Математика и творчество Часть 4

Феликс Довжик

Феликс Довжик


Рассказы о математике  Часть 4

Весы и лапы
В дороге на авось надеясь,
заблудишься и в соснах, и в овсах,
а есть толковая идея,
и Землю взвесишь на весах.

Умелец Левша собрал 11 игрушечных роботов – несколько трехлапых, остальные пятилапые. Всего ему потребовалось 45 лап. Сколько трехлапых и сколько пятилапых роботов собрал Левша?
Маленькое замечание. Живые существа на Земле имеют четное число ног или лап. Трудно представить, как можно передвигаться на трех или на пяти лапах, но трехколесный велосипед и мотоцикл существуют. Простим Левше несуразицу и будем решать задачу.
Общее число роботов и общее число лап нам известно. Различаются роботы числом лап. Присмотримся к ним. Изобразим каждую лапу точкой на рисунке.

  Трехлапый   Пятилапый
     робот       робот




Пятилапые роботы отличаются от трехлапых тем, у каждого пятилапого есть лишняя пара лап.

Задачи такого типа можно решать арифметически. Эти же задачи легко решаются при помощи уравнений.
Уравнения – язык многих разделов математики, а чем раньше начнешь изучать язык, тем легче он усваивается.
В задаче мы точно не знаем, сколько Левша сделал трехлапых и сколