Математика и творчество Часть 5

Феликс Довжик

 Рассказы о математике Часть 5.

Ложь на ложь

Везут халтуру на базар
и лошадь гонят плеткою,
у лжи сомнительный товар,
да и судьба короткая.

Есть немало хитроумных задач, главными персонажами которых выступают правдолюбцы и лжецы. Правдолюбцы всегда говорят правду, хотя такого в жизни не бывает, лжецы всегда говорят ложь, хотя им это удается не всегда. В жизни не было, нет и не будет людей, которым не приходилось лукавить.
 Рубить правду-матку, не взирая ни на что, способны лишь фанатики правдолюбия, но вреда или горя от них часто больше, чем доброты и пользы, поскольку правда иногда может быть разрушительной. Но и ложь всегда вредна. Поэтому в жизни надо отличать ложь от невысказанной правды. Это две большие разницы.

В задачах перед правдолюбцами и лжецами моральных проблем нет. Поэтому одни всегда говорят правду, другие всегда говорят ложь. Вреда от этого нет – есть интересные задачи.

В странный поселок, в котором живут только правдолюбцы и лжецы прибывает посторонний человек. Перед ним стоит задача по одному единственному вопросу узнать, смотрел ли вчера первый же встречный житель поселка футбольный матч по телевизору.
Прямой вопрос в лоб не дает решения.
; Смотрели ли вы вчера футбольный матч по телевизору?
; Нет, не смотрел.

Разве можно поверить ответу, не зная, кто перед тобой – правдолюбец или лжец?
Подобный вопрос не задать нельзя, но как отличить, кто перед нами? Нужны дополнительные вопросы, чтобы вывести лжеца на чистую воду, а мы имеем право задать единственный вопрос. А что если использовать помощника с его правом задать после нас свой единственный вопрос? Помощник может спросить у того же встречного:
; Что вы сказали тому гражданину?
; Я ему сказал, – отвечает житель поселка, – что я видел вчера футбольный матч.

Житель поселка, если он лжец, врет помощнику, как до этого врал нам, но мы с помощником можем сравнить его ответы и понять, что перед нами типичный задачный лгунишка. Два вопроса, два ответа дают нам точное решение. Как перейти к одному вопросу и одному ответу?
Помощник может задать вопрос и в такой форме:
; Что вы ответили гражданину на его вопрос, смотрели ли вы футбольный матч?
Ответ лжеца был бы прежним:
; Я сказал, что видел вчера футбольный матч.

Форму вопроса можно упростить и не ссылаться на гражданина.
; Что вы ответили на вопрос, смотрели ли вы футбольный матч?
Ответ был бы прежним, но такой вопрос можно задать и без помощника:
; Что бы вы ответили на вопрос, смотрели ли вы вчера футбольный матч?
Разница лишь в том, что с помощником мы не только выясним, смотрел ли гражданин футбольный матч, но и кто перед нами – правдолюбец или лжец, а без помощника мы только узнаем, смотрел ли он матч или нет. Но именно эта задача стоит перед нами.

Вопрос скрытно заключает в себе два вопроса. Как будто кто-то уже спросил жителя поселка про футбольный матч, и он на него уже дал ответ, а сейчас должен ответить, что он ответил на тот вопрос. Лжец честно дважды лжет и раскрывает правду. Вторая ложь подряд на одну тему оказывается истиной.

Недаром в жизни рано или поздно врунишка завирается. Он попадает в такие ситуации, что вынужден проболтаться и ненароком открыть правду или разоблачить себя. Чаще всего в жизни врут не потому, что от этого выгадывают, а потому, что ложь в крови. Или родители вовремя не остудили лгунишку, или сами были грешны в этом, а чадо приумножил то, чем одарили его лжелюбивые родители. Но в логических задачах лжецам полезно врать, чтобы те, кто решает задачи, оттачивали свою сообразительность.


Замечание к логике

Прочтите следующую фразу и комментарий к ней.

То, что было, всегда есть, а то, что есть, всегда было,

Кажется, во фразе повторение смысла и она могла быть короче.

Остановитесь, не читайте дальше. Попытайтесь запомнить свои мысли и чувства, соглашаясь или не соглашаясь с автором.

Воспользовались паузой? Вернемся к размышлениям автора.
Логика – дитя разума, но в логике есть высказывания, которые трудно воспринимаются логическим разумом. Для понимания таких высказываний необходимо привлечь чувственный аппарат.
В высказываниях есть подтекст – скрытый для понимания смысл. Его надо уловить и почувствовать или почувствовать и уловить – выявить.

Суть в том, что во многих высказываниях не дается полная информация.
Неполную информацию приходится расшифровывать и разгадывать. Это требует взаимодействия всех инструментов мышления. Если всегда излагать полную информацию, работает только часть мозга. Другая, того и гляди, может атрофироваться. Мышление потеряет свою гибкость и свои возможности.

Вернемся к фразе. То, что было, всегда есть. Это пласты прошлого, факты, события, которые мы пока еще не увидели в настоящем, но они в нем есть.
То, что есть, всегда было. Это пласты настоящего, которые мы еще не увидели в прошлом. Во фразе не перевернутое повторение одной и той же мысли, как это может воспринять логический разум. Фраза раздваивает чувственное внимание на разные пласты, принудительно расширяет наше поле обзора.

