Математика и творчество Часть 8

Феликс Довжик

Математика и творчество  Часть 8

Начальная комбинаторика
Не всё мы можем взять –
на то и есть преграда,
боишься прогадать,
а сделать выбор надо.

Школьникам младших классов полезно познакомиться с начальными сведения из комбинаторики – сведениями о перестановках, размещениях и сочетаниях. Тогда последующие встречи пройдут как встречи со старыми знакомыми. На данном этапе важно почувствовать разницу между реальными явлениями, которые эти математические термины отражают.

Перестановки.
Мама поставила на стол тарелку и попросила сына расставить возле тарелки три предмета – бокал, чашку и рюмку. Один предмет – перед тарелкой, один – слева, один – справа. Мальчик расставил, но чем-то ему расстановка не понравилась. Он решил переставить предметы и задумался. Сколько вариантов перестановок существует?

Обозначим каждый предмет первой буквой названия: бокал – Б, чашка – Ч, рюмка – Р. Поставим слева бокал, перед тарелкой чашку, справа рюмку. Не трогая бокал, мы можем переставить чашку с рюмкой. При бокале слева у нас есть два варианта перестановок. Но слева вместо бокала по очереди мы можем поставить чашку, потом рюмку. Переставляя другие предметы, получим в каждом случае по два варианта. Перечислим все возможные варианты:

БЧР
БРЧ
ЧБР
ЧРБ
РБЧ
РЧБ.
Всего шесть вариантов. Других нет.
Такие действия с множеством предметов называются перестановками.
С одним предметом возможна единственная перестановка – сам этот предмет, с двумя – две перестановки, с тремя – уже шесть.

Если бы у нас было четыре предмета, мы бы каждый по очереди могли поставить на первое место, а с остальными тремя получили бы шесть перестановок. Следовательно, с четырьмя предметами мы бы получили 4 х 6 = 24 варианта.
Число перестановок из n элементов, где n – любое натуральное число, в математике обозначается Pn.
Если n = 1, P1 = 1.
Поскольку в предыдущей заметке мы уже говорили о факториале, мы можем записать:
  P1 = 1 = 1!
Число перестановок из двух элементов:
  P2 = 2 P1= 2 1! = 1! 2 = 2!
Число перестановок из трех элементов:
P3 = 3 P2 = 3 2! = 2! 3 = 3!
Число перестановок из четырех элементов:
P4 = 4 P3 = 4 3! = 3! 4 = 4!
И т. д.
Число перестановок из n элементов:
  Pn = n!

Размещения
У мальчика на столе лежат три книги: томик Пушкина, томик Гайдара и томик Твена, все примерно одинаковой толщины. Мама попросила убрать книги на полку, а на полке есть место только для двух книг. Как из трех книг выбрать две и как, в каком порядке разместить их на полке? Сколько возможных вариантов размещения имеется?
Можно выбрать, например, Пушкина и Гайдара. Первым поставить Пушкина, вторым Гайдара, но можно и наоборот. При таком выборе у нас два варианта размещения, но выбор может быть и иным. Обозначим книги первой буквой фамилии автора и рассмотрим все варианты.
ПГ
ГП
ПТ
ТП
ГТ
ТГ
Получили шесть вариантов.
Такие действия с множеством предметов называются размещениями. Здесь важно не только количество выбранных предметов, но и порядок их размещения.

Сочетания.
Мама привела мальчика в магазин игрушек. Ему приглянулись: пистолет, машина и конструктор. Мама сказала, что может купить ему любые две игрушки из этого набора. Что выбрать? Какие возможны варианты?
Ясно, что мальчику совершенно безразлично, какую из купленных игрушек первой подаст ему продавец, но что выбрать, ему не безразлично. Выбрать можно:

пистолет и машину,
пистолет и конструктор,
машину и конструктор.

С точки зрения мальчика – не густо, раз есть потери в каждом варианте, но лучше, чем ничего.
Такие действия с множеством предметов в математике называются сочетанием.
Если в будущем мальчик заинтересуется не только игрушками, но и математикой, новые встречи с перестановками, размещениями и сочетаниями ему еще предстоят.

Иногда в средних классах школы, блуждая мыслью по окружающей вселенной, мальчишка задает сам себе занятный или странный вопрос, и этот вопрос оказывается для него путеводным. Попытки самому ответить на него, расспросы старших или поиски литературы и знакомство с нею оказывают заметное влияние и очень многое определяют в последующем выборе сферы увлечений и приложения сил.

Вот три таких вопроса, которые оказали влияние на трех любознательных чудаков, из которых впоследствии выросли очень толковые работники.
Почему стекло пропускает свет, а другие твердые тела не пропускают?
Что будет, если мгновенно оборвать цепь электрического тока? Куда денутся бегущие заряды? Как они остановятся?
Как и почему человек чувствует запахи?
Ничего нет странного, что люди, размышляющие в школьные годы над такими вопросами, отыскивают впоследствии свою дорогу. Странно другое.

На Земле до сих пор не случился такой талант, чтобы ничего не делать, ни о чем не задумываться и все иметь. Но многие люди надеются, что им именно так повезет. Надежды живут, но их исполнение откладывается, вызывая хроническое заболевание души. Боль есть боль, и люди начинают вопить, оглушая окружающих своим непомерным разочарованием в жизни. А чем поможешь?


Главное занятие в жизни
Пока мы живем и в седле,
пока наверху, не на дне,
мы лечимся, чтобы лечиться,
и учимся, чтобы учиться.

Чем человек всю жизнь занимается? Дышит, ест, пьет, спит. Сидит, ходит, бегает. Работает, отдыхает. А чем занят на работе? Трудится, выполняет задание. Умеет. Научился. А если работа новая? Учится выполнять.
А все ли он мог с детских лет? Все ли он может, и все ли он знает в зрелом возрасте, в старости? Увы. А если требуется знание и умение?
Человек учится от детства до старости. Это его главное занятие в жизни.

Рождается человек. Что он умеет? Ничего!? Ошибочное мнение! Если бы человек от рождения ничего не мог, он был бы обречен. Человек рождается с врожденными инстинктами, которые дают ему возможность выжить и приспособиться к жизни. Он от рождения может дышать, сосать, громким плачем звать на помощь, совершать движения руками и ногами и пачкать пеленки. И это тоже. Вот круг его умения. А дальше он должен всему научиться, чтобы стать человеком. Научиться есть, ползать, ходить, говорить, играть. Научиться учиться и познавать мир.

Человек стал ребенком. Ему надо учиться быть сыном, учиться быть школьником, учиться ладить с родными и близкими, дружить с товарищами и знакомыми, учиться вести себя в семье, в школе, на улице.

Потом он взрослеет, учится, чтобы приобрести профессию, учится работать, учится любить, чтобы создать семью. Учится быть мужем, отцом, работником. Учится быть здоровым и больным, если придется. Учится быть взрослым, пожилым. Проходят годы, он учится быть стариком, быть дедушкой. Даже в глубокой старости можно и нужно учиться – учиться одолевать болезни и немощь, учиться стойко переносить наступающее одиночество. Ворчание и скулеж облегчает душу, но вызывает отчуждение близких. Нужно учиться мужеству – достойно покинуть этот мир.

Каждое учение требует терпения, воли, приложения сил, разума и трудолюбия. Не каждому это по душе. Хочется вольной свободной жизни, хочется, не напрягаясь, лететь по жизни, как птица в воздухе. Прочь оковы учения.
Есть много таких охотников. Они не хотят думать и утруждать себя. Полет получается, но не как у птицы. Волны жизни поднимают к облакам и несут, как пустой лист или пакет, а потом швыряют в канаву. Иногда снова поднимают и переносят на помойку.

Возможность учиться дана каждому. Можешь не учиться. Убеждать и заставлять очень трудно. Но расплата за увиливание придет. Ее не избежать даже вечным детям жизни – актерам. Жизнь мстит им за шалопайство в школьные годы. Актерская профессия – одна из самых трудных. Каждая новая роль заставляет учиться заново. Нужно постичь тайны внутренних переживаний и побудительных мотивов очередного персонажа, отыскать краски изображения его внешней жизни. Нужно научиться понимать и чувствовать до нервов и косточек новый для тебя тип характера и человека. Это очень и очень трудно.

Почему с некоторыми взрослыми и пожилыми людьми интересно общаться, а с другими говорить не о чем? Одни всю жизнь учатся, думают, размышляют, познают. Другие постепенно забывают даже то, что в них удалось вложить, а новых поступлений нет, и они не предвидятся.
Хочешь быть человеком – всю жизнь учись. Другого пути нет.


Технологические этапы решения задач
Не все, что нам полезно,
бывает интересно,
не все, что интересно,
бывает нам полезно.

Попробуем решить какую-нибудь задачу. С чего начнем? С ознакомления с условием. Читаем задачу. Достаточно ли прочитать один раз и приступить к решению?
Все люди разные. Разделим их по характеру и темпераменту на три условные группы.
1. Человек неторопливый, внимательный, вдумчивый.
2. Нормальный человек.
3. Человек нетерпеливый, торопливый, невнимательный.
Особенно заметно различие в типах характера на первом этапе решения задачи – при вводе информации.

Вдумчивый человек читает медленно и долго. Ни одно слово, ни одну фразу, ни один факт он не пропустит. Почему? Скорее всего, по ходу неторопливого чтения он сразу включает в работу свое образное мышление – представляет события задачи, внутренним зрением старается увидеть все, что в ней происходит. По-видимому, иногда он возвращается к отдельным фактам, перечитывает, уточняет. Без образного представления он даже не пытается запомнить задачу. Этот этап занимает у него значительно больше времени, чем у людей другого типа характера. Зато последующие этапы у него гораздо более плодотворны, чем у остальных, и к тексту условия задачи он больше не возвращается.

Торопливый и невнимательный человек читает иначе. Он спешит, перескакивает, пропускает. Такой человек, условно говоря, сидит на гвозде, ему не терпится узнать, что там дальше. Но узнает поверхностно, через пень-колоду, с пятое на десятое. Мешать ему, заставлять читать внимательно? Он все равно перескочит или что-нибудь пропустит мимо глаз и ушей. После первого прочтения у него в мышлении почти ничего не остается или, что хуже всего, по отдельным отрывкам отложилась совершенно другая задача, которую он вообразил и немедленно начинает решать.

Такой человек должен читать задачу три раза. Первое прочтение – ознакомительное. Нетерпение удовлетворено. Второе прочтение – осмысление и запоминание. Третье – контрольное, проверка, что ничего не упущено.
Количество прочтений нормального человека зависит от того, к какой крайней группе он ближе примыкает. Лучше прочитать дважды, а от трехкратного чтения тем более вреда не будет.

Второй этап решения задачи – аналитический или творческий. Этапы анализа задачи, которые рассматривались в заметке «Против течения» – это этапы или стадии данного этапа. Начинается осмысливание задачи, анализ ее, выявление недостающих или неочевидных связей. Технологически второй этап – это этап составления схем и рисунков и их рассматривание, чтобы включить в работу образное мышление. Результатом этого этапа должно быть открытие скрытых закономерностей, догадка решения.

Третий этап – счетно-решающий. Это чисто технологический этап. На основе всего выявленного и установленного на языке данной дисциплины выполняется решение. У этого этапа есть одна важная задача. Если в процессе решения обнаруживается, что задача не решается, происходит возврат к началу и повторный поиск решения.

Четвертый этап – проверочный. Единственное ли это решение? Есть ли еще варианты? Можно ли решить другим способом? Этот этап важен потому, что побуждает подняться выше конкретного решения и осмотреться, а тем самым позволяет расширить кругозор понимания. Следующие задачи решать будет легче.

Вот пример. В заметке «Весы и лапы» рассматривалась задача.
Умелец Левша собрал 11 игрушечных роботов – несколько трехлапых, остальные пятилапые. Всего ему потребовалось 45 лап. Сколько трехлапых и сколько пятилапых роботов собрал Левша?
Если бы все 11 роботов были трехлапые, нам потребовалось бы 33 лапы. На самом деле лап 45. У нас не все роботы трехлапые. 12 «лишних» лап принадлежат пятилапым роботам. Каждый из них по сравнению с трехлапыми имеет две «лишних» лапы. Следовательно, пятилапых роботов 6.

Почему, по какому праву мы отдали предпочтение трехлапым? Пусть все 11 роботов будут пятилапыми, но тогда у них будет 55 лап, а их у роботов должно быть 45. Для 11 пятилапых требуется 10 «дополнительных» лап. Давайте из пятилапых роботов создавать трехлапых. Для этого у некоторых пятилапых будем отнимать по две лапы, превращая пятилапых в трехлапых, а ненужные лишние лапы отбрасывать в сторону. Так как «дополнительных» лап 10, то мы можем отбросить 5 пар лап, т.е. из пяти пятилапых создать 5 трехлапых роботов. Остальные 6 останутся пятилапыми. Оказывается, задачу, не считая решения уравнениями, можно решить двумя равноценными способами.

