Интервью с создателем А-чисел

Относительно недавно, зимой 2018 года (то есть почти пять лет назад) мой дом посетила журналистка местной институтской газеты Алла Владимировна. Фамилию ее запамятовал, хотя показала мне удостоверение. Помню, что связана с обычной птицей. То ли Синицына, то ли Скворцова... Гадать не буду. Ну, конечно мне было интересно впервые в жизни давать хоть кому-то информацию о своих достижениях. После она по электронной почте прислала ссылку на статью в инете. Я ее тут же скопировал на всякий случай. Мало ли что? И... - как в воду глядел! Спустя пару лет материал статьи очень понадобился, хочу её загрузить, а она удалена! Кто это сделал, за какие огрехи, - мне неведомо. Поэтому здесь, на нашем ресурсе привожу скопированный вариант.

  Найти этого человека оказалось непросто, так как живет он чаще всего на даче, вдали от “суеты городов и потоков машин”.  Наша встреча произошла в канун Нового 2019  года и поэтому предпраздничная беседа больше походила на задушевную беседу, нежели на рассуждения математика о теории чисел. Узнала же об увлечениях Георгия Александрова после посещения ряда форумов в Интернете. В одном из чатов мы разговорились, и я предложила ему дать интервью для местной газеты, с которой давно сотрудничаю. Итак, включаю диктофон.
Алла Владимировна.
 Георгий Минькович, скажите пожалуйста несколько слов о себе.
Александров. Буду краток и математически четок. Родился в День Космонавтики, но на одиннадцать лет раньше исторического полета моего почти тезки. Такая вот получилась у меня для Вас первая задачка. (Смеется). Жил три года при Сталине, немного при Маленкове и Булганине, затем энное количество времени при Никите Сергеевиче, потом при Брежневе, Андропове, Черненко, Горбачеве, Ельцине, Путине и, наконец, при Медведеве. Вот при таком насыщенном множестве генсеков, членов Правительства и президентов. В 1968 году поступил в МИСИ и в 1973 защитил диплом. Далее – работа в НИИ, аспирантура, защита кандидатской диссертации  в Ленинградском Политехническом институте. Было это в самом начале 1982 года. Эх, хорошее было время!

Алла Владимировна.
 Как насчет личной жизни?
Александров.
 Там тоже прозрачно, как сквозь целлофан. Женился в 1974 году. Вот, кстати, знакомьтесь - моя супруга Ирина Ивановна Александрова. С ней мы прожили… ээээ – Ирин, ты сможешь сосчитать? Ба! Получается 34 года и 4 месяца. У нас два сына: Саша появился на свет в 1975 году, Ваня – в 1982. Теперь они выросли, оба стали генеральными директорами. Старший подарил нам внука Андрюшу. Ох, и разбойник!
Алла Владимировна.
 Итак, будем считать, что знакомство состоялось. Теперь, как говорится, пора быка за рога. Что это за таинственные А-числа и почему не Б, не В…?
Александров. Догадаться нетрудно – спасибо моей фамилии. Да и в Википедии проверил – такого термина нет еще. А свято место пусто не бывает. Ну а теперь серьезно о сути чисел. Со студенческой скамьи я увлекся кладками из блоков, имеющих форму кирпича. Только огромных таких бетонных блоков, весом до трехсот тонн. Из них возводят причалы, волноломы, опоры пирсов и маяков. Подобные “кирпичики”, как известно, применялись при строительстве египетских пирамид, храма Юпитера в Баальбеке – это в Ливане (там найдены блоки весом аж 1000 тонн!), древней виллы в Хирбет Манацур эль-Акебе – в Израиле, “стены плача” в Иерусалиме, сооружений древних Инков в Перу и так далее. Изучая различные кладки по фотографиям, я обнаружил  интересные закономерности в их размерах, а также и недостатки. К последним относится большой разброс в весах блоков, из которых возводилось конкретное сооружение. Рассуждал просто и логично: раз имеется подъемное устройство, допустим в 100 тонн, то экономически невыгодно им поднимать и устанавливать блок весом 20 тонн. Идеальным было бы иметь все блоки весом по 100 тонн. Это лучше и по темпу строительства, и по условию равнопрочности конструкции. Ведь если, например, в волноломе среди стотонников  окажутся двадцатитонные  элементы, то их легко могут “выбить”  штормовые волны и вся кладка неминуемо разрушится. Есть, правда, одно “но” – из блоков одного типа редко удается создавать кладку с перекрытиями швов. Ведь даже в кирпичной кладке обычно применяют кирпич и полкирпича. Иначе во многих местах вертикальные швы совпадут и степень монолитности структуры понизится.
Алла Владимировна.
 Да, но причем тут А-числа?
Александров.
 Ах, да! Простите – я увлекся. Но без исторической физики сложно будет понять математическую суть. Так вот, я подумал, а нельзя ли создавать кладки из блоков одинакового веса? Пусть даже эти блоки будут иметь разные габариты. И представьте себе – такая цель оказалась достижимой! В своей диссертации я разработал методику компоновки секций из трех видов блоков одинаковой массы. Эта методика была защищена авторским свидетельством, попала в учебники для ВУЗов, вошла в нормативные документы. Тут можно было успокоиться и предаться сладкими воспоминаниями о терзаниях при поиске научной истины. Но вот однажды, находясь в гостях у старшего сына (он три года жил и работал в Испании) меня озарила счастливая мысль: можно, оказывается, создавать кладки не из трех, а всего из двух типов блоков. Суть оказалась в одной простенькой формуле…
Алла Владимировна.
 Оооо! А можно без этого? Я с детства не дружу с математикой…
Александров. Не волнуйтесь. То, о чем я сейчас буду говорить, поймет даже пятиклассник. Итак, все блоки при возведении определенного объекта имеют одинаковую высоту. Следовательно, мы можем говорить не о равном весе блоков, а о равных площадях их основания. То есть пространственную задачу легко трансформировать в плоскую.  Теперь попытайтесь абстрагироваться. Пусть мы имеем три целых, попарно взаимно простых числа a,b,c . Я вижу Ваше удивление и поясню. Три числа будут попарно простыми, если никакая из трех пар: a и b ;   a и c ;   b и c  не будет иметь общих делителей, больших единицы. Например, числа 3,4,5 – попарно взаимно простые, а числа  4,5,6 таковыми не являются, поскольку пара 4 и 6 , кроме единицы, имеет еще и общий делитель 2.
Алла Владимировна.
 В принципе, все понятно.
Александров.
 Так вот, если числа попарно просты, то можно создать кладку из двух видов блоков с одинаковой площадью в основании. Покажу один из вариантов. Площадь S равна  a в квадрате (или aa, помноженная на bc и плановые габариты блоков: ab x ac  и  aa x bc. Как видите, габариты совершенно разные, а площади одинаковые  и равны S.

Алла Владимировна.
 Ой, сейчас врублюсь… Так… Да, все вроде логично. Поняла.
Александров.
 Точно так же площадь  abbc  дает габариты   ab x bc  и  bb x ac  , а площадь  abcc – соответственно  ac x bc  и  cc x ab .  Думаю, сложного тут ничего нет.
Алла Владимировна.  Так, значит,  эти  a,b,c  и есть А-числа?
Александров. В общем случае нет.  Но как раз веду к этому разговор. После приведенных умозаключений оказалось возможным еще на порядок упростить проблему и рассматривать уже одномерную задачу.  То есть рассматривать не площади основания блоков, а всего лишь отрезки размером a,b,c  .
Алла Владимировна.
  Как это так вдруг?  Что-то не совсем улавливаю.
Александров.
 Тут элементарно, но не хочется пускаться в затяжную дискуссию. Кому надо – тот  поймет, а Вы уж поверьте мне на слово.  Задача снизилась до минимума простоты и звучит теперь так: построить две параллельные цепочки отрезков таким образом, чтобы : 1) их общие длины были одинаковыми; 2) ни в одном месте отрезки одинаковой длины не оказывались смежными. Тут уже без рисунка не обойтись. Вот посмотрите – я начерчу три возможных варианта для чисел  3,4,5 :

Других вариантов нет и быть не может. Хорошо видно, что нигде отрезки  одинакового цвета не соприкасаются друг с другом. Теперь самое существенное. Схема 1) – симметричная. Остальные схемы – асимметричные. Причем схемы 2) и 3) являются идентичными. В самом деле, если крутануть 2) на 180 градусов в плоскости чертежа, то придем к 3). Такие фигуры, кажется, называют конгруэнтными.  До 2000 года я думал, что так ведут себя все попарно взаимно простые числа.  Но совершенно случайно, вдруг, обнаружил бесконечное множество попарно простых  чисел,  которые образуют три разные симметричные схемы!  Взгляните, сами: беру числа  1 , 3 , 5  и начинаю строить цепочки отрезков:
Неожиданным оказалось то, что все А-числа должны быть обязательно нечетными.  Приведу некоторые из них:
7,9,17;13,15,29; 19,21,41, … , 6k +1 ,6k +3, 12k +5.
Или, например, такая группа: 5,7,13 ; 11,13 ,25;17,19,37;23,25,49 , … ,6k -1 ;  6k +1; 12k + 1.
Хотя А-чисел бесконечно много, они составляют всего два с половиной процента от общего числа всех попарно взаимно простых чисел.
Алла Владимировна.
 Вроде бы основную мысль уловила, но не понимаю, как Вы их находили. По какой формуле?
Александров.
 Вы наступили на мой самый больной мозоль. Получаю эту группу чисел исключительно путем построения кладок, перебирая все варианты нечетных чисел. Конечно же, -  на компьютере и при помощи специальной программы. Нашел, правда, несколько частных зависимостей, но общей формулы (наподобие формул расчета пифагоровых троек) выявить так и не удалось. Хотя прошло уже почти восемь лет. За это время Эндрю Уайлс умудрился доказать Великую Теорему Ферма. Но я же, увы, - не Эндрю Уайлс. (Смеется).
Алла Владимировна.
 Большое спасибо за интересный доклад. Желаю, чтобы в новом году все у Вас получилось и чтобы в семье сохранилось полное благополучие. 27.11.2018.

27 декабря 2008 г.