Юмористы любят рассказывать о людях с плохо развитым чувством юмора. Такие люди одним логическим разумом пытаются понять смешное или парадоксальное. Не получается. Другими инструментами надо работать.


Зримая логика
Есть верный путь к плодам искусств
и почва для зерна открытий –
сверять умом логичность чувств
и видеть логику событий.

Пять друзей Андрей, Боря, Витя, Гена и Дима ели мороженое. Трое ребят ели брикеты желтого цвета, двое ели мороженое коричневого цвета в форме рожка. Кто из ребят ел мороженое желтого цвета, если известно, что:
1) Витя и Гена ели мороженое разного цвета,
2) Андрей и Боря ели мороженое разной формы,
3) Гена и Дима купили одинаковое мороженое,
4) Боря и Витя разошлись во вкусах.

Логические задачи решаются намного легче, если логические связи становятся зримыми и видимыми.
Гена и Дима купили одинаковое мороженое. Между Геной и Димой как бы существует связь, у них совпали вкусы, они совершили одинаковый поступок. Изобразим это графически. Круг и начальная буква имени возле него изображают воображаемого Гену, аналогичным образом представим Диму, а сплошной линией между кругами изобразим связь между ними.

Г                Д


Условно можно посчитать, что между Геной и Димой притягивающая связь.
Андрей и Боря ели мороженое разной формы. Их вкусы разошлись, они совершили разные поступки, между ними как бы отталкивающая связь – что совершил один, то не сделает другой. Связь между ними будем изображать линией, перечеркнутой в двух местах крестами.
                Б                В
                х         х

Теперь изобразим всех пятерых друзей и связи между ними, которые нам известны из условия задачи.

                А                Б                В
                х           х      х             х
                2                4   
                1
                Г           3         Д
               
                х                х


Цифрами на рисунке показаны связи в соответствии с условиями задачи. Между Витей и Геной связь (1) отталкивающая. Они ели мороженое разного цвета. Между Андреем и Борей связь (2) отталкивающая. Они ели мороженое разной формы. Между Геной и Димой связь (3) притягивающая. Они купили одинаковое мороженое. Между Борей и Витей связь (4) отталкивающая. Они разошлись во вкусах.

Теперь посмотрим внимательно на рисунок и сделаем выводы.
Боря ел мороженое не такое, какое ели Витя и Андрей. Поскольку у нас мороженых только два сорта, то вкусы Вити и Андрея совпали, они ели мороженое одного сорта. На следующем рисунке между Витей и Андреем можно показать притягивающую связь – изобразить ее пунктирной линией. Эта связь по условию не дана, мы ее обнаружили или установили.

Боря ел мороженое не того сорта, что ели Андрей и Витя, а Витя ел мороженое не такое, какое ели Гена и Дима. Следовательно, Боря мог есть мороженое только того сорта, который ели Гена и Дима. Между Борей и Геной или Димой можно изобразить притягивающую связь. В итоге получается, что Андрей и Витя ели мороженое одного сорта, а трое остальных ребят ели мороженое желтого цвета.


                А                Б                В
                х         х       х          х 


                Г                Д

                х                х

Казалось бы, логические задачи и решать надо чисто логически, одним рассуждением, но, если мы видим или представляем события задачи, решение отыскивается намного быстрее и легче, чем поиск решения без привлечения образного мышления. Так почему же его не использовать?

Рассмотрим следующую задачу.
В полку было два одинаковых по численности взвода разведчиков. В каждом взводе часть разведчиков была храбрых, а часть осторожных. Храбрых в первом взводе было столько, сколько осторожных во втором. Кого было больше: разведчиков в первом взводе или храбрых в двух взводах?

В задаче ничего решать и подсчитывать не требуется. Как же ее тогда решать? Условие составлено так, чтобы задача казалась запутанной и сложной. Решать такую задачу – распутать и разгадать ее. Тот, кто умеет словесную информацию в своем воображении представить в виде ему понятных образов, задачу решит легко и быстро, у кого нет такого навыка, придется разбираться в событиях задачи (в ее информации) и переводить смысловые данные в зримые картины.
Нам надо как-то представить взвод разведчиков – множество разведчиков.
Мы можем представить каждый взвод в виде прямоугольника. Взводов два, одинаковых по численности. Рисуем два равновеликих прямоугольника.

Взвод 1                Взвод 2 

 
В каждом взводе есть храбрые разведчики, есть осторожные. Сколько тех и сколько других мы пока не знаем. Условно можем разбить их количество примерно пополам.
Обозначим храбрых буквой Х, а осторожных – буквой О. В первом взводе будет Х1 храбрых и О1 осторожных, во втором – Х2 храбрых и О2 осторожных. Изобразим наши новые сведения о разведчиках на рисунке.




                Взвод 1                Взвод 2

Нам известно, что храбрых разведчиков в первом взводе столько, сколько осторожных во втором. Если у нас Х1 – количество храбрых в первом взводе, а О2 – количество осторожных во втором, то их равенство на языке математики обозначает, что Х1 = О2.

Переведем всех храбрых из первого взвода во второй, а всех осторожных из второго взвода в первый. Общее количество разведчиков ни в первом, ни во втором взводе не изменится, но все храбрые окажутся собраны во втором взводе. Следовательно, храбрых разведчиков в обоих взводах ровно столько, сколько разведчиков в первом взводе.

Для закрепления успеха рассмотрим еще одну задачу. Те же пятеро друзей Андрей, Боря, Витя, Гена и Дима в выходной день читали книги. Двое из ребят читали повесть Пушкина «Капитанская дочка», двое читали стихи Лермонтова, а один мальчик читал сказку Джанни Родари. Кто из них читал сказку, если известно:
1) Андрей и Дима читали одну книгу,
2) Боря и Витя читали книги разных авторов,
3) Вите и Геннадию понравился один и тот же писатель.
4) Дима читал повесть.

Изобразим на рисунке притягивающие связи между Андреем и Димой, Витей и Геной и отталкивающую связь между Борей и Витей.

                А                Б                В
                х            х


                Г                Д



Дима читал повесть. Но тогда по условию и Андрей читал повесть – он читал с Димой одну и туже книгу. Обозначим на новом рисунке повесть Пушкина кружком и буквой П. Между этой повестью, Димой и Андреем есть притягивающая связь. Кроме того, нам по условию известно, что Вите и Гене понравился один автор. Поскольку мы установили, что Пушкина читали Андрей и Дима, следовательно, Витя и Гена читали Лермонтова. Изобразим на рисунке между ними и книгой Лермонтова установленную нами притягивающую связь.


                А                Б                В
                х            х                Л


                Г                Д
                П


В итоге получается, что Андрей и Дима читали Пушкина, Витя и Гена читали Лермонтова, следовательно, Боря читал сказку Джанни Родари.

Дополнение к зримой логике.

Следующая задача не совсем математическая или совсем не математическая, но над ней стоит подумать.
Мужчина говорит мужчине:
– Плохи дела у мужа моей жены.
Кого он имеет в виду? Можно ли однозначно ответить на этот вопрос?
С какой интонацией, как это было сказано – равнодушно, с грустью, с горечью, со злорадством? Можно ли ответить и на такой вопрос?

Задача называется. Мало того, что мы не знаем, о ком идет речь, так еще, ничего не зная, догадайся, как это сказано? Но давайте окунемся в человеческие отношения.
Плохи дела у мужа моей жены.
Значит, у мужчины есть жена. Или была? Возможно, есть и сейчас?

Если жена у него в данный момент есть, то ее мужем является сам мужчина. Тогда он говорит о себе. Однако его жена до встречи с ним могла состоять в браке. Вполне вероятно, что он говорил о предыдущем муже своей теперешней жены. Но совсем не обязательно, что мужчина в данный момент женат или что он женат один единственный раз. Поэтому он может говорить о последующем муже своей предыдущей или бывшей жены.

Поскольку мужчина попал в не простую житейскую передрягу, попробуем разобраться в его интонациях.
Мужчина говорит: плохи дела у мужа моей жены. Если дела плохи, может ли он вполне серьезно именно так выразиться о себе? Если дела плохи, ему не до шуток. Он бы сказал: плохи мои дела. Скорее всего, дела его не совсем плохи или совсем не плохи, и он шутит. С иронией, когда ситуация скорее смешная, чем грустная о себе можно сказать: плохи дела у мужа моей жены.

Если он говорит о бывшем муже своей теперешней жены, а ее чувства к бывшему мужу или навязчивые отношения бывшего мужа к жене ему досаждают, он скажет о нем со злорадством. Неприятности у бывшего мужа жены его не огорчают, наоборот, вселяют надежду, что память о нем в ближайшее время будет предана забвению. Мог ли он о нем сказать равнодушно? Нет, он бы о нем тогда вообще не упомянул, хотя в жизни случается всякое.
Если он говорит о муже бывшей жены, интонация его высказывания очень сильно зависит от того, как и почему они расстались, и какие чувства он сохранил к ней. Если он по-прежнему ее любит и не желает ей зла, он скажет о неприятностях ее мужа с грустью и даже с огорчением. Такое в жизни тоже бывает.


Простая трудная задача
Плывут коварно в жизни беды
и прячутся, как лед в воде,
мы ищем сложные ответы,
а часто трудность в простоте.

Дорога от дома до школы занимает у мальчика 20 минут. Однажды, пройдя часть пути, мальчик вспомнил, что забыл дома дневник. Если он продолжит путь с той же скоростью, то придет в школу за три минуты до звонка. Если вернется за дневником, идя с той же скоростью, мгновенно, без потери времени возьмет его и с той же скоростью снова пойдет в школу, то придет через 7 минут после звонка. Какую часть пути он прошел до того момента, когда вспомнил о дневнике?

Задача после первого прочтения кажется трудной, поскольку неясно, что делать с цифрами. Читать и повторять условия задачи почти бесполезно. Задача запоминается легко, решается труднее. Особенно на слух. Но, если разбираться, что в задаче случилось, какие произошли события, она окажется простой.

Мальчик тратит на дорогу 20 минут. Сегодня он придет за 3 минуты до звонка. Ничего в этом нет особенного. Он вышел с запасом в три минуты. Пройдя часть пути, он спохватился, что забыл дневник. Ему надо было из А попасть в С, а он остановился в точке В. От А до С он идет 20 минут. Сегодня он пришел бы за 3 минуты до звонка, но случилось непредвиденное.

       А             В                С



Из точки В он должен вернуться назад в А и оттуда снова пойти в С. Из рисунка видно, что он трижды проходил участок АВ и один раз участок ВС или, можно считать, что он один раз прошел весь путь АС и дважды из-за оплошности прошел участок АВ: один раз от В до А, а второй раз от А до В. Сколько ему для этого потребовалось дополнительного времени?

Если бы он в точке В не повернул назад, он бы пришел в С за 3 минуты до звонка, а поскольку ему пришлось из В возвращаться в А и снова из А идти до В, он придет в С через 7 минут после звонка. Значит, путешествие от В до А и от А до В, двойное прохождение участка АВ, займет у него 10 минут.

Чтобы пройти участок АВ один раз ему потребуется 5 минут. Весь путь от А до С он проходит за 20 минут. Раз на прохождение участка АВ ему требуется четверть времени, необходимого для прохождения всего пути АС, то этот участок по протяженности составляет четвертую часть пути от дома до школы.


Замечание к простой трудной задаче

Задача трудная, для восприятия на слух. Логическими рассуждениями ее не решить. Логически можно понять, что к трем минутам следует прибавить семь, но что делать с полученными десятью минутами? Как их использовать?

Только люди с хорошо развитым образным мышлением без особого труда на внутреннем экране воображения мысленно представят события задачи – в условных образах путь с места остановки назад и снова вперед, а человеку обычных способностей приходится заставлять работать свое воображение, свое образное мышление.
Сделать это можно, анализируя события задачи и составляя очень точный рисунок или схему, которые наглядно отражают происходящее. Небрежная схема ничего не даст. Например, следующая схема.

             А                В                С


Чтобы уловить из этой схемы, что именно путь АВ пройден трижды, надо о-го-го какую голову иметь. И все-таки даже такой рисунок лучше, чем ничего. Без схемы или рисунка попытки решения будут бессмысленным повторением условия задачи или какими-то малопродуктивными действиями по ложному пути.

Что значит, анализировать задачу и составлять правильную схему?
Анализировать – значит, задавать самому себе простые глупые детские вопросы, отвечать на них и запечатлевать в воображении или на схемах и рисунках.

Что делает мальчик? Он ежедневно идет от дома до школы за 20 минут. Рисуется его условный путь. Он идет от А до С за 20 минут.
Что с ним произошло сегодня? Он прошел часть пути и вспомнил, что забыл дневник. Он дошел до точки В – прошел путь АВ. Рисуется сегодня пройденный путь. Не тот обычный, а тот, который пройден сегодня.

Что произошло дальше? Мальчик задумался. У него есть выбор. Идти дальше, как ни в чем не бывало. Это будет его обычный прежний путь. Он придет в С за 3 минуты до звонка.
А что он сделал? Он повернул назад, пошел с обычной скоростью и снова прошел путь АВ, но теперь от В к А. Рисуется этот путь как совершенно новый, не связанный с прежним. Это событие независимое и самостоятельное.
Что было дальше? Без потери времени он забрал дневник и с прежней скоростью снова пошел в школу, но опоздал на 7 минут. И этот путь рисуется как новый независимый.

На этом фактически анализ (разбор событий) кончен. Теперь образному мышлению легко работать. Решение лежит перед глазами. Смотри внимательно на схему и увидишь – мальчик дважды прошел путь АВ и один раз весь путь. Остается логически вычислить, что он потратил на лишнее двойное прохождение пути АВ 10 минут.

Большинство задач именно при таком скрупулезном анализе происходящих событий и тщательном составлении условной, но точной схемы поддаются решению. Потом появляется навык и опыт, а образное мышление, понимая, что спать не дадут, заблаговременно включается в работу. Если не хочет, будите его. Принудительно заставьте работать. Каким бы неблагодарным оно не было, с ним надо считаться. Без него большинство задач не решить. Данная задача тому пример.

Именно взаимодействие логического и образного мышления составляют основу и суть любой творческой работы. Наша воля, характер, наше трудолюбие и целеустремленность должны обеспечить их четкое взаимодействие. Умение использовать весь набор инструментов, дарованных нам природой и отточенных собственными усилиями, определяет талант человека.

Вероятность невероятного
Если встал азарт на старт,
тут уж не до шуток,
у азарта ложный фарт –
ловит ложных уток.

Все игровые автоматы сконструированы так, чтобы приносить в карман хозяина максимально возможную прибыль. Поэтому вероятность выигрыша у автомата ничтожна.
Например, из всех однозначных, двузначных и трехзначных цифр в автомате должно выпасть число 555. Вероятность такого события при честной игре автомата – один случай из 999-ти. Но программу работу автомата не составляет труда написать так, что будут выдаваться все цифры, кроме 555-ти, а эта цифра выпадет только тогда, когда в кармане автомата накопится огромная сумма. Незначительной частью барыша можно поделиться, чтобы весть о выигрыше подогревала интерес к игре у слабовольных и азартных людей.

Автору доводилось видеть, как люди отправляли в ненасытное жерло игрового автомата значительную стопку бумажных купюр и отходили от автомата счастливые с горстью мелочи. Добились своего – дождались удачи. Азартный человек ради копейки не пожалеет сотни. Эти люди не сумасшедшие – сошедшие с ума, эти люди сумашедшие – идущие с ума.

С точки зрения нормального разума гораздо проще было бы сразу одну из купюр поменять у кассирши на выигранную в итоге мелочь и уйти с нею без потерь, но удовольствия это не принесло бы. А если выиграл мелочь, возникает иллюзия, что тебя посетила удача, пришло везение, пришел долгожданный успех. Это так приятно. Ради этих счастливых минут ложной удачи не жалко кровно заработанных денег. Чувства затмили разум. Им нужна пища, они ее получили. Какова итоговая цена успеха в таком случае не имеет значения.

Сумашедствие требует жертв. Если катишься с горы, набирая скорость, велика вероятность, что окажешься в яме или в овраге. Возможно, задержишься на крутом склоне, но это редкий счастливый случай. И уж он точно выпадает не всем. Его вероятность маловероятна.


Приключение с условием
Не держит тормоз и режим
ни капельки, ни крошки,
тогда по глупости спешим –
себе даем подножки.

Дана задача, в которой требуется, проделав некоторые процедуры, расшифровать фамилию детского писателя. Мальчик, торопыга по складу характера, прочитал, что надо расшифровать фамилию датского писателя.
Мальчик усложнил себе задачу
С кем из нас не бывало: идем по полю или по опушке леса и вдруг видим впереди сидящего зверька. Подходим ближе – зверек оказывается пеньком или кочкой. Зрительное восприятие склонно к случайным ошибкам.

Мальчик бегло взглянул на слово, и у него по неполному сочетанию букв мелькнула догадка, показавшаяся ему вполне правдоподобной. Датского писателя он знал. Повторное чтение условия задачи ему ничего не дало бы. Он читал бы не то, что написано, а то, что он запомнил. Это типичная ошибка при решении задач.

Вторая типичная ошибка. Некоторые, особенно торопыги, не дочитав условие задачи до конца, по нескольким первым фразам сочиняют свою задачу и, оставив дальнейшее чтение, бросаются ее решать. Естественно, они решают примерещившуюся задачу, а не ту, которая задана.

Научить человека решать задачу – значит, научить его несколько раз внимательно прочесть ее условие или хотя бы один раз, но до конца. Учить этому – идти против привычек человека, против его природы, против характера и темперамента. Но другого выхода нет. Убеждать, объяснять, уговаривать. В конце концов, даже вышучивать. Иногда это помогает.

Научить человека внимательно читать каждое слово задачи и все условие до конца можно, но сбои долгие годы будут преследовать торопыгу, может быть, даже всю жизнь, но уже не так часто и не постоянно.


Торт и шоколадка
Талант людей, шутя немножко,
природа-мать сплела в клубок –
одним талант отмерен ложкой,
другим по попе дан пинок.

Если есть торт, неизбежно возникает задача справедливо его разделить.
Автор знает такой случай. Примерно через десяток лет после Великой Отечественной войны в поселок, расположенный на значительном расстоянии от Москвы, в одну семью приехала столичная гостья и привезла торт.
Дети хозяйки, дети ее брата и сестры, прибежавшие посмотреть на гостью и ее подарки, такое диво, как торт, до сих пор в глаза не видели. Каждый ребенок хотел получить кусочек с самой красивой розочкой, но число розочек было меньше числа детей.

Дележка торта на глазах гостьи превращалась в серьезную проблему, и гостья не находила себе места, не зная, что предпринять. Хозяйка, оценив конфликтную ситуацию, приняла Соломоново решение. Она взяла нож и размазала все розочки равномерным слоем по торту, как масло по хлебу.

К счастью, перед нами стоит иная задача.
На квадратном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам.
Задача посильна тем, кто имеет представление о центральной симметрии. Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая линия, проходящая через центр симметрии, делит фигуру на две равные части.

Человек с математическим складом ума легко переводит задачу на математический язык. Дан квадрат, на него наложен круг. Как одной прямой линией рассечь квадрат на две равные части так, чтобы и круг тоже был рассечен ровно пополам?
У круга есть центр симметрии и у квадрата есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей. Два центра симметрии – две точки на плоскости, режь через них.

Человека с нематематическим, например, с гуманитарным складом ума при решении задачи может подвести так необходимое при решении других задач образное мышление.
Шоколадку на торте разрезать невозможно. Если она прямоугольная и разделена на дольки, ее лучше ломать, чем резать. От ножа она крошится. А на торте резать вообще нельзя – торт будет смят до безобразия. Кто после этого станет его есть? Значит, разрезание условное.

Надо представить, что шоколадка легко режется, как торт. Остается найти, куда ее положить, чтобы она, как и торт, разрезалась пополам. А как торт пополам разрезать? Сверху вниз? Слева направо? Точно не разрежешь – не угадаешь, где середина сторон. Была бы линейка – другое дело. Измерил длину стороны, поделил пополам, наметил ножом точки на сторонах и режь.

