Кватернизация

             Кватернизация
        "Вначале было Слово" – язык позволяет обозначить то, чего ещё никогда не было, а технология иногда может воплощать в жизнь то, что всего только было обозначено посредством языка. Коллективизация, электрификация, компьютеризация, алгебраизация, кватернизация...
        Сэр Гамильтон в 1843 году ввёл кватернионы 1, i, j, k
     1 +i +j +k           +00 +01 +10 +11
    +i –1 +k –j          +01 –00 +11 –10
    +j –k –1 +i          +10 –11 –00 +01
    +k +j –i –1 или  +11 +10 –01 –00.
         Последнее представление, позволяет определить кватернион, как истинностную XOR–таблицу, которая при помощи двух имён 0 и 1 (истина и ложь) определяет 4 имени, формально выражаясь, отправляясь от двух чисел, вводит 4 вектора: 00, 01, 10, 11, истинностных состояний, соответствующих этим именам. Самое главное, что немедленно бросается в глаза, что эти истинностные состояния известны логике, как логическая операция XOR:
                XOR(00, 00) = XOR(01, 01) = XOR(10, 10) = XOR(11, 11) = 00 и т.д.
        И это не случайность, в том же самом году Артур Кэли опубликовал обобщение кватерниона на трехмерные истинностные вектора и получил Таблицу умножения октонионов
+000 +001 +010 +011 +100 +101 +010 +011
+001 –000 +011 –010 +101 –100  –111 +110         
+010 –011 –000 +001 +110  +111 –100 –101
+011 +010 –001 –000  +111 –110 +101 –100
+100 –101 –110  –111 –000 +001 +010 +011
+101 +100  –111 +110 –001 –000 –011 +010
+110  +111 +100 –101 –010 +011 –000 –001
+111 –110 +101 +100 –011 –010 +001 –000. У Артура Кэли 8 имён, соответствующих восьми истинностным состояниям переменной и в каждой клеточке таблицы записано трехмерное имя z = x XOR y.
        Обратите внимание, мы только что подошли к первому шагу – алгебраизации"
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 +3 –2 +5 –4 –7 +6
+2 –3 –0 +1 +6 +7 –4 –5
+3 +2 –1 –0 +7 –6 +5 –4
+4 –5 –6 –7 –0 +1 +2 +3
+5 +4 –7 +6 –1 –0 –3 +2
+6 +7 +4 –5 –2 +3 –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0
        А на следующем этапе нельзя не увидеть, что числа не случайно заполняют "таблицу умножения". Действительно,
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 __ __ __ __  –7 +6
+2 __ –0 __ __  +7 __ –5
+3 __ __ –0  +7 __ __ –4
+4 __ __  –7 –0 __ __ +3
+5 __  –7 __ __ –0 __ +2
+6 +7  __ __ __ __ –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0
        В столбце "+4" числа тоже располагаются не случайно: от "+7" вверх записывается первый столбец: +7, +6 (+4 уже стоит), затем снизу, со сменой знака на противоположный, продолжаем снизу вверх: –3 (уже записано), –2, –1,–0 (уже записано). В строке "+4" картина та же самая, от "–0" вписывается первая строка таблицы: +1, +2, +3 (уже записан),  затем слева в ту же строку, со сменой знака на противоположный, продолжаем: –5, –6, –7 (уже записано).
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 __ __ +5 __  –7 +6
+2 __ –0 __ +6  +7 __ –5
+3 __ __ –0  +7 __ __ –4
+4 –5 –6  –7 –0 +1 +2 +3
+5 __  –7 __ –1 –0 __ +2
+6 +7  __ __ –2 __ –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0
        Но это не всё! Оказывается последняя строка и последний столбец тоже записываются, только в строку "+3" и в столбец "+3". Действительно, строка +3 заполняется последней строкой от "+7" влево: –6, +5, (–4 пропускаем, потому что уже заполнена) затем продолжаем заполнять строку слева (со сменой знака на противоположный): +3 (уже заполнено), +2, –1.
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 __ __ +5 __  –7 +6
+2 __ –0 __ +6  +7 __ –5
+3 +2 –1 –0  +7 –6 +5 –4
+4 –5 –6  –7 –0 +1 +2 +3
+5 __  –7 __ –1 –0 __ +2
+6 +7  __ __ –2 __ –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0.
        И в завершение заполняем столбец "+3" последним столбцом от "–7" вниз: +6, –5, (+4 уже заполнен); далее продолжаем сверху (со сменой знака на противоположный): (+3 уже заполнен пропускаем), –2, +1, (–0 уже заполнен, пропускаем).
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 __ –2 +5 __  –7 +6
+2 __ –0 +1 +6  +7 __ –5
+3 +2 –1 –0  +7 –6 +5 –4
+4 –5 –6  –7 –0 +1 +2 +3
+5 __  –7 +6 –1 –0 __ +2
+6 +7  __ –5 –2 __ –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0.
        Два столбца и две строки разбивают поле таблицы умножения на 4 таблицы половинного размера (на четыре кватерниона, в каждом из которых не заполнена одна из двух диагоналей). Кстати, точно такую же работу можно проделать над таблицей умножения октонионов, опубликованную в "Математической энциклопедии" сотрудником Математического отделения МИАН (Сибирское отделение) Евгением Кузьминым (таблица другая, (см. рис.) однако объект тот же самый, более того заполняется она той же самой процедурой, использующей первую и последнюю строку (первый и последний столбец). Главное в таблицах не знаки, главное – процесс заполнения. Отчётливее всего это видно на таблице умножения кватернионов
    +h +i +j +k          +00 +01 +10 +11
    +i –h +k –j          +01 –00 +11 –10
    +j –k –h +i          +10 –11 –00 +01
    +k +j –i –h или  +11 +10 –01 –00.
        Действительно, мы же можем вместо имён: +h, +i, +j, +k, – взять имена: +h, –i, +j, +k. В результате, знаки в столбце "i" и строке "i" сменятся на противоположные
    +h –i +j +k
    –i –h –k +j
    +j +k –h +i
    +k –j –i –h
 однако в таблице умножения все имена должны иметь знак "+" (согласно Правил записи таблиц умножения), поэтому   
    +h +i +j +k
    +i –h –k +j
    +j +k –h +i
    +k –j –i –h – суть таблица умножения изоморфного кватерниона (сохраняется главное свойство кватерниона – последняя строка таблицы умножения является зеркальным отражением последнего столбца со сменой знака на противоположный.

