Математика и творчество Часть 6

Феликс Довжик

Рассказы о математике Часть 6

Пища для логики

В душе погашены огни –
глаза без красок глохнут,
и даже мысли, и они
без сочной пищи сохнут.

Чтобы во время решения задач логическое мышление успешно работало, ему необходима пища. Без воды и пищи, как известно, «и ни туды и ни сюды». Пищу логическому мышлению может и должно поставлять образное мышление. Оно обязано догадаться, чего не хватает логике, обязано увидеть те нити и связи, то взаимодействие частей и событий, без усмотрения которых логика беспомощна. Но у образного мышления свои трудности, своя слепота и беспомощность. Оно тоже нуждается в помощи. Поэтому должны вырабатываться приемы подталкивания, побуждения образного мышления, приемы, помогающие увидеть то, что не лежит на поверхности, то, что замаскировано или скрыто.

Вот пример. Отцу 28 лет. Он старше сына в 14 раз. Через сколько лет отец будет старше сына в 3 раза? Сколько лет будет тогда отцу и сколько сыну?
В задаче две группы данных. Первая группа – отцу 28 лет. Он старше сына в 14 раз. Значит сыну 2 года. Он появился на свет, когда отцу было 26 лет. С тех пор каждый прожитый год увеличивает на год возраст и отца, и сына, но разница в их возрасте, сколько бы они в будущем не прожили, составляет 26 лет.

Ничего больше из этих данных мы узнать не можем. Вторая группа данных – через неизвестное нам количество лет отец станет старше сына в три раза. Возраст отца составит 3 возраста сына. Вот и все. Как связать эти данные с предыдущими? Как проложить между ними мостик?

Возможно, люди с сильно развитым логическим мышлением без привлечения образного мышления догадаются, как решить задачу, а люди с хорошо развитым образным мышлением сразу увидят или представят суть задачи. И те, и другие – люди одаренные. Обычному нормальному большинству этого не дано. Чтобы их образное мышление работало, им надо увидеть суть событий, а лучше всего события воспринимаются при составлении и разглядывании условных схем и рисунков.

Изобразим первую группу событий. Отцу 28 лет. Он старше сына в 14 раз. Сыну 2 года. Разница в возрасте 26 лет.




                28                26 лет             
                лет

                2 года

Через какое-то время сын подрос, но и отец стал на столько же лет старше Возраст отца – три возраста сына, а разница в возрасте осталась прежней – 26 лет.
Изобразим вторую группу событий и внимательно рассмотрим рисунок-схему.


                ВС
                26 лет

                ВС

                ВС – возраст сына


В возрасте отца, по условию, три возраста сына. Так ведь 26 лет, разница в возрасте отца и сына, – это два возраста сына. Значит, сыну 13 лет. Отцу 39. Сыну было 2 года, стало 13. Прошло 11 лет.

Благодаря схемам, отражающим полную картину событий, задача стала зримо понятной.
Кто умеет составлять уравнение, тот легко решит задачу.
Если х – количество лет, прошедшее с того момента, как отец был старше сына в 14 раз, до момента, когда отец стал старше в 3 раза, то имеем:
28 + х = 3(2 + х).
Откуда х = 11.

Данное решение – перевод условия задачи на язык алгебры. Оно не потребовало столь глубокого анализа событий задачи, как этого требует арифметическое решение. Некоторые открытия, которые неизбежны во время арифметических решений задач, часто остаются за бортом решений алгебраических. Облегчение иногда оборачиваются трудностями иного рода. Не в каждой задаче легко составить уравнение. В таких задачах все равно необходимо умение увидеть события, чтобы дать пищу логике.

Вот пример – известная задача о числе ступенек эскалатора метро.
Спускаясь по эскалатору, один пассажир насчитал 50 ступенек. Второй насчитал 75. Скорость второго в 3 раза больше скорости первого. Сколько ступенек на эскалаторе?
Предполагается найти число ступенек видимой части эскалатора.
Уравнение задачи легко решить, труднее его составить. Желающие могут убедиться. Ответ: 100 ступенек. Решения типа 50 2 или (75-50) 4 не засчитываются.


Клинок мысли
Внимай ненужному в пол-уха,
гони ненужное пинком,
когда мешает мыслить муха,
не муху – цель рази клинком.

Полет мухи

Два поезда, находящиеся на расстоянии 200 км, одновременно поехали навстречу друг другу с одинаковыми скоростями 50 км/ч. С момента старта между ними от одного поезда к другому и обратно стала летать муха со скоростью 75 км/ч и летала до тех пор, пока поезда не встретились. Какое расстояние она пролетела?
Когда-то этой задачей увлекались взрослые дяди-математики.

Условие задачи составлено так, что погоня за мухой уводит в дебри высшей математики, но задача легко решается арифметически. Она вполне доступна школьникам младших классов.
Если присмотреться, можно заняться расчетами, когда муха встретится с электровозом встречного поезда, потом при обратном полете – с электровозом первого поезда и так далее до встречи поездов.
Можно поступить иначе. Заняться не разглядыванием, а рассуждением.

