Лучше уметь решать системы

Многие геометрические и иные задачи сводятся к решению нелинейной системы двух уравнений. Например задача, связанная с треугольником, что по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=xfSdo7NnzX8
Естественно, столь частный случай на видео не дает представления о глобальной проблеме, которую хорошо бы прочувствовать. Для начала поймем, что же означают по сути два уравнения? Первое - это окружность с центром в начале координат. Второе - обычная кососимметричная гипербола. Решения существуют в том случае, когда эти две кривые пересекаются,или же в частном случае касаются.  В общем случае будем иметь четыре точки, координаты которых нужно найти. Понятно, что окружность - кривая абсолютно симметричная. Гипербола же, как говорилось выше - кривая косо симметричная. Поэтому координаты каждой из четырех точек пересечения, будут иметь значения, выраженные лишь двумя числами. Формулы этих двух чисел приведены в фиолетовой рамке. На рисунке они четко проставлены для задачи из видео. Визуально ясно,в каком месте и с каким знаком проставляются найденные числа, являющиеся координатами (x,y) четырёх точек пересечения 1,2,3,4. Поскольку наш треугольник прямоугольный, то углы С находим через арктангенсы. Это видно из текста программы:

rem гипербола пересекает окружность
s=2:a=4
x=sqrt(a^2-sqrt(a^4-16*s^2))/sqrt(2)
y= sqrt(a^2-sqrt(a^4-16*s^2))*
(sqrt(a^4-16*s^2)+a^2)/(4*sqrt(2)*s)
print x,y
c1=180/pi*atan(x/y)
c2=180/pi*atan(y/x)
print c1,c2

результаты:
1.03528 3.8637
15 75
Таким образом становится ясным, что выгодней всего достигнуть общего решения - это алгебраически чётко решить систему двух уравнений. Сделать такое достаточно просто: второе тождество даёт y=2*s/x. Подстановка в первое уравнение приводит к биквадратной зависимости
x^4-a^2*x^2+4*s^2.
Данная школьная задача приводит к одному из четырёх корней, что в иллюстрации. Дело, как говорится, минутное, голову ломать не приходится, а решение получим на удивление красивое! К тому же анализ ОДЗ позволяет определять допустимые параметры "a" и "s".

1 июля 2023 г.