивает их глубочайшее различие, чрезвычайно важное для физики, потому что дает формальное определение бесконечной последовательности всё более слабых абстрактных симметрий, которые другими методами увидеть невозможно, но о существовании которых тем не менее следует знать. По таблице умножения Кузьмина отчётливо видно, что его рамка более симметрична, чем рамка октониона Кэли

Кэли                Кузьмин
+000 +001 +010 +011 +100 +101 +110 +111     +000 +001 +010 +011 +100 +101 +110 +111
+001 -000 +011 -010 +101 -100 -111 +110        +001 -000 +011 -010 -101 +100 -111 +110
+010 -011 -000 +001 +110 +111 -100 -101        +010 -011 -000 +001 -110 +111 +100 -101
+011 +010 -001 -000 +111 -110 +101 -100        +011 +010 -001 -000 -111 -110 +101 +100
+100 -101 -110 -111 -000 +001 +010 +011        +100 +101 +110 +111 -000 -001 -010 -011
+101 +100 -111 +110 -001 -000 -011 +010        +101 -100 -111 +110 +001 -000 -011 +010
+110 +111 +100 -101 -010 +011 -000 -001        +110 +111 -100 -101 +010 +011 -000 -001
+111 -110 +101 +100 -011 -010 +001 -000        +111 -110 +101 -100 +011 -010 +001 -000

        Но, что очень важно, в рамке Кузьмина отчётливо видно, что причина асимметрии рамки перемещается из левого нижнего угла кватерниона рамки в правый верхний угол октониона. Говоря "шершавым языком формализма", линия таблиц умножения Евгения Кузьмина, в которой знаки в последнем столбце рамки просто чередуются, позволяет видеть бесконечную последовательность все более слабых нарушений симметрии. В окружающем нас мире нарушена симметрия электрического заряда и это отчетливо видно всем. Но могут существовать и более слабые нарушения симметрии, несомненно более важные, потому что обнаружить их значительно труднее (наше сознание отказывается их признавать). С точки зрения физики гиперкомплексные числа - это ограниченные объекты над полем простого числа "два в степени эн минус единица". Эти конкретные объекты следует детально исследовать, потому что не исключено, что именно в них скрываются от нас тайны микромира.
        Говоря языком алгебры, умножение кватернионов ассоциативно (скобки в произведениях можно расставлять произвольно). В случае октонионов свойство ассоциативности сохраняется в произведениях, составленных из двух элементов (цепей произвольной длины). Следующее число Мерсенна (вида 2 в степени эн минус единица) - 31. В этом случае естественно ожидать дальнейшего ослабления  свойства ассоциативности, скажем, на длину цепи или цикличность её отрезков, что может свидетельствовать о плоскостном формате ассоциативности. Объемная ассоциативность может проявиться на (128 - 1 = 127) числе мнимых единиц, в свою очередь, структуры связанные со временем могут появиться при (8192 - 1 = 8191) числе мнимых единиц.