Пятый этап – оформительский. Мало – решить задачу, надо доказать другим, что она решена правильно. В процессе оформления уточняются формулировки и доказательства, раскрываются пропущенные ранее связи и выводы. Решение приобретает логическую цельность и стройность.
Какой этап из этих пяти самый важный? С точки зрения конечного результата, все важны. Ошибка на любом этапе – и задача не может считаться решенной.

При решении политических, социально-бытовых, литературных и прочих гуманитарных задач этапы видоизменяются.
1. Информационный.
2. Аналитический.
3. Творческий
4. Контрольный.
После второго этапа, после анализа, как учит нас здравый смысл, должен наступить синтез – генерирование своей мысли, своей идеи, своего представления.
На следующем, на контрольном этапе в работу вступают сомнения и критика. Итогом этого этапа могут быть уточнение, углубление мысли или возврат к началу.

Люди гуманитарного склада ума могут обидеться. Почему у математиков пять этапов, а у них всего четыре. Дело поправимое. Можно добавить пятый этап – банкетный, и мы будем недалеки от истины. Как учил автора преподаватель в институте, решил задачу – закажи у бабушки пирог с капустой.
Радоваться честно выполненной работе – законное право каждого. Не стоит только нос задирать кверху, иначе не увидишь, что под носом, споткнешься, нос расквасишь и останешься с носом.


Простые советы
*
Залез в поток, не зная броду?
Весь мокрый вылезешь ни с чем.
Уж если ты ныряешь в воду,
подумай прежде: «А зачем?».

*
Мечтаешь взять быка за рожки?
Возьмись разумно за задачу.
Цени большой успех и крошки –
не всякий бык несет удачу.

*
Быть ротозеем не годится.
Чтоб спеть с задачею романс,
не мчись стремглав за лживой птицей,
не упускай разумный шанс.

*
Бой не обходится без боли.
Используй смело принцип драки –
не стой, как столб, в открытом поле,
меняй позицию атаки.

*
Судьбу по глупости не мучай,
и у нее есть грань и край,
она подарит добрый случай –
снимай достойный урожай.


Порог мышления
Не одолеть забор двора –
и кажется нам небо серым,
а вырастают два крыла,
когда взлетаем над барьером.

Порог и порок – два слова, близкие по звучанию, но разные по значению или по смыслу, хотя и то, и другое слово применимо в сочетании со словом мышление.
Порок – это недостаток, изъян. Порог – это преграда, барьер. Общее между ними то, что недостатки и барьеры, пороки и пороги созданы природой, и каждому человеку приходится их преодолевать. И с тем, и с другим в учебе, в работе, в творчестве и в жизни мы сталкиваемся на каждом шагу.

Мы хотим поднять спортивную гирю или оторвать от пола штангу. Делаем усилие – не тут-то было, снаряд остается на месте. Мы собираемся с силой, делаем рывок – снаряд отрывается от помоста. Мы приложили силу, превышающую вес снаряда – мы преодолели порог. Санки стоят на снегу, на них груз. Мы тянем за веревку – санки ни с места. У полозьев со снегом – сцепление. Мы должны приложить силу, превышающую силу сцепления.

Маленький ребенок еще не говорит. Он произносит звуки, слоги, иногда отдельные слова. Он пытается воспроизвести много раз слышанное им, но речи нет. И вдруг в какой-то момент, он выпаливает предложение из двух-трех слов – и понеслось. В его непроизносимой вслух внутренней речи накопилось достаточно слов, которыми можно оперировать. Порог преодолен.

Маленький ребенок не умеет ходить. Он делает первые шаги. Его долго и утомительно водят, держа за руки, но иногда пытаются отпустить. Один раз, второй, третий он делает робкий шаг и запоминает чувство состояния равновесия. И вдруг ребенок делает сразу несколько шагов, не держась за маму. Он пошел. Порог преодолен.

Ребенок осваивает двухколесный велосипед. Неудача за неудачей. Его, беднягу, возят на велосипеде, пока пару раз он не проедет самостоятельно хотя бы несколько метров. Состояние равновесия на велосипеде схвачено и прочувствовано. Ребенок поехал. Порог преодолен.

В технике широко известны пороговые устройства. В этих устройствах сигнал на выходе резко изменяется, когда размер входного воздействия превышает некоторый критический уровень – порог срабатывания. Иными словами, сигнал на входе достиг такой величины, что в состоянии переключить устройство.

Похожие процессы совершаются в мышлении, когда мы осваиваем новую дисциплину или учимся решать задачи. Поначалу нам нечем мыслить – нет фактов, нет данных, мало знаний и опыта. Идет заполнение чувственной и логической памяти, идет привыкание инструментов мышления к работе, идет приближение к порогу срабатывания. Поначалу нас ведут, нам рассказывают, показывают, объясняют. Внушают и убеждают.

По мере накопления знаний мы проявляем все большую настойчивость и самостоятельность. Однажды, а потом еще и еще раз нам удается подняться на некоторый уровень, который до этого казался непреодолимым. Порог преодолевается медленно, небольшими порциями и не сразу, но, если человек не сдается, не отступает, он приобретает необходимый опыт и оказывается по ту сторону барьера.

Некоторым людям, по-видимому, щедро одаренным от природы, в раннем возрасте встречается задача, намного выше их возрастного уровня, но она захватывает их и не дает покоя. Если им удается ее решить, они в один прекрасный день преодолевают барьер и раскрывают для себя тайну правильного взаимодействия в данной отрасли всех инструментов мышления. В этот момент рождается будущий незаурядный специалист в этой отрасли.


Угол обзора
Проходит жизнь, текут года,
и что в итоге – нет вопроса,
талант успешен лишь тогда,
когда он видит дальше носа.

В жизни нет абсолютно здоровых людей. (Присмотритесь, как написано слово абсолютно. Оно пришло из латыни. Означает – безусловно, не ограничено. Правильность его написания никакими ухищрениями, кроме словаря, не проверить).
В технике нет не выходящих из строя, не ломающихся приборов и аппаратов.
Людей лечат врачи. Сложные приборы и аппараты создают и ремонтируют инженеры. Создатели приборов по уровню заработной платы и по опыту работы делятся на рядовых инженеров, старших и ведущих инженеров. Старшие разрабатывают отдельные устройства, ведущие – всю аппаратуру в целом.

Сложный прибор вышел из строя, отказал, сломался – выходные характеристики не соответствуют норме. Старший инженер, разрабатывающий выходные устройства, требует аппаратуру разобрать и дать ему его устройства на исследование. У ведущего инженера иная точка зрения. Раз параметры есть, выходные устройства не виноваты. На их вход могут поступать искаженные сигналы. Аппаратура работала в условиях повышенного уровня помех. Вероятно, входные устройства не справились с фильтрацией.
Ведущий инженер смотрит с позиции всей аппаратуры.

У врачей нет четкого деления на старших и ведущих, но пациенты четко делят их на хороших и … рядовых.
Вы жалуетесь рядовому врачу на живот, и он лечит ваш живот. Лечение идет долго, трудно и малоэффективно. Больной возмущается – врач вяло лечит, врач возмущается – больной вяло излечивается.

Хороший врач не лечит отдельный орган. Он лечит человека. Один врач говорил: болит голова – лечи живот. В его шутке заложен глубокий смысл. Для хорошего врача весь человек – единый организм. Поэтому хороший врач смотрит шире и глубже, чем требует того, казалось бы, больной орган.
Человек, который хорошо решает задачи, не смотрит на задачу узким взглядом.
Вот наглядный пример. Рассмотрим известную задачу.
Даны 9 точек.





Требуется перечеркнуть их четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.
Тот, кто будет смотреть на точки, не выходя из квадрата, по сторонам которого они расположены, задачу не решит. Тот, кто посчитает, что вся плоскость листа в его распоряжении, кто будет проводить линии не от и до, а размашистее и шире, быстро решит задачу.

Пример из военного дела. Если командир роты смотрит на поле сражения только с позиции командира взвода, рота обречена. Командир роты должен видеть поле сражения шире поля сражения роты. Он должен видеть стыки со смежными подразделениями своего полка. Он должен представлять механизмы взаимодействия с другими родами войск. Он должен видеть и понимать возможности противника на всем обозримом участке фронта. Он должен видеть задание дальше своего носа. Тогда есть шанс выполнить приказ.

