Чем проще, тем лучше!

Был на одном лектории по математике в городе Тбилиси. Решалось аналитически степенное уравнение, что в иллюстрации. Боже мой! Какие только замены не производил медиум теории чисел! Исписал раз пять огромную классную доску, потратив несколько кусков белоснежного мела. Моя рука устала физически повторять записи в большой тетради объемом в 96 листов. Только одна мысль вертелась в голове: а нельзя ли такого рода примеры решать значительно проще?
По приезду домой такой простой способ обнаружил довольно быстро. (Метод перебора значений х от единицы до победного рассматривать не стал по причине его тривиальности). Если уравнение диофантово и все члены тождества разные, то выгодно рассуждать так. Самый большой вклад в правую часть f дает, естественно пятерка в степени икс. Остальные, более мелкие слагаемые, вносят лишь обертоны, которые на порядки меньше. Поэтому достаточно из правой части f извлекать корни, на первый взгляд, из пяти, шести, семи и восьми. Что я и сделал. Приблизительные результаты смотрите ниже формулы. И только корень из семи дал результат, близкий к максимальному коэффициенту 5. Всего на 16 процентов больше. Эти 16%, естественно и дают остальные три слагаемые. Итак, предварительно получили, что у нас x=7. Далее можно либо подставить в уравнение и получить тождество, либо убедиться методом итерации Ньютона по проге:

rem a^x+b^x+c^x+d^x=f
x0=7.5
a=2:b=3:c=4:d=5
f=96824
print " x0 = ";:print x0
print "---------------------------------"
print "  N       x0             x "
print "---------------------------------"
for i=1 to 25
z=a^x0+b^x0+c^x0+d^x0-f
z1=a^x0*log(a)+b^x0*log(b)+c^x0*log(c)+d^x0*log(d)
x=x0-z/z1
print i using "###" ,x0 using "###.#########";
print x using "###.#########"
x0=x
next i

Нулевое значение икса примем, например, x0=7,5. В результате получим действительно с большой точностью x=7.000000000  уже на пятом цикле. Интересно, что если бы задали x0=20, то только на двадцать пятом цикле система выдала бы эту семерку.
Короче, даже столь непростая задача в целых числах решается довольно элементарно.
Кроме того, программа способна находить  икс практически при любой правой части. Ответ, правда, будет уже дробным, но с большой точностью. Например, если f=80000, то уже на четвертом цикле результат будет x= 6.877501774 (это при начальном x0=7).

13 июля 2023 г.