Что в задаче надо узнать? Расстояние, которое пролетела муха. Что для этого надо знать? Скорость мухи и время, проведенное мухой в полете. Скорость мухи задана в готовом виде, а время полета можно узнать, наблюдая не за мухой, а за поездами.

Поезда мчатся навстречу друг другу. Первоначальное расстояние между ними 200 км. За каждый час каждый поезд приближается к другому на 50 км, а вместе они за час сокращают разрыв между собой на 100 км. Следовательно, до встречи они были в пути 2 часа. Муха за это время пролетела 150 км.

Богатое воображение и образное мышление в этой задаче могут далеко увести, а разумное логическое рассуждение помогает быстрее и лучше. Пример показывает, что оба инструмента мышления должны работать в тесном взаимодействии, а талант в том и состоит, чтобы безошибочно выбирать, когда и чем пользоваться в первую очередь.

Запуск змея

1. Мальчик запустил змея и, держа его за веревку, побежал против ветра со скоростью 8 км/ч. Скорость ветра 6 км/ч. С какой скоростью полетел змей?
2. Мальчик остановился. С какой скоростью полетел змей?

Лодка в устье реки

Лодка, плывущая по озеру со скоростью 3 км/ч, входит в устье реки, впадающей в озеро. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью лодка плывет по реке?

Повторение пройденного

Как от прямоугольного торта отрезать квадратный кусок, имея длинный нож и круглую гладкую шоколадку?
Шоколадка считается гладкой, если на ней нет точек. Длины ножа достаточно, чтобы сделать на торте любой прямой разрез. Диаметр шоколадки меньше любой стороны торта.


Капля в стакане
Живут идеи стаей
не в рамках – на просторе,
то в капле мысль витает,
то вдруг ныряет в море.

В сосуд налит приторно сладкий сок. Его лучше разбавить. Из сосуда с водой наливаем в сок какое-то количество воды, потом точно такое же количество жидкости из сосуда с соком возвращаем в сосуд с водой. Чего больше – воды в соке или сока в воде?
Смышленые озорники могут угадать решение.
Возможны три ответа:
1. Воды в соке больше, чем сока в воде,
2. Сока в воде больше, чем воды в соке,
3. Воды в соке столько же, сколько сока в воде.
Вероятность угадывания 1/3.

Если представить, что в сосудах одинаковое количество жидкости, жидкости слить вместе, смешать, потом разлить поровну, то сока в воде будет столько же, сколько воды в соке. Этот факт психологически повышает вероятность угадывания. Поэтому ответ требует обоснования.
Задачу можно решить методом, имитирующим расчет с привлечением любимого физиками воображаемого мысленного эксперимента.

Итак, в сосуд с соком добавляется какое-то количество воды. Что мы получим? Раствор? А сам сок – раствор? Если он фруктовый и с мякотью – точно не раствор. В жидкости взвешены измельченные твердые частицы фруктов. А если сок очищенный? Чтобы утверждать, что это раствор, надо знать его состав. Вот соль в воде – в чистом виде раствор. А в сок в процессе его приготовления из фруктов переходит много разных веществ.

Трудно утверждать, что они все растворимы в воде, как соль или сахар. Так что сок – скорее всего, это смесь воды, растворенного в ней сахара и веществ, поступивших из фруктов, некоторые из которых, возможно, растворимы, а некоторые нет. Если мы в сок долили воду, мы увеличили в нем концентрацию воды или уменьшили концентрацию сахара и фруктовых веществ. Влитая вода тут же перемешивается с остальной водой.

Любому известно, что праздничный салат состоит из компонентов, совершенно не растворимых друг в друге. Но, если хозяйка трудолюбиво все перемешает, смесь становится однородной – никто не жалуется, что ему достался один горошек, и не досталось картошки. Тем более получается однородной смесь жидкостей – воды в соке или сока в воде.

Но такое свойство растворов и смесей может нам помешать. Мы вливаем в сок воду и хотим наблюдать за нею. Для успешного решения задачи придется представить, что и с водой, и с соком мы можем проделывать любые манипуляции, какие нам потребуются. Мы можем ту часть воды, которую добавили в сок, и которая равномерно распределилась в нем, собрать и превратить в воображаемый твердый маленький кубик, а его мы можем перемещать и извлекать.

Представим, что весь сок мы разбили на 9 больших кубиков, а каждый из них разбили на 10 маленьких кубиков. Теперь из сосуда с водой выделим и перенесем в сосуд с соком кубик воды по размерам равный большому кубику сока, и его тоже разобьем на 10 маленьких кубиков. Поскольку у нас по нашему желанию ни большие, ни маленькие кубики сока и воды не рассыпаются и не растворяются среди остальных, а в сосуде с водой остается место для извлеченного кубика, мы можем смахнуть пот со лба и приступить к дальнейшим воображаемым манипуляциям.