 Но ведь точки на сторонах есть! Вершины квадрата. Режь по диагонали – получатся две равные треугольные части. А как круглую шоколадку пополам разрезать? Надо найти центр, а как найдешь? Вот, если бы она была большущей, как торт, доходила бы до всех его четырех краев, тогда режь торт пополам. Нож пройдет по диагонали торта и через центр шоколадки. А если она размером меньше? Тогда ее надо положить в центр торта. Ножом на торте тонкие линии диагоналей наметить. Точка пересечения – центр.
А шоколадку точно в центр не положишь. Вот если вставить в центр торта иголку, а в центре шоколадки тоненьким сверлышком просверлить отверстие, тогда можно насадить шоколадку на иголку, как колесо детской пирамидки.

А как центр шоколадки найти? Опять двадцать пять. Ага! А зачем его искать! Закатим ее в угол, чтобы она касалась двух сторон торта. Тогда по диагонали торта хлоп – и она, и он пополам. А если она не в углу лежит? Тут по диагонали не разрежешь. А если у нее в центре дырочка? Торт, как ни режь через центр, он на две равные части разрежется. Значит, надо резать через центр торта и центр шоколадки, но как же его найти?

А! Вот в чем дело! Шоколадку снова в угол. Ножиком по диагонали торта и заодно наносим тонкую линию на шоколадке. Теперь прокручиваем шоколадку и снова проводим по диагонали торта через шоколадку тонкую линию. Точка пересечения – центр шоколадки. Все. Шоколадку на место и режь.
Как мы видим, фактически задача свелась не к разрезанию, а к отысканию центра шоколадки. На то, что человеку математического склада ума было в этой задаче даровано с неба, человек иного склада ума потратил немало сил.

Представим теперь, что в задаче задан не квадратный, а прямоугольный торт. Для человека математического склада ума новая задача равнозначна предыдущей, а для человека иного склада ума возникает новая дополнительная задача – найти центр шоколадки, имея под руками лишь прямоугольный торт и нож.
Размещать шоколадку в углу прямоугольного торта бесполезно – диагонали торта не пройдут через центр шоколадки. Одним ножом превратить прямоугольник в квадрат, чтобы проблему поиска центра шоколадки свести к предыдущему случаю, задача неразрешимая, для автора во всяком случае. Нужны иные подходы.

Торт имеет прямые углы. Ими можно воспользоваться.
Любой угол, вершина которого лежат на окружности, а стороны опираются на ее диаметр, является прямым углом.
Для решения задачи надо не шоколадку размещать в угле торта, а угол прямоугольника наложить на круг так, чтобы вершина его лежала на окружности, а стороны пошли внутри круга до пересечения с окружностью.

Легче было бы решать, если бы и круг, и прямоугольник были бы бумажными, теперь же шоколадку придется особым образом накладывать на угол торта. Но наука требует жертв. Измажем пальцы кремом.

Слегка надавим пальцем на шоколадку, чтобы на поверхности торта осталось углубление на месте ее первоначального пребывания. Ножиком подденем ее и перенесем на угол торта. Расположим так, чтобы какая-нибудь точка на окружности шоколадки точно совпала с вершиной угла А торта, а стороны торта пошли под шоколадкой и вышли из-под нее в точках M и N.

                A      M

                N


Осторожно на шоколадке наметим тонкие линии АМ и АN, чтобы отчетливо видеть точки М и N. Ножом прорезаем линию МN. Один диаметр шоколадки найден. Прокручиваем шоколадку, чтобы ее точка N или близлежащая к ней на окружности шоколадки точка совпала с вершиной А. Получим две новые точки пересечения сторон прямоугольника с окружностью шоколадки, а линия их соединяющая – новый диаметр. Точка пресечения двух диаметров – центр шоколадки. Возвращаем шоколадку на первоначальное место. Нож в руки – и режь. Половина шоколадки – малая награда за труд. Половина торта – большой перебор, а добрый его кусок – в самый раз.


Замечание к задаче о шоколадке и торте

Далеко не всегда неправильное толкование условия задачи вкусно заканчивается.
Многие слова в языке многозначны, а предложение или текст тем более обладают этим свойством. Из жизни известно, как тщательно ни отшлифовываются законы, в них есть лазейки и двоякое толкование – каждый раз в свою пользу. Такая же история случается в задачах. Безусловно, авторы старательно продумывают условия задач. Тем не менее, попадаются тексты задач, которые допускают лингвистическое толкование совсем иное, чем предполагали математики.

Люди с математическим складом ума, с мышлением когерентным (подобным, созвучным, однотипным) с мышлением авторов, понимают задачу так, как понимали ее создатели. Люди с иным складом мышления воспринимают ее по-другому, из-за чего задача часто не поддается решению. В этом не столько вина авторов, сколько беда тех, кто задачу решает.
Иногда авторы не замечают, не чувствуют, побочного толкования текста, а иногда более обстоятельное изложение может испортить хорошую задачу – дать слишком грубую подсказку. Задачу надо решать, а она не решается в какой-то степени даже не по вине того, кто ее решает. Ничего не попишешь. Придется искать утешительный выход. Их несколько.

Если крепость не взята, но штурм был, что-то полезное останется.
В любом деле со временем накапливается опыт и появляется чутье. Сбои такого рода возможны и в будущем, но будут происходить все реже и реже.
Если хотя бы понемногу заниматься делом, успех возможен, но не обязателен. Если не заниматься совсем, успеха точно не будет.
А стоит ли вообще людям нематематического склада ума усердствовать в математике?

