Гипотеза Пуанкаре простыми словами

Гипотеза Пуанкаре о чем она? попробуем изложить простым аналоговым способом.
Для чего нужно доказательство гипотезы Пуанкаре, открытое Перельманом?

Начнем с того, что представим одномерную поверхность, - это  прямой отрезок, например, отрезок ОС (см. рисунок) в двухмерной системе координат, то есть на плоскости.  Этот отрезок называется одномерное многообразие с краями. С краями, потому что этот отрезок заканчивается в точках О и С.  Соединим точки О и С так, чтобы образовалась окружность. Эта окружность называется одномерной окружностью. Одномерной потому что мы образовали ее из одномерного отрезка. Возникает вопрос эквивалентна ли одномерная окружность одномерному отрезку? Иными словами заметит ли гипотетический обитатель одномерного отрезка разницу между одномерной окружностью и одномерным отрезком? Очевидно, что заметит. Ведь на окружности он не сможет найти краев О и С. Таким образом одномерная окружность идентична прямой линии без краев, то есть одномерному многообразию без краев, - бесконечной прямой линии и не может быть идентична (топологически эквивалентна) отрезку с краями.

Но, вернемся к нашему обитателю одномерной окружности.  Представим, что он решил изучить свою одномерную реальность. Исследователь предполагает, что  двигается по прямой и думает, что эта прямая бесконечна, как в одну сторону так и в другую, то есть он не знает, что двигается по окружности.  Изучив свойства света на  поверхности своей "прямой"(см участок К-К1 на рисунке) он устанавливает, что свет также движется вдоль прямой, на которой он находится. Но, дело все в том, что поскольку он одномерное существо, то он просто не может увидеть фотоны прилетающие справа, слева, снизу и сверху, а видит только фотоны, которые движутся по касательной к его окружности, то есть вдоль отрезка ОС на рисунке. Так как окружность огромных размеров, то небольшой отрезок (на рисунке это отрезок К-К1) на огромной окружности мы можем считать прямым отрезком. Таким образом, исследователь может наблюдать на участке К-К1  звезду, свет от которой как раз проходит по касательной и, соответственно, некоторое время летит параллельно поверхности окружности. Представим, что наш одномерный исследователь построил звездолет и запустил его к это звезде, которая, по его мнению, находиться на поверхности его прямой линии. Допустим звездолет передает "видеосигнал", по нему видно, что  звезда не приближается,  значит она очень далеко. Но, в какой то момент, на мониторе, звезда начинает тускнеть,  гаснуть и потом совсем пропадает. Однако, исследовать, со своего места, в телескоп, видит, что звезда по прежнему  на месте, а вот космическая станция куда-то исчезла из объектива телескопа. Через некоторое время и связь с межзвездным кораблем также пропадает. Собственно все это происходит по той причине что космическая станция прошла участок К1 и далее продолжила движение не по прямой, как предполагал исследователь, а по окружности. То есть космический аппарат ушел за горизонт по отношению к исследователю.

Что то подобное происходит и в трехмерной вселенной. Даже незначительные искривления поверхности пространства вызывают сбой навигационных систем и отклонение от намеченного маршрута.  Поэтому очень важно знать какую на самом деле форму имеет та или иная поверхность на самом деле то есть в четырехмерном пространстве.

В вышеприведенном мысленном эксперименте можно увидеть одну важную закономерность, - при деформации прямого отрезка в окружность, то пространство в котором изначально размещался прямой отрезок не деформируется. Происходит переход вещества и излучения из одного одномерного пространства в ближайшее другое одномерное пространство. Само одномерное пространство не может быть искривлено. Поэтому наблюдатель на отрезке К-К1 продолжает видеть свет от звезды. Таким же образом, при искривлении двумерного пространства(плоскости), мы переносим вещество из одного двумерного пространства в другое, создавая таким образом трехмерные объекты, которые и наблюдаем.  Само двухмерное пространство при этом не искривляется. И точно также, когда речь идет об искривлении трехмерного пространства необходимо иметь в виду  перенос вещества и излучения из одного трехмерного пространства в другое.