Теперь из каждого из девяти больших кубиков сока мы будем извлекать маленький кубик сока, и из них (а их окажется 9) составлять новый десятый кубик сока, а в каждый большой кубик вместо извлеченного маленького кубика сока вставлять такой же по размеру маленький кубик воды (их 10). Последний десятый маленький кубик воды мы вставим в построенный новый большой кубик, в котором 9 остальных маленьких кубика состоят из сока.

Этот построенный десятый кубик перенесем в сосуд с водой и снова вспомним, из чего он состоит. В нем 9 маленьких кубиков сока, десятый – из воды. А сколько маленьких кубиков воды мы в самом начале перенесли в сосуд с соком? Десять. Но один вместе с девятью маленькими кубиками сока вернули назад. Получается, что добавленной воды в соке 9 маленьких кубиков. Следовательно, в сок мы добавили столько воды, сколько сока добавили в воду.

Поскольку в задаче пришлось иметь дело с водой, вспомним задачи с бассейнами, о которых говорилось в заметке «Успех в работе». Эти задачи решались путем расчета производительности труб – их возможности налить в бассейн воду в единицу времени.
Задача со смешиванием воды и сока расчетным путем решается при использовании понятия концентрации – долевой концентрации по массе или долевой концентрации по объему. Долевая концентрация по массе – отношение массы данного вещества к массе всей смеси.

Скорость помогает решать задачи на движение, производительность – задачи на работу, концентрация – задачи со смесями.
Допустим, что в нашей задаче воду и сок переливают так, что массы жидкостей в сосудах не меняются. Мы из сосуда с водой берем какую-то часть массы воды m и вливаем ее в сок с массой M. Получаем однородную смесь (или раствор) общей массой (M + m). Какова в нем концентрация добавленной воды?
Общая масса смеси  (M + m). Концентрация добавленной воды:  .
Концентрация определяет долю добавленной воды в полученной смеси.
Далее в задаче мы из смеси изъяли массу m и перелили ее в сосуд с водой. Сколько в сосуде с соком осталось воды?
Масса оставшейся смеси M. (Количество ее осталось прежней, но уже с добавленной водой).
Доля воды в этой смеси –  . Значит, полное количество добавленной воды в смеси массой M:  .
А сколько сока мы перелили в воду?
Мы взяли из смеси массу m.  Доля воды в ней –  . Значит, воды в массе m:
  m   = 
Сока в этой массе:
m –   =   = 

Оказывается, воды по массе в соке столько же, сколько сока влили в воду.

Теперь, когда после трудоемких размышлений и расчетов известен результат, посмотрим, как решал эту задачу Мартин Гарднер – знаменитый популяризатор занимательной математики. (Мартин Гарднер. «А ну-ка, догадайся», – Москва, «Мир», 1984)
У Гарднера задача формулируется так. Стакан воды стоит рядом со стаканом вина. Жидкости в каждый стакан налито поровну. Возьмем каплю вина и, добавив в стакан с водой, тщательно перемешаем. Затем каплю смеси такого же размера, как и капля вина, перенесем в стакан с вином. Чего теперь больше: воды в стакане с вином или вина в стакане с водой?

Прежде чем решать эту задачу Гарднер рассмотрел другую задачу по данной теме, но более доступную для восприятия.
В спортивный лагерь в одном автобусе должны ехать 40 юношей, а в другом 40 девушек. Пока водители готовились к отъезду, 10 юношей пересели в автобус к девушкам. Водитель автобуса заметил это и десяти пассажирам предложил пересесть в свой автобус. Десять пассажиров выполнили его просьбу, но вместе с юношами в другой автобус перешли несколько девушек, а несколько юношей остались в автобусе для девушек. По дороге в лагерь водитель задумался, кого больше – девушек в автобусе для юношей или юношей в автобусе для девушек?

Такая задача легко решается, если внимательно присмотреться к перебежчикам.
Предположим, что из автобуса для девушек в свой автобус не ушли четверо юношей. Тогда в автобусе для юношей осталось четыре свободных места. Эти места могли занять только четыре девушки.
Вернемся к задаче с вином.

Даже если мы несколько раз переливали жидкость из одного стакана в другой, мы точно такое же количество жидкости по объему возвращали из второго стакана в первый. В итоге мы изъяли какой-то объем вина. Но общее количество жидкости в стакане с вином не изменилось. Чем компенсировалась недостача? Точно таким же объемом воды, изъятым из стакана с водой, а в нем недостача компенсировалась точно таким же объемом вина. Так кого где больше?

В физике целый ряд задач гораздо легче решается, когда используются основополагающие законы, например, закон сохранения энергии. Нечто подобное в этой задаче. Объемы жидкостей в стаканах сохраняются, и об этом в условии задачи сказано, но этот факт смещается на периферию нашего внимания и не становится основой для поиска решения. Почему?
Существует давнее мудрое высказывание – из-за деревьев лес не виден. Наше внимание растекается, как вода в вине. Мы рассматриваем отдельные деревья и не замечаем леса – общей основополагающей картины.

«Головоломка с водой в вине и вином в воде, – заключает Гарднер, – замечательный пример задачи, поддающейся решению путем громоздких вычислений, но при надлежащем подходе легко решаемой с помощью простых логических соображений». Здесь Гарднера можно дополнить.

Логические соображения окажутся простыми, если будет осуществлен надлежащий подход, а это – самое сложное и самое трудное в процессе решения задач. Надлежащий подход – умение рассматривать не деревья, а лес во всем единстве отдельных деревьев. Такой подход часто помогает даже в алгебре, где, казалось бы, даны четкие формулы, алгоритмы и методы преобразований алгебраических выражений.

Вот пример. Три числа р, р2 – 6, р2 + 6 – простые числа. Доказать, что 6р + 7 также простое число.
На первый взгляд, задание страшное. Что применить из известного, если не подходят ни формулы, ни алгоритмы? Как заставить работать фантазию и воображение, как применить смекалку? Какую картинку представить, чтобы заработало логическое мышление и отыскался «надлежащий подход»?

А если подойти к этому примеру как к обыкновенной задаче? Что в задаче происходит, какие события? Среди бесконечного множества простых чисел взяты связанные между собой определенной зависимостью неизвестные нам три простых числа. Простых в том смысле, что они, кроме единицы и самого себя, не имеют других делителей.

Нужно доказать, что существует и четвертое простое число, связанное с исходным заданной зависимостью. Эти четыре числа – всего лишь деревья в лесу простых чисел. Давайте рассматривать лес. Рассмотрим все деревья, познакомимся с ними. Чтобы их видеть своими глазами, не поленимся, выпишем в строчку хотя бы десяток и присмотримся к ним.

2, 3, 5, 7. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 …

Двойка – единственное четное число среди простых чисел. Все остальные простые числа – нечетные. Пятерка – тоже особая цифра среди простых чисел. Ни одно простое число, кроме самой пятерки, на цифру пять не кончается. (Иначе оно делилось бы на пять). А на какую цифру оканчиваются все остальные простые числа? На 1, 3, 7, 9. Ни пятерки, ни четной цифры в последнем разряде простых чисел быть не может. А на какую цифру оканчиваются квадраты простых чисел?

Если сами простые числа, кроме двойки и пятерки, оканчиваются на 1, 3, 7, 9, то их квадраты, сколько бы разрядов в числе не было, оканчиваются на 1, 9, 9, 1 – всего на две цифры. А на какую цифру будут оканчиваться числа р2 – 6, р2 + 6?
Если число р2 оканчивается на единицу, то число р2 – 6 в последнем разряде будет содержать цифру 5 и, следовательно, не будет простым.
Если число р2 оканчивается на девятку, то число р2 + 6 в последнем разряде будет содержать цифру 5 и, следовательно, тоже не будет простым.

Осталось рассмотреть, обладают ли свойством, предложенным в условии задачи, два простых числа – двойка и пятерка. Для двойки числа р2 – 6, р2 + 6 будут четными и не будут простыми.
Для пятерки р2 – 6 = 25 – 6 = 19, а р2 + 6 = 31. Оба числа 19 и 31 – числа простые. Вот три единственных простых числа, удовлетворяющих условию задачи, – 5, 19, 31. Но тогда 6р + 7 = 37. 37 тоже простое число.
Из леса мы вышли на нужные нам деревья. От дерева – к лесу, от леса – к нужному дереву. Вот разумный подход.


Взвод в строю
Не видишь пред собою сушу –
споткнешься: есть промашкам срок,
а чтоб не сесть за кочкой в лужу,
смотри и вдоль, и поперек.

Учительница математики зашла в класс и застала Иванова, размахивающего тряпкой возле девчонок с первой парты.
– Иванов. Ты почему с тряпкой?
– Я дежурный.
– Раз ты дежурный, скажи, сколько человек в классе?
– У нас три ряда парт по пять парт в каждом ряду. Одно место не занято. Нас 29.
– Садись, Иванов. Петров, с места. Сколько человек в классе?

Петров поднимается, оглядывает класс и отвечает:
– Иванов уже занимает свое место. Значит, 30.
– Садись, Петров. А еще отличник. Сидоров! Сколько человек в классе?
– Тридцать, Анна Ивановна.
– Сидоров, ну почему 30?
Двоечник Сидоров обосновал свой ответ. Учительница согласилась с ним и даже похвалила его. Что Сидоров ответил учительнице?

В учебный взвод прислали нового командира.
Во взводе три отделения, каждым командует сержант. Новый командир построил взвод в колонну по три. При построении в колонну солдаты смотрят в затылок друг другу. (При построении в шеренгу они стоят плечо к плечу). Первыми стоят командиры отделений.
Командир взвода приказал:
– Командир первого отделения, выйти из строя и подсчитать число шеренг в строю.
– Командир второго отделения, выйти из строя и подсчитать количество по рядам.
– Командир третьего отделения, выйти из строя и подсчитать количество по шеренгам.

Через некоторое время командир первого отделения доложил:
– Товарищ лейтенант, в строю десять шеренг.
За ним доложил командир второго отделения:
– Товарищ лейтенант, в строю 30 солдат.
Последним доложил командир третьего отделения:
– Товарищ лейтенант, во взводе 33 человека.

Командир взвода возразил:
– А по штабным документам во взводе 34 человека. Где остальные и почему не совпадает подсчет?
Вопрос командира правомерен, но возникают дополнительные вопросы. Кто докладывал правильно и прав ли командир?

А теперь вернемся в класс. Двоечник Сидоров так ответил учительнице:
– Меня вы, Анна Ивановна, за человека никогда не считали, а без меня с вами 30 человек.
А с взводом все просто. Первый и второй командиры доложили правильно. Рядов три, шеренг десять, солдат в строю – тридцать. Подсчет по шеренгам дал бы тот же результат, если бы командир третьего отделения не добавил к числу солдат в строю трех командиров отделений, которые в данный момент были вне строя. А командир взвода не учел себя.

Подсчет, похожий на подсчет по рядам и шеренгам, часто встречается в математических задачах, особенно в задачах с таблицами. В них сумма цифр или знаков, подсчитанная по рядам, обязательно должна совпадать с суммой, подсчитанной по строчкам, как и число солдат в строю, поскольку подсчитывается одно и то же число, но разными способами.

Случай с учительницей и командиром взвода показывает, как важны точные формулировки. Неточности и оговорки могут приводить к курьезам.
На занятиях по геодезии на военной кафедре подполковник дал студентам задание:
– Определить расстояние от меня до следующего столба.
А вот пример находчивости студента на той же военной кафедре.
Подполковник Андриенко выгнал студента из аудитории за разговоры и шалости и велел доложить об этом дежурному по военной кафедре. Дежурил в тот день подполковник Бритов. Студент доложил ему:
– Товарищ полковник, майор Андриенко выгнал меня с занятий.
Столь лестное для дежурного обращение студента со званиями понравилось Бритову, и он, улыбаясь, разрешил студенту вернуться на занятия.

Еще одна армейская история. Она не имеет отношения к математике, но демонстрирует занятные тонкости человеческой психологии. А кто из нас знает, что в жизни важнее – понимание людей или понимание математики?
В воскресный день старшина привел учебную роту в столовую обедать. В армии даже в столовой все делается по команде. Несколько отступая от уставных правил, старшина скомандовал:
– Внимание, рота! Берите в руки алюминьтевые ложки и садитесь.
– Не алюминьтевые, а алюминиевые, – поправил его еще неискушенный в человеческой психологии и военном деле новобранец.
– А ты, рядовой Иванов, грамотный что ли? – удивился старшина. – Писать и складывать умеешь?
– Умею, товарищ старшина.
– И корни извлекать можешь?
– Могу, товарищ старшина.
– Тогда после обеда рота пойдет на пляж, а ты, рядовой Иванов, возьмешь лопату и извлечешь корни старой березы, которую утром спилили у входа в столовую.


Огурцы на грядке
Открытие – удача,
как в сказке тайна клада,
а в жизни, как в задаче –
в ней тоже думать надо.

Однажды летом долгое время дожди регулярно шли ночью, а днем светило солнце. Хозяин огорода для полива огурцов поставил в огороде широкую кастрюлю, высотой 10 см. Ночью во время дождя в нее наливалась вода, высота слоя 3 см, а днем слой 2 см испарялся. Когда хозяин польет огурцы?
Если рассуждать логично, ночь и день – сутки. За сутки в кастрюле добавляется слой воды в 1 см. Высота сосуда 10 см.  Следовательно, полное заполнение произойдет за 10 суток. Так на парашюте поверхностной логики можно опуститься в кастрюлю.
А если посмотреть осторожнее и внимательнее?

Первые сутки начинаются с ночи. Кастрюля к утру заполняется водой до уровня
3 см, но к началу следующей ночи уровень воды – 1 см. Так происходит каждые сутки. Утром уровень на 3 см выше, чем накануне вечером. Следовательно, утром восьмого дня уровень воды в кастрюле – 10 см. Или по-другому. К концу шестых суток уровень воды – 6 см. За ночь седьмых суток уровень достигнет 9 см, к концу дня – 7 см. За ночь восьмых суток, к утру восьмого дня кастрюля наполнена до краев.

Когда хозяин польет огурцы?
Мы решили задачу, когда кастрюля наполнится водой, а полив огурцов – из другой оперы. Если огурцы растут в открытом грунте, они не нуждаются в поливе – каждую ночь идут дожди. Если огурцы в парнике или теплице, их надо поливать, когда они того требуют, а не тогда, когда наполнилась кастрюля. Иначе можно остаться без огурцов.
В период активного плодоношения огурцы снимают через один или через два дня. Собрали плоды – поблагодарите растения. Они скажут спасибо.


Три задачи на огуречную тему

Повторение – мать учения, а зубрежка – мачеха.
Будем считать, что две следующие задачи – повторение, а не зубрежка, хотя – как знать?

1. Возведение башни
В старину рабочие возводили башню. За один день поднимали кладку на высоту 1 м, за второй строили леса и заносили кирпич. За сколько дней возведут стены башни, если ее высота должна быть 15 м?

2. Муравей и кузнечик
На прямой дорожке сидел муравей, к нему направлялся кузнечик. Когда до муравья оставался 1 см, кузнечик и муравей одновременно увидели впереди хлебную крошку, от которой до кузнечика было 12 см. Муравей пополз к ней со скоростью 1 см/сек, а кузнечик стал прыгать. Он делал прыжок за 1 сек длиной 3 см, а потом 2 сек отдыхал. Кто из них раньше достиг цели?

3. Лодка на реке.
Мальчик поплыл на лодке по реке против течения в соседнюю деревню, расположенную от причала на расстоянии 9 км. За каждые полчаса мальчик проплывал 3 км, а после этого полчаса отдыхал, не причаливая к берегу. Скорость течения реки 2 км/ч. За какое время мальчик доплывет до деревни?


Озерные забавы
Мель да заторы впереди?
Да будь их сотня или двести,
идей достойных пруд пруди.
Зачем тонуть на мелком месте?

Из двух противоположных берегов озера А и В навстречу друг другу вышли два катера и встретились на расстоянии 400 м от берега А. Не снижая скорости и не меняя направления, они благополучно разминулись и проследовали до берегов. Там они развернулись и снова помчались навстречу друг другу. На этот раз их встреча произошла в 200 м от берега В. Какова длина озера?

В этой задаче, пока не представишь картину событий, будешь смотреть на катера, как в афишу коза. Для логических рассуждений и тем более для расчетов нет никакой пищи. Надо представить и увидеть, что происходит.
Воображение дано каждому, каждый способен представить какой-нибудь водоем, берега, катера на воде, их движение. Так давайте представим.

Вот от двух берегов А и В одновременно навстречу друг другу отплыли два катера, плывут лоб в лоб, сближаются. Уже расстояние до плывущего навстречу катера меньше, чем до оставленного берега. А вот и встреча! Два катера рядом, борт о борт. Вдали берега. За спиной у катера А расстояние, пройденное от берега до места встречи – 400 м, которые еще предстоит пройти катеру В, за спиной которого расстояние, пройденное им от берега В до места встречи. Вместе к моменту встречи оба катера прошли расстояние, равное длине озера, и затратили на это какое-то время.

Не меняя направление, катера продолжают движение, уплывая друг от друга. Смотрите! Теперь они плывут спина к спине, достигнут берегов, развернутся, поплывут навстречу друг другу и встретятся в двухстах метрах от берега B. От момента первой встречи до момента второй встречи они вместе проплывут расстояние, равное двум длинам озера, а от момента старта до второй встречи они совместно пройдут расстояние, равное трем длинам озера, и затратят на это время, в три раза больше, чем затратили время от момента старта до момента первой встречи.

До момента первой встречи катер А прошел 400 м, а от старта до момента второй встречи он прошел расстояние в 3 раза больше, так как находился в пути в 3 раза больше. Следовательно, он пройдет 1200 м и окажется на расстоянии 200 м от берега В. Значит, длина озера 1000 м.
Все. Задача решена и оказывается, она может быть решена без схем и рисунков, но она не может быть решена без воображения, без представления, без образного мышления.

По-видимому, примерно так решают задачи люди, которые умеют сразу включить в работу образное мышление или умеют управлять им без вспомогательных пособий. Остальным пособия необходимы, хотя бы на первом этапе, пока не появится опыт. Но потом от привычки использовать пособие трудно избавиться, а есть немало задач, где составление пособий – не менее сложная задача, чем сама задача. Пример тому – задача со ступеньками эскалатора метро из заметки «Пища для логики», но сначала завершим задачу с катерами.
Составим схему, которая помогает решению задачи. Рисовать и отмечать точки встреч на одной линии – только лишний раз себя запутать. Линия движения каждого катера должна быть индивидуальной.

      Место первой встречи

 

         


      
                Место второй встречи               

Из рисунка видно, что катера совместно до момента второй встречи прошли расстояние, равное трем длинам озера, а катер А в итоге прошел путь, равный длине озера и еще 200 м.
Схемы и рисунки – это условное изображение реальных событий. Они должны их очень точно изображать или кодировать. Малейшая неточность усложняет решение задачи.

Теперь вернемся на ступеньки эскалатора метро. Вспомним условие задачи.
Спускаясь по эскалатору, один пассажир насчитал 50 ступенек. Второй насчитал 75. Скорость второго в 3 раза больше скорости первого. Сколько ступенек на эскалаторе?

