Возвратное уравнение

По ссылке
http://proza.ru/2023/08/28/633
я решал методом неопределенных коэффициентов первое уравнение четвертой степени. Оно возвратное и традиционно решается весьма особым способом. Долго и нудно. Меня попросили осилить полином совершенно иным способом. Самым простым и быстрым. Я уже писал неоднократно: самым простым способом находить в многочленах действительные корни является итерация Ньютона. Он универсален и для него все равно: полный многочлен, неполный, возвратный и так далее...
 Поэтому показываю и доказываю на этой задаче моё утверждение. Итак, есть полином в фиолетовой рамке. Строим сразу график и видим, что имеются четыре действительные корни. Составляем за минуту прогу итерации методом Ньютона:

x0=-0.6
for i=1 to 5
z=x0^4-4*x0^3+x0^2+4*x0+1
z1=4*x0^3-12*x0^2+2*x0+4
x=x0-z/z1
print i ,x using "###.##########"
x0=x
next i

Задавая каждый раз приближенные x0, всего за пять циклов получаем с огромной точностью значения корней. Видно, что два корня - это золотое сечение и радикальное выражение для него хорошо известно. Остальные два корня более сложные. Но Вольфрам Альфа с легкостью дал нужные представления. Точные значения корней - в красной рамке. Все действо у меня уложилось в пять минут.

29 октября 2023 г.