Хочешь – не хочешь, без школы не обойтись, школа дает богатый опыт общения, жизни и работы в коллективе. Современные малодетные семьи этого дать не могут. Поэтому стоит приложить усилия к трудному предмету, чтобы школа не показалась каторгой. А если математика нравится, тем более стоит.

Вспомним людей других профессий.
Например, среди шахматистов можно выделить два полярных класса. Одни – счетчики, они на много ходов вперед просчитывают каждую позицию, перебирают все возможные варианты своих предполагаемых продолжений и возражений противника. Конечно, фрагменты картин возникающих позиций постоянно представляются в их воображении, но они связаны с расчетом и играют вспомогательную роль.

Шахматисты иного склада оперируют в основном образным мышлением. В их воображении проходит череда представляемых картин позиции, а фрагменты расчетов не имеют решающего значения при принятии решений. Среди представителей каждого класса есть игроки высочайшего уровня.
Конечно, тот, кто в одинаковой степени владеет образным мышлением и расчетом вероятно должен быть на голову выше остальных, но, чтобы оказаться успешнее других, этого недостаточно. Требуется воля, целеустремленность, терпение, здоровье, трудолюбие. Талантлив не тот, кто имеет способности, а тот, кто их реализовал. Поэтому часто люди, казалось бы, ограниченных способностей в какой-либо сфере именно в этой сфере или близких к ней, добиваются заметного успеха.

Сколько было случаев, когда известные многоопытные педагоги пророчили будущим знаменитым артистам профессиональную непригодность, но проходили годы, и забракованные становились звездами первой величины.
Не на пустом месте возникли пророчества опытных людей. Или человек еще не научился в полной мере владеть собою и своими природными инструментами или его успех оказался не на магистральном направлении экзаменатора. А сколько случаев, когда люди, от которых ожидали великих свершений, мало чего в жизни достигли.

Нравится какое-нибудь дело – занимайтесь им и совсем не обязательно, что это должна быть математика. Но задачи приходится решать и в семье, и в быту, и на работе, и их надо уметь решать. А при решении разных задач применяются очень схожие правила, методы и способы.

Была щедра природа-мать,
нас создала бойцом и мужем,
свою тропу не отыскать –
что может быть глупей и хуже?


Ошибки и преступления
Поскольку нет тропинок ровных,
на поворотах визг и брань,
ошибки учат всех виновных,
пока не переходят грань.

Роковые ошибки – типичные

Накануне Великой Отечественной войны Сталину, единоличному начальнику Советского Союза, из разных источников сообщали, что его друг и приятель Гитлер усердно готовится к войне с ним. Сталин этим данным не хотел верить и не верил. На это были свои причины. Не хотел верить потому, что, возможно, в данный момент побаивался войны – страна не готова, армия не перевооружена, а, возможно, сам усердно собирался ударить по Гитлеру, рассчитывая, как и Гитлер, на победоносный блицкриг.

Для подобной затеи от страны не много требуется. Лишь бы армия раз-раз – и готово. А не верил по другой причине. Руководители нелегальной разведки докладывали ему, что Гитлер к войне не готовится. У разведки были веские доказательства. Германия не меняет машинное масло танков и не шьет полушубки – убой скота не увеличивается, баранина не дешевеет. Принятое на вооружение машинное масло было рассчитано на мягкую европейскую зиму. При наших морозах оно замерзнет, и танки не пойдут. А без теплых полушубков замерзнут солдаты.

Наша разведка исходила из своего понимания войны. Война будет упорной, серьезной, затяжной, а в России зима – круглый год с короткой передышкой на холодный летний период. А Гитлер имел в виду победоносную молниеносную войну, а для этого ни зимнее машинное масло, ни полушубки не требуются.

Сталин ошибся – война разразилась, но и Гитлер ошибся – она не получилась молниеносной. После серьезных неудач Гитлер расстрелял своего бывшего посла в Советском Союзе – посчитал, что тот сообщал ему фальшивые сведения о потенциале противника. Свою вину перевел на другого. Посол докладывал то, что было приятно Гитлеру. Если бы посол твердил о серьезных возможностях Советского Союза, Гитлер расстрелял бы его намного раньше за неугодные сведения.

Вероятно, по такой же причине руководители нашей разведки сообщали Сталину только те сведения, которые ему нравились. Не могли они не знать о подготовке Гитлера к войне, но кому хочется ссориться с деспотом. Многих из них расстреляли или посадили на долгие сроки уже после смерти Сталина – при других правителях. От роковой ошибки не улизнешь.


Брак поневоле

На одном тонком электронном производстве оборонного значения пошел брак. Инженеры-технологи сбились с ног и ничего понять не могли. Все по технологии правильно, нарушений нет, а брак то на некоторое время исчезает, то редко и нерегулярно бывает, то достигает пика.

Кто-то предложил пригласить следователя. Уж ни диверсия ли это? Не враг ли работает? Посмеялись, но поскольку идей не было, так и сделали. Следователь ничего в технологии не понимал и заниматься ею не собирался. Раз есть преступление, есть преступник. Следователь стал искать его своими привычными методами. Он попросил график выхода продукции с указанием, в какие именно дни и смены был брак. Потом запросил список всех работников тех смен, во время работы которых случался брак. По этим данным он быстро установил, что брак бывал тогда и только тогда, когда в смене работала хотя бы одна из трех женщин.