Как составить схему событий, если зацепиться не за что? В этой задаче проще и легче сразу без посредников включать в работу образное мышление. Напрягайтесь и смотрите, воображайте и представляйте. Ничего сложного в этом нет, хотя и легкого нет ничего. Обычно наше воображение охотно создает приятные для нас картины. Мы без труда представляем то, о чем мечтаем или то, чего хотим. Легко представляем возможные развлечения и удовольствия, желаемые подарки в наш рюкзак. А в задаче придется представлять какой-то абстрактный эскалатор, чтобы непонятное увидеть и понять. Но другого пути нет.

Никаким другим способом, кроме готовых чужих решений, от которых мало пользы нашему уму, мы ответа не найдем. Придется утруждать себя и напрягаться, а зачем? Кто не знает ответа на этот вопрос, тот только из-под палки будет неволить свое мышление и будет увиливать от этого при первой же возможности. Лишь заинтересованность, лишь увлечение способно приковать внимание к ступенькам эскалатора. Или понимание необходимости. Но в молодом возрасте оно не часто гостит в нашем сознании.

Да и соблазнов пруд пруди. Махни через перила и ты на воле. Трудные вопросы. Гораздо труднее эскалаторной задачи.
И все-таки посмотрим с высоты на эскалатор. Пока не пройден путь, не знаешь, стоит ли он того.

Допустим, мы находимся у остановленного эскалатора, стоим у первой ступеньки, ждем сигнала пуск и смотрим вниз. Перед нами n ступенек, всех их отсюда сверху не сосчитать. Сейчас дадут команду «пуск», все ступеньки разом поедут вниз, а мы начнем шагать в том же направлении. Нам предстоит отшагать 50 ступенек. Вон она – пятидесятая ступенька, на нее поставлен чемоданчик, чтобы мы ее отсюда видели. За ступенькой с чемоданчиком остальные (n – 50) ступенек.

После команды «пуск» каждая из них по очереди одна за другой начнет исчезать под   полом эскалатора, а мы будем приближаться к этому месту, шагая по ступенькам к чемоданчику. В тот момент, когда мы наступим на ступеньку с чемоданчиком, последняя из (n – 50) ступенек, ближайшая соседка нашей пятидесятой, скроется под полом. Стоп. Эскалатор остановлен. Мы внизу.

Сколько времени эскалатор втягивал в подпольные, скрытые от нас помещения (n – 50) ступенек, столько времени мы были в пути от верхней начальной ступеньки до пятидесятой с чемоданчиком. Нам надо определить свою скорость, чтобы сравнить со скоростью того торопливого пассажира, который станет отсчитывать ступеньки после нас. Для этого надо знать пройденный путь и время.

 В горизонтальном направлении мы прошли 50 ступенек. Пусть ширина ступеньки, ее размер в горизонтальном направлении, в направлении нашей ступни – h. Тогда пройденный нами путь 50h. А сколько времени затрачено на это? Ровно столько, сколько понадобилось эскалатору затянуть и скрыть от нас (n – 50) ступенек. Пусть t – время, потраченное эскалатором на то, чтобы протащить одну ступеньку. Тогда на все ступеньки он затратил (n – 50)t. Но столько же времени затратили и мы. Следовательно, наша скорость равна:
                .

А скорость того торопыги, который спешит вслед за нами, будет:

                .
Его скорость в три раза больше нашей. Вот оно – уравнение:

              .

В уравнении три неизвестных, но два из них любезно покидают нас.

                .

Или           2(n – 75) = n – 50. Откуда n = 100.

Теперь, зная решение задачи, можно предположить, какая схема или рисунок помогли бы анализу задачи, но непосредственное представление или воображение событий более плодотворно.

Иногда составление уравнений – задача более трудная, чем решение самой задачи. Точно также иногда составление схем и рисунков, которые, как на ладони, раскрыли бы решение, задача более трудная, чем ее решение.

В какой-то степени решение задачи путем составления уравнения – это формализация логического мышления, перевод событий задачи на язык абстракций. Составление схем или рисунков – это формализация образного мышления. Как всякая формализация она иногда может быть нечеткой или неполной.

Формализация логического мышления, успешная во многих сферах, в ряде случаев не может заменить само логическое мышление. Точно также формализация образного мышления не заменяет образного мышления. Формализация и того и другого – лишь инструменты более мощных инструментов. Понимать, какие инструменты, когда и как их применять – это и есть мастерство.

Как научиться? Только опыт может помочь. Крылья вырастают в полете.
Уравнения завели в тупик? Наверняка что-то упущено. Снова покопайтесь в логике событий. Не помогают рисунки и схемы? Попробуйте представить непосредственно. Какое-то недопонимание или какое-то недовидение ехидно водит за нос.

Логикой тревожьте образное мышление, образным мышлением тормошите логику. Что-нибудь даст подсказку. А если руки опустились, ничто не поможет, пока ваша воля не возьмет вас в руки. Терпение, настойчивость, даже разумное озлобление против невидимого противника – все необходимо и полезно. Поражения учат борьбе, победы учат решать задачи.