Есть хорошие артисты, а есть очень хорошие. Такой артист смотрит на роль из космоса – он видит не только персонаж, которого играет, но и его окружение и его эпоху. Он взрывает его изнутри и собирает снаружи. У него те же инструменты чувств и мышления, что у других артистов, но владеет он ими виртуозно.

Тот человек, перед глазами которого не кусочек задачи, а вся математика с многообразием методов, будет решать задачи намного быстрее и лучше человека с узким полем зрения. Это закон, который справедлив в любой сфере человеческой деятельности.

Кто-то от природы умеет пользоваться широким взглядом. Повезло, ничего не скажешь. А кто-то не умеет. Тут скажешь многое. Борись с сонливостью, не жмурь глаза, расширяй принудительно веки. Конечно, по сравнению с человеком, одаренным от природы, приходится затрачивать значительно больше сил, но, результат стоит затрат. Если добьешься своего, в обиде на себя не останешься.


Высший пилотаж и горизонты
Нам не измерить маленьким аршином
ни тыл, ни фланги, ни широкий фронт –
за горизонтом новая вершина,
а за вершиной новый горизонт.

В математике есть такой метод решения – допустим, что задача решена. И дальше начинается решение.
Допустим, что мы научились пользоваться и взаимодействовать образным и логическим мышлением. А дальше что? Что за горизонтом?
Идут года, и с каждым очередным учебным годом школьные задачи становятся труднее и сложнее. В математике появляются новые предметы, иногда, казалось бы, весьма отдаленные друг от друга – алгебра, геометрия, тригонометрия, элементы или разделы высшей математики. В каждом из этих предметов свои особенности и свои методы.

Чем дальше в лес, тем больше дров и все извилистей дорога.
Каждый предмет можно уподобить стволу дерева, от которого отходят ветки, от них многочисленные веточки, на них отростки и сучки. Несколько дисциплин – это уже лес деревьев, переплетенных кронами. Чтобы решить задачу, надо отыскать правильный путь в этом лесу, а для этого надо хорошо знать карту местности и уметь ориентироваться.

Пока решались задачи в младших и средних классах, мы преодолели порог и выработали широкое поле зрения, мы научились (научили себя) видеть и рассуждать, мы приучили себя к трудолюбию, а после нескольких самостоятельных побед научились управлять своей волей – мы уже понимаем, если приложить усилия и настойчивость, задачу можно одолеть. Но здесь, в лесу деревьев этого всего оказывается мало. Здесь существенную роль начинает играть еще один очень важный и очень необходимый инструмент мышления, о котором до сих пор мы почти не упоминали.

Решить сложную задачу – отыскать нужную ветку или сучок в лесу деревьев. Как это сделать, если деревьев даже не лес, а хотя бы несколько? Это возможно в единственном случае, если мы много раз бродили в этом лесу, осматривали каждое дерево, каждую скелетную ветку и запоминали, запоминали, запоминали…

Как работают люди, увлекающиеся рукотворным изобретательством? У них собрана богатая коллекция железок, деталей и крепежа. Когда возникает новая задача, требуется какой-нибудь необычный узелок, память услужливо подсказывает, что в коллекции есть нечто похожее или есть что-то такое, что с некоторой доработкой или усовершенствованием можно использовать. Найденная в коллекции деталь подталкивает мысль на новое изобретательство, а попутно во время перебора коллекции, освежается память, чтобы хранить, хранить и хранить содержимое до следующего случая.

Как работает артист? Он непроизвольно по многолетней привычке наблюдает за людьми и постоянно пополняет свою коллекцию нестандартными неожиданными новыми для себя жестами, мимикой, движениями тела, интонацией речи и многим прочим, на что люди других профессий не обращают внимание.

Автору довелось видеть, как знаменитый артист в раздевалке бассейна с минеральной водой пожирал глазами парня, который вытирал мокрые ноги перед тем, как надеть носки, не полотенцем, а обтирал ступни об концы брючин уже надетых штанов. Правую ступню тер о левую брючину, левую – о правую. Наверно, интеллигентный артист, не служивший в армии даже на сборах, такое видел впервые в жизни.

В одном фильме хорошую, но разгневанную женщину из самых низов играла красивая женщина и великолепная актриса с мировым именем. Все женщины, а особенно красивые в любой ситуации заботятся о том, как они выглядят, как стоят, как сидят, чтобы подчеркнуть выгодные достоинства своего тела и произвести на окружающих наилучшее впечатление. А тут в фильме актриса принимала самые невероятные позы, которые в обычной жизни у женщин не увидишь.

