Алгебры Гамильтона-Кэли индуктивное правило

         Алгебры Гамильтона-Кэли (индуктивное правило)
        Первая алгебра этого семейства была опубликована Сэром Гамильтоном "на мосту" в 1843 году. Таблица умножений единиц алгебры Гамильтона самая простая и самая известная

        +0 +1 +2 +3
        +1 -0 +3 -2
        +2 -3 -0 +1
        +3 +2 -1 -0

 где через: +x (-x) обозначен координатный вектор четырёхмерного пространства +e (-e) с индексом равным х. Отчётливо видна рамка, в которой в первом столбца (первой строке) идут имена подряд со знаком "+", тогда как в последнем столбце знаки чередуются (в последней строке идут парами и тоже чередуются).Пространство внутри рамки, являющееся квадратом 2 на 2, заполняется первым столбцом, элементы которого заполняют столбец "+2": "+3, +2", далее смена знака на противоположный, и с противоположного конца: "-1", "-0". Затем столбец отражается от главной диагонали и таблица заполнена.
        Следующий шаг сделал Артур Кэли, опубликовав таблицу векторного умножения единичных векторов для восьмимерного пространства

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 -0 +3 -2 +5 -4 -7 +6
        +2 -3 -0 +1 +6 +7 -4 -5
        +3 +2 -1 -0 +7 -6 +5 -4
        +4 -5 -6 -7 -0 +1 +2 +3
        +5 +4 -7 +6 -1 -0 -3 +2
        +6 +7 +4 -5 -2 +3 -0 -1
        +7 -6 +5 +4 -3 -2 +1 -0

 В ХХ веке Евгений Кузьмин в "Математической энциклопедии" опубликовал другую таблицу умножения единичных вектором восьмимерного пространства, отличающуюся только заполнением знаками, однако внешне более похожую на таблицу Сэра Гамильтона, чем таблица Артура Кэли

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 -0 +3 -2 -5 +4 -7 +6
        +2 -3 -0 +1 -6 +7 +4 -5
        +3 +2 -1 -0 -7 -6 +5 +4
        +4 +5 +6 +7 -0 -1 -2 -3
        +5 -4 -7 +6 +1 -0 -3 +2
        +6 +7 -4 -5 +2 +3 -0 -1
        +7 -6 +5 -4 +3 -2 +1 -0
        Действительно, раздвигаем её точно по средине на 4 части и отчетливо видим, что четвёртый (теперь тоже ставший первым) столбец заполнен первым столбцом рамки: по правилу: рамки не касаемся, а дальше заполняем столбец от "-0" вниз: "+1", "+2"; "+3", "+4", заполнены рамкой; меняем знак на противоположный и продолжаем от "+4" вниз: "-5", "-6", "-7". Не исключено, что это чистая случайность, однако...
        Однако, не менее отчётливо видно, что предыдущий третий столбец (теперь ставший в том же самом смысле последним) заполнен последним столбцом рамки: от "-0" вниз: "+7", "+6", "-5"; пропускаем "-4", сверху "+3"; меняем знак на противоположный и продолжаем от "+3": "-2", "-1" - а это уже не похоже на случайное совпадение. И это ещё не всё!

        +0 +1 +2 +3    +4 +5 +6 +7
        +1 -0 +3 -2    -5 +4 -7 +6
        +2 -3 -0 +1    -6 +7 +4 -5
        +3 +2 -1 -0    -7 -6 +5 +4

        +4 +5 +6 +7    -0 -1 -2 -3
        +5 -4 -7 +6    +1 -0 -3 +2
        +6 +7 -4 -5    +2 +3 -0 -1
        +7 -6 +5 -4    +3 -2 +1 -0

        Оказывается, четвёртая строка (первая строка нижней половины) по тому де самому правилу заполняется первой строкой: ("+4" пропускаем) "+5", "+6", "+7"; затем смена знака и с противоположной стороны: "-3", "-2", "-1". Третья строка (последняя строка верхней половины) заполняется последней строкой рамки: (от "-0" влево пропускается уже заполненное "-7",  "-6", "+5"; "+4" пропускается, (смена знака) и с  другой стороны строки от "+3": "+2", "-1",  "-0" уже стоит.
       Евгений Кузьмин фактически опубликовал "индуктивное правило" расчленения большой таблицы на 4 таблицы половинного размера, однако не обратил на это обстоятельство вообще никакого внимания. Нам было бы недальновидно и далее следовать его примеру, потому что заполнение таблицы Кузьмина описывается теми же самыми словами. Средний столбец "4" заполняется первым столбцом рамки: от "-0" вниз заполняем: "+1, +2, +3". Далее сверху (со сменой знака на противоположный "4" пропускаем, потому что уже наделён знаком, заполняем: "-5", "-6", "-7". Далее отражаем от главной диагонали и смотрим, чем надо заполнять строку (отражение - это подсказка, которая говорит, что эту строку надо заполнять первой строкой, начиная с "+7": "+7", "+6", "+5", "+4", меняя знак на противоположный, заполняем с противоположного конца: "-3", "-2", "-1".
        Заполняем соседний предыдущий столбец последним столбцом: "+7", "+6", "-5", "-4", меняя знак на противоположный, заполняем сверху: "+3", "-2", "+1" (она ни с чем не конфликтовала). "+7" отражается от диагонали в "-7", далее в "-6", "+5", следовательно её надо заполнять последней строкой, начиная с "-6": "-6", "+5" ("+4" уже заполнено, пропускаем), далее смена знака на противоположный, "+3" пропускаем и заполняем "+2", "-1". Двойной крест заполнен, рамка разделена на 4 рамки, из которых правая верхняя заполнена ранее. Там мы заполняли столбец "2" столбцом "0". Теперь мы продолжим ранее начатое. Воздержимся ставить перед "4", "+5" - уже заполнена, сменяя знак, пропускаем "+6", тогда как "7" заполнить можем, потому что знак был сменён на противоположный, поэтому "-7". Далее строку "+6" заполняем строкой "+4": "+7", "+6", смена знака, противоположная граница рамки: "-5", "-4".
        Ваш покорный слуга, наоборот, это обнаружил и послал статью в журнал "Экономика и математические методы", где она лежит без движения уже 2 года. Смысл статьи мне удалось увидеть, и зафиксировать увиденное в виде рисунка. Комитетион не умещается на странице текстового редактора Проза.ру, поэтому я ограничился рисунком построения таблицы умножения седенионов (см. рис.).
        Пояснения к рисунку. Отправляется от кватерниона Гамильтона (в статье отправляются от натурального числа "1"). Выделяем в октонионе две зоны "красный пятиугольник" и "зелёный треугольник". Механически переносим их содержимое вниз с заменой знака на противоположный. К числам из "красного пятиугольника дополнительно прибавляем" "4". Результат отражаем от главной диагонали пятиугольника со сменой знака на противоположный, заполняя пространство под главной диагональю, состоящей из нулей, отражая от которой заполненное пространство под главной диагональю (со сменой знака на противоположный), получаем октонион Кэли.
        В свою очередь, проделывая эту же самую работу над незаполненной частью таблицы умножения седениона (только прибавляя не "4" а "8"), получаем таблицу умножения 15 мнимых единиц сиденеонов. На следующем шаге возникает таблица умножения для 31 мнимой единицы комитетиона.