Задачи на озерную тему

1. Между двумя противоположными берегами озера курсируют катера. Они одновременно покинули противоположные берега и первый раз встретились на расстоянии
400 м от берега А, а второй раз встреча произошла у самого берега В. Определить длину озера и соотношение скоростей.

2. Вторая встреча произошла в той же точке, где произошла первая встреча. Определить длину озера.

3. Вместо катера от берега А отплыла лодка. Вторая встреча лодки и катера произошла, когда лодке оставалось 200 м до берега В. Определить длину озера.


Шаблонное мышление
Когда вместо мыслей лишь бред,
путь к истине тощий и хлипкий,
природа скрывает ответ
и водит нас за нос с улыбкой.

В кожаной куртке сломался замок на молнии – металл устал и раскрошился. И с металлом такое бывает. А что делать с курткой?
Почему-то в подобных случаях в первую очередь надеешься на дядю, а не на себя. Дядя в мастерской заявил, что именно таких импортных замков у него нет, есть другие подходящие.
Другой замок отказал после второго застегивания. Застежка не работала, а снова идти к дяде не хотелось.

Какие только варианты решения не вертелись в голове – выбросить куртку, поменять в ателье молнию, перейти на пуговицы. Все варианты имели свои минусы.
В процессе огорчительных раздумий взгляд упал на молнию декоративного кармана. А если снять с нее замок и поставить на основную молнию, а сюда замок из мастерской. Родной замок молния должна принять с распростертыми объятиями.
Пять минут работы, и куртка снова на плечах прогуливается по улице.
Почему же очевидное решение приходит в последнюю очередь?

Похожий случай. В темной ванной (нет окон) на стене напротив двери – плафон. Под ним зеркало и умывальник, а сбоку на выступе стены – электрическая розетка. Очень удобно было бы здесь бриться, но, увы, розетка декоративная – провода к ней не подведены. Ближайший источник электроэнергии – плафон, но к нему напряжение подведено через выключатель. Выключишь свет в ванной – розетка отключится. Неудобно. Есть еще розетка за дверью снаружи ванной, но вести оттуда провода по стенам через всю ванную с учетом кафеля – не лучшее решение. Не делать – плохо и делать – никакого удовольствия.

И вот опять в процессе размышлений вдруг пронзает мысль – зачем нужна розетка, если в ванной свет погашен? Ни феном, ни электробритвой не воспользуешься. Плафон как источник электроэнергии забракован несправедливо. Выключили свет – розетка не нужна, включили – пользуйся. Час обычной мужской работы и извольте бриться.

Немало примеров нешаблонного мышления в хороших остроумных анекдотах. Почему они доставляют удовольствие? Не догадываешься, каков будет выход из анекдотической ситуации, а тебе предлагают неожиданное разумное решение. Или ждешь стандартного привычного решения, которое на самом деле таковым не является, а, казалось бы, парадоксальное предоставляет остроумный выход из положения.

Во второй половине прошлого века рассказывали такой случай. Начинающий водитель сдает экзамен для получения прав на вождение машины милиционеру кавказской национальности.
; Скажи, дорогой. Ты несешься по крутой горной дороге. Дорога узкая, слева скала, справа обрыв в ущелье, и вдруг впереди с одной стороны девушка, молодая, красивая, а с другой стороны старая-старая бабка. Кого давить будешь?
; Бабку!
; Нет, дорогой. Тормоза давить надо.

Во время Великой Отечественной войны в тайге понадобилось от пункта А до пункта В развести и разложить трубы для нефтепровода. Суровая зима, дорога, хуже некуда, машины старые, постоянно ломаются, и тех мало, а новые на фронте. А с другой стороны, задача простая, вози и раскладывай трубы от А до пункта назначения. Но главный инженер приказал раскладывать трубы от конечного пункта. Почему? Какая в этом выгода?

Допустим, раскладываем от пункта А и часть труб уже разложили. Едет машина и ломается в пути. Трубу приходится сбрасывать, а там уже труба уложена. Посылай за этой трубой другую машину с командой грузчиков и вези ее дальше на назначенное ей место.
Между прочим, это теперь на каждом шагу автокраны и автопогрузчики, а в середине прошлого века для погрузки собиралась бригада мужиков и под крики «раз-два-взяли» тащили и грузили. А во время войны мужики, как и машины, – дефицит.

Если же раскладывать от конечного пункта, и по дороге машина ломается, труба сбрасывается и в последующем везти сюда трубу уже не нужно.
И еще. Пока развозишь, машины изнашиваются все более и более. Поэтому надежнее развозить сначала на дальнее расстояние, а потом на ближнее уж как-нибудь. Трудности – от бедности, но от этого суть задачи не меняется. И при сытой жизни на голом месте могут возникнуть сложные задачи.


Трезвый взгляд
Мальчик спрашивает у папы:
– Папа, если бы ты не работал, у тебя было бы больше свободного времени?
– Конечно, сынок, но оно все уходило бы на то, чтобы просить милостыню.

Садимся в лужу мы тогда,
когда в песок идут года,
а в каждой луже очень сыро
и не дают ни крошки сыра.