МНК для полинома 4-ой степени. Ч 1

  У меня было уже немало статей, посвященных методу итерации Ньютона при решении полиномов любой степени. Для этого прежде всего строил график функции и выявлял приблизительные действительные корни. То есть точки пересечения функции с осью 0x. Мнимые же корни при этом выявлять не удавалось. Точнее, даже об этом еще не думал, хотя наверное и с такой задачей справиться можно.
  Вчера пришла на ум идея находить уже все четыре корня в виде произведения двух квадратных трехчленов. Уже давно был разработан Метод Неопределенных Коэффициентов (МНК). Он довольно прост и в иллюстрации отмечен римской цифрой I. Сводится к решению системы четырех нелинейных уравнений. Недостатком МНК является то, что чаще всего решение такой системы ничуть не легче, чем аналитическое решение исходного полинома. Приходится применять некоторые хитрые приемы, которых большое множество. Причем только для адаптированных вариантов. Я же решил разработать универсальный подход, но только с одним ограничением: все коэффициенты в двух квадратных трехчленах являются целочисленными. Если же это не так, то задача сильно осложняется. Но уверен, что метод Монте Карло и с произвольными параметрами a,b,c,d может успешно справиться. Об этом буду наверняка думать.
   Но остановимся на, так сказать, студенческом варианте. В иллюстрации приведен один их многих примеров, когда четыре параметра наверняка целочисленные. Текст программы такой:

rem МНК для полиномов 4-ой степени при условии
rem что коэффициенты в двух квадратных
rem уравнениях - целочисленные.
A=2:B=-11:C=-22:D=30
n=25
for a=-n to n
for b=-n to n
for c=-n to n
for d=-n to n
if a+c=A then
if a*c+b+d=B then
if a*d+b*c=C then
if b*d=D then
print a,b,c,d
fi:fi:fi:fi
next d
next c
next b
next a 

Видно, что выведены на печать два равноценных варианта - см. таблицу II в иллюстрации.
   Ну, а решить два квадратных уравнения может и каждый школьник. В результате получим два действительных корня и два мнимых.


27 августа 2023 г.