Эти позы с точки зрения красоты выставляли ее в самом невыгодном свете и могли подчеркнуть все изъяны тела, если они имелись. Но ее неподдельный гнев и позы разъяренной женщины создавали потрясающее впечатление. Глубоко понимая суть роли, она не щадила себя. Вполне возможно, что пластику движений героини она подсмотрела в своей трудной юности или даже в горьком детстве. Увиденное долгие годы хранилось в ее коллекции и плодотворно сработало в благополучном зрелом возрасте.

Как играют сильные шахматисты – люди, которым во время игры приходится непрерывно решать задачи? В коллекции их памяти сотни типичных позиций, которые позволяют осуществить форсированное нападение на противника. Во время игры шахматист конкретную позицию на доске своим представлением, воображением и расчетом трансформирует в возможные выигрышные позиции.
 Чтобы успешно решать задачи, надо иметь основательные знания и опыт, а все это требует хорошо развитой памяти.

Простейший пример.
Дана задача. Упростить выражение:
    +   +   + … +  .
Человек, который впервые в жизни встретится с такой задачей, растеряется. По правилам алгебры надо привести выражение к общему знаменателю, но попытки пойти по такому пути утопят намерение в море расчетов и отобьют охоту заниматься задачей.
В числителе первой дроби появится выражение: (х+2)(х+3) …. (х+10). Похожие выражения в числителях остальных дробей. У кого хватит терпения все это перемножить и подсчитать? Испарина на лбу охладит пыл, и тогда, вероятно, появится догадка, что что-то тут не так. А что так?

Настойчивый и сообразительный человек не бросит задачу и после некоторых размышлений, возможно, догадается работать с частью выражения, а не с выражением в целом. Это очень распространенный и очень плодотворный прием и в математике, и при решении изобретательских задач. Знать бы только, когда его применять. Но на это есть опыт. Если с объектом ничего не удается сделать, можно и нужно попробовать увеличить его или уменьшить.

Блуждает взгляд над чертежом –
умом раскинь: тебе осталось
увидеть малое в большом
и обратить большое в малость.

Попробуем упростить минимально возможное выражение.
  +   =   +   =   = 
Оказалось, упрощать часть намного легче, чем полное выражение. Если к полученному выражению добавить третий член (третью дробь) общего выражения и упростить, обнаружится закономерность.
  +   =   +   =   =   =  .
Ход решения ясен. К полученному прибавить следующую дробь или, используя установленную закономерность, сразу вычислить результат.
Можно посчитать, что в данном случае мы изобрели метод решения или догадались о нем.
Возможен иной подход к задаче. Память по аналогии, по какому-нибудь намеку или зрительному образу может дать подсказку, что в дробях встречались выражения:
    =   – 
или, еще лучше, в общем виде:
  =   –  .
Если такие факты припомнились, задача легко решается.
Чем больше фактов содержится в коллекции памяти, тем легче решать задачи. Но все на свете запомнить невозможно. Поэтому придумывать и изобретать методы решений все равно придется.

Знать мало фактов, т.е. иметь убогую коллекцию – усложнить себе решение задачи. Придется на каждом шагу заниматься изобретательством. Знать избыточное количество фактов, тоже чревато. Возникает соблазн подмены изобретательства поиском фактов – типичная болезнь эрудитов. Атрофируются изобретательские способности. Избыточная эрудиция полезна, когда она сочетается с решением сумасшедших по сложности задач, для решения которых никаких знаний в готовом виде не хватает – нужна изобретательность высочайшего уровня.

Поскольку избыток эрудиции мало кому грозит, примем без оговорок следующий вывод. Чтобы хорошо решать задачи, надо много помнить, много знать и много уметь. Из леса деревьев приходится выбирать нужное дерево. Все перебирать – долго и утомительно. Можно растратить впустую боевой пыл. На выбранном дереве надо отыскать скелетную ветку. Нашли – полдела, во всяком случае, его необходимая часть сделана.
Знания, опыт, память вывели нас на передний рубеж фронта сражений. Дальше воля и настойчивость, изобретательность и логика должны повести на штурм и довести до победы. Другого пути нет. В творчестве отступление не подобно смерти, но огорчительно. Временный привал – это перевооружение, если за ним следует новый штурм.