Гипотеза Пуанкаре(если говорить простыми словами) утверждает, что как одномерная бесконечная прямая идентична одномерной окружности, точно таким же образом трехмерная бесконечность идентична трехмерной сфер. Собственно, также как одномерная окружность расположена в двумерной плоскости, точно также и трехмерная сфера расположена в четырехмерном пространстве.

Рассмотрим, как происходит искривление  сферы в четырехмерном пространстве.  Для наглядности на рисунке представлена двумерная(то есть на плоскости) проекция или срез  вселенной, - это зеленая окружность с красным центром А. Красный центр А это сфера. Мы будем рассматривать движение одной точки этой красной сферы по отрезку А-В   Пунктирной красной линией обозначена окружность вдоль которой происходит искривление движения точки. Это выражается в том, что когда точка с поверхности сферы начинает движение в сторону  точки В, она не минуемо притягивается к пунктирной окружности вдоль которой искривляется ее движение. Как видим  движение вдоль пунктирной окружности объекта А1 ничем не отличается от движения одномерного исследователя по одномерной окружности. Это абсолютно тот же самый процесс. Точно также можно рассмотреть и движение всех других точек с поверхности сферы А. Но как представить это перемещение в четвертом измерении?

Для этого на двумерной плоскости, например листе бумаги изобразим оси координат У и Х(см. на  рисунке справа внизу).   Нам нужно определить как гипотетический двумерный обитатель этой плоскости изобразит третье измерение? Он не может покинуть свою двумерную поверхность, - перепрыгнуть в другое двумерное пространство, и он не видит третьего измерения, поэтому он не может отобразить ось Z в виде прямой линии на своей плоскости, это с его точки зрения не будет иметь смысла. Но, он понимает, что его двумерная поверхность может искривиться и соответственно изобразить это искривление в своей системе координат. Это искривление будет выглядеть как окружность. Таким образом двумерный исследователь отобразит ось Z  в виде окружности и это на самом деле будет соответствовать действительности. То есть, если мы лист бумаги свернем в трубку по оси Х (конец оси Х соединим с началом оси Х) , то исследователь двигаясь вдоль этой оси Х, как бы по "прямой" вернется в исходную точку. Именно это и отображает окружность(ось Z) в его системе координат(см рис в правом нижнем углу). Но нам сейчас важно выяснить, где действительно находиться эта окружность изображенная на двумерной плоскости. Ну по сути понятно, что реальная окружность по которой будет двигаться двумерный исследователь перемещаясь по оси Х будет располагаться прямо на самой оси Х когда она замкнута(искривлена). То есть трехмерное пространство, по которому будет перемещаться двумерный исследователь по своей искривлённой плоскости находиться, условно говоря, с обратной стороны его плоскости. Таким образом, отображая движение точки с поверхности красной сферы по пунктирной красной окружности мы должны понимать, что эта пунктирная красная окружность на самом деле находиться за пределами нашей плоскости, - с обратной стороны и проходит по другим плоскостям.  А в случае  искривления трехмерной поверхности, это искривление проходит через другие трехмерные пространства . Данный переход материи из одного трехмерного пространства в другое происходит постепенно по мере движения и незаметным  образом из-за того, что этот переход начинается в том месте где мы находимся в данный момент и заканчивается в миллиардах световых лет от нас. За это расстояние мы полностью погружаемся в другое трехмерное пространство и соответственно начинаем переход в следующее трехмерное пространство. Условно можно сказать, что в пределах нескольких миллиардов световых лет все объекты находятся в одном трехмерном пространстве. Но, на границе 10 млрд световых лет мы уже наблюдаем как объекты исчезающие( с сильным красным смещением) так и объекты появляющиеся из другого трехмерного пространства.