        Отчётливо видно, что таблица умножения октонионов состоит из четырёх кватернионов
+0 +1 +2 +3   +4 +5 +6 +7
+1 –0 +3 –2   +5 –4 –7 +6
+2 –3 –0 +1   +6 +7 –4 –5
+3 +2 –1 –0   +7 –6 +5 –4

+4 –5 –6 –7   –0 +1 +2 +3
+5 +4 –7 +6   –1 –0 –3 +2
+6 +7 +4 –5   –2 +3 –0 –1
+7 –6 +5 +4   –3 –2 +1 –0
        Здесь мы сталкиваемся с основным феноменом теории множеств, лежащей в основаниях математики: главное не то, как эти системы были получены впервые, а главное то, что они сами о себе "говорят". Будь то юлианский календарь, или Вифлеемская звезда или таблица умножения гиперкомплексных единиц, а она "говорит", что последние две двоичные цифры определяют имена кватерниона, тогда как все остальное - суть знаки и "довески" к именам. Действительно
+0 +1 +2 +3   +0 +1 +2 +3
+1 –0 +3 –2   +1 –0 –3 +2
+2 –3 –0 +1   +2 +3 –0 –1
+3 +2 –1 –0   +3 –2 +1 –0 ("довесок" к именам второй таблице равен 4, а знаки имен вне главной диагонали заменены на противоположные)

+0 –1 –2 –3   –0 +1 +2 +3
+1 +0 –3 +2   –1 –0 –3 +2
+2 +3 +0 –1   –2 +3 –0 –1
+3 –2 +1 +0   –3 –2 +1 –0 (довесок к первой таблице равен 4, а знаки имен в последних трёх столбцах заменены на противоположные; довесок ко второй таблице равен 0,  а знаки имен вне диагонали в последних трёх строках заменены на противоположные).
        Фактически мы обнаружили более эффективный алгоритм "удвоения" таблицы, работа которого будет проиллюстрирована на "удвоении октониона Кэли". Отправляемся от октониона Кэли
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1 –0 +3 –2 +5 –4 –7 +6
+2 –3 –0 +1 +6 +7 –4 –5
+3 +2 –1 –0 +7 –6 +5 –4
+4 –5 –6 –7 –0 +1 +2 +3
+5 +4 –7 +6 –1 –0 –3 +2
+6 +7 +4 –5 –2 +3 –0 –1
+7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0. Под ним размещаем его же, умножая все столбцы на –1, кроме первого

+0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7    +0
+1 +0 –3 +2 –5 +4 +7 –6    –1 –0
+2 +3 +0 –1 –6 –7 +4 +5    –2 +3 –0
+3 –2 +1 +0 –7 +6 –5 +4    –3 –2 +1 –0
+4 +5 +6 +7 +0 –1 –2 –3    –4 +5 +6 +7 –0
+5 –4 +7 –6 +1 +0 +3 –2    –5 –4 +7 –6 +1 –0
+6 –7 –4 +5 +2 –3 +0 +1    –6 –7 –4 +5 +2 –3 –0
+7 +6 –5 –4 +3 +2 –1 +0    –7 +6 –5 –4 +3 +2 –1 –0. После чего всё, что лежит ниже главной диагонали верхней таблицы, переносим вправо–вниз с противоположным знаком, заполнив нижнюю половину удвоенного объекта, отражаем его от главной диагонали со сменой знака на противоположный. Осталось прибавить к именам второй и третьей четверти удвоенной таблицы "число 8".
        Основным рабочим элементом этого этапа является "кватернион Гамильтона", поэтому этот этап исследования гиперкомплексных систем можно охарактеризовать, как "кватернизация".