Присмотрелись к женщинам, и технологи все поняли. Эти три женщины собирались в ближайшем будущем рожать детей. Поскольку их организмы пребывали в своеобразном физиологическом состоянии, женщины сильно потели, потели и их руки, через которые проходили детали устройств, а пот для деталей такого рода – враг номер один.
Женщин перевели на другие участки. Брак прекратился.

Арест как способ решения

Во время Великой Отечественной войны на нескольких уральских заводах оборонного значения пошел брак. Для выяснения причин на один завод послали ученого, а на другой – следователя. Пройдя по всей технологической цепочке, ученый установил, что в самом начале конвейера прутки металла вспомогательной технологической цепочки из-за небрежного складирования закатываются в гости к соседям и вызывают брак.

Сорта металла разные, а по внешнему виду не отличишь. Ученый потребовал построить оградительную стенку, и брак прекратился. Через пару дней ему позвонил следователь из соседнего города. Он в первый же день арестовал трех человек – брак как рукой сняло.
По-видимому, и на том заводе причиной брака была неистребимая российская безалаберность. Аресты напугали персонал, люди стали работать аккуратнее. Ценою трех судеб, скорее всего невиновных, следователь решил поставленную задачу.


Оптимальное мышление

Ученые проверяли интеллект обезьяны. В середине пустой комнаты к потолку подвесили банан. В дальнем углу комнаты поставили пустые ящики. Ученых интересовало, догадается ли обезьяна использовать ящики в качестве подставки, чтобы достать банан.
Ученый завел обезьяну в комнату. Она осмотрелась, вернулась к экспериментатору и настойчиво потянула его за рукав. Не понимая, что она хочет, экспериментатор последовал за ней. Обезьяна довела его до середины комнаты, запрыгнула ему на плечи и сорвала банан.


У меня зазвонил телефон
Столкнешься если вдруг с ослом
на бытовом покосе,
не отвечай добром на зло,
когда о том не просят.
; Алло!
; Это ателье?
; Какой номер вы набираете?
Товарищ на другом конце провода немедленно опускает трубку. Он или звонит впервые в жизни и не догадывается, что последует дальше, или ни в коем случае не желает сообщать мне номер ателье, чтобы я им не воспользовался и не оказался для него конкурентом. Поступил он себе во вред и мне в обузу.

Очень скоро снова раздается звонок.
; Алло!
; Опять вы! – раздраженно говорит незнакомец и бросает трубку.
Почему произошел сбой связи? Причин три. У товарища ошибочно вместо номера ателье номер моего телефона. При той стратегии общения, которую он избрал, он будет звонить до посинения – своего и моего. Меня отрывает от дел и сам злится.

Вторая причина. Сбой аппаратуры на АТС или в домашнем телефоне. И в этом случае можно немало часов потратить на бесплодную попытку дозвониться.
Третья причина. Механическая ошибка, когда небрежно или быстро набирают номер. Такое иногда бывает при определенном для данного товарища сочетании цифр. Не зная этого, он повторными дозвонами свою ошибку может довести до безукоризненного автоматизма, распаляя собственную злость и мое раздражение.

Что произойдет, если гражданин вступит в предлагаемый ему разговор и сообщит номер, который он набирает? Скорее всего, я не воспользуюсь этим номером, а помогу ему понять причину сбоя хотя бы потому, что это в моих интересах. Я ему отвечу:
– Это мой номер, но это квартира, а не ателье.
Все. По этому номеру звонить бесполезно, и гражданин может догадаться, что предпринимать дальше.

Или иной ответ:
– Это почти мой номер. Две последние цифры наберите аккуратнее.
Звонков больше не будет. Практически этими двумя случаями исчерпываются все неприятности. Неисправность аппаратуры случается гораздо реже.

Теперь я звоню по телефону.
– Это ателье?
– Нет.
– Я набрал номер …
Гражданин не желает меня слушать и бросает трубку. Ему не интересны чужие проблемы, но чужие проблемы немедленно становятся его проблемами. Я же уверен, что у меня номер ателье. Я набираю номер снова.
– Ателье?
– Нет! – орет гражданин и швыряет трубку, а мне его нисколько не жалко. Как ты, так к тебе. Ты не желаешь кому-то помочь в пустяке, почему кто-то должен относиться к тебе более милосердно? Скорее всего, и третий и четвертый звонок последует. Я в полной уверенности, что я набираю аккуратно и у меня точный номер. Значит, сбой в аппаратуре. Может быть, на седьмой раз она соединит правильно?

Если вы на телефонный звонок не вступаете в разговор с тем, кто на другом конце провода, вы поступаете очень опрометчиво по отношению к себе. Дело даже не в том, что ваша нелюбезность доставит вам некоторые хлопоты в ближайшее время. Это пустяк. Через час-другой все утрясется. Дело серьезнее. Тот гражданин, которому вы не ответили, начнет немедленно составлять прогнозы о ваших умственных способностях, и, что самое главное, его прогнозы в самое кратчайшее время будут сбываться.
Вам этого хотелось?