Чтобы решать задачи, надо иметь прочные знания основ данного предмета, близких и родственных к нему, надо понимать и помнить многочисленные методы, которые используют данные дисциплины, надо уметь самому изобретать недостающие методы и находить неведомые дороги.

Есть много хорошей литературы, которая дает советы, как решать задачи и как заниматься изобретательством методов решения. Но эти советы – это высший пилотаж, они полезны и понятны, если уже умеешь летать. Чтобы летать, надо научиться пользоваться инструментами мышления и приобрести достаточный опыт. Учиться никогда не поздно, но, когда на тебя обрушиваются потоки сложных задач из разных разделов, отвлекаться на изучение азов – непозволительная роскошь и потеря необходимого времени. Все, что можно, лучше сделать своевременно. Потом дороже обходится.


Метод проб и ошибок
Метод попыток даст море ошибок,
метод ошибок потребует проб,
пусть лучше путь будет ломок и зыбок,
чем от конфуза позорный озноб.

В заметке «Первое действие» рассказывалось, как ученик, не понимая задачи, не зная, как ее решать, но понукаемый учителем, вынужден был совершать какие-то действия. Он суммировал удобные для себя цифры – складывал километры с часами. Он пробовал, делал попытки, решал задачу. Как назвать этот метод? Метод проб и ошибок? Нет, это другой метод. В фольклоре людей, занимающихся техникой, он называется методом «тык да ляп». Хорошее название, точное и справедливое. Кто может похвастаться, что никогда в жизни им не пользовался?

В отличие от метода тык да ляп метод проб и ошибок имеет право на жизнь. При разумном использовании он вполне заслуживает похвалы. С поставленными перед ним обязанностями метод, когда лучше, когда хуже, но справляется, и этим методом, кто чаще, кто реже, пользуются даже люди, которые хорошо знают и понимают предмет, которым занимаются.

А какие перед методом проб и ошибок стоят обязанности? Решить задачу? Искать иголку в стоге сена, надеясь на счастливый случай? Увольте. Тут он пасует и не берет на себя такую наполеоновскую функцию. Натолкнуть на здравую мысль или догадку, расшевелить образное или логическое мышление, дать им толчок в нужную сторону, передать эстафету другому, более продуктивному методу – вот это, пожалуйста. Поставить забор, огородить область, куда бесполезно идти, это он может. Это его стихия.

Что происходит? Решается трудная задача. Нет никаких путей, нет идей, нет даже намека на проблески мысли. Логике нечего сказать образному мышлению. Нашему видению, нашему воображению и фантазии нечего сказать логическому мышлению. Все на стопорах. Полный тупик.

Бросить задачу? Допустимое и возможное решение, но в следующий раз к ней придется вернуться, а с чем? С какими идеями, с какими мыслями? Наступает отчаяние. В этом состоянии начинает шевелиться метод проб и ошибок. Его время, его эпоха. Сейчас и здесь он на месте.

Казалось бы, лучше бросить задачу. Заниматься ею – пустая трата сил. Это ошибочное мнение. Трата сил будет, но пустая ли? Если вы уйдете от задачи с нерастраченными силами, бодреньким, велика вероятность того, что вы, увлеченные чем-нибудь другим, к ней больше не вернетесь. Не моя девчонка, не приняла ухаживания – другую встречу. А если вы мучаетесь над задачей, она вас задевает и дразнит, у вас начинает закипать злость и жалить уязвленная гордость, а метод проб и ошибок ставит и ставит заборы, отгораживая области, куда не надо идти, и зоны входа в задачу, в которые вы еще не заглядывали, сужаются и сужаются.

После нескольких таких наскоков и штурмов однажды вы вдруг догадываетесь, где дверь во дворец и где ключ к замку. Логика подсказывает, как взглянуть новым взглядом или неожиданный взгляд подсказывает путь логике. С этого момента метод проб и ошибок больше не нужен. Он свое сделал. Догадка, близкая к точному решению, уже есть.
Поблагодарим метод проб и ошибок и скажем ему спасибо. Если в данный момент под рукой нет необходимых инструментов, но есть голова на плечах, и с неважнецкими инструментами можно работать. Лишь бы не сидеть, сложа руки, а там и инструмент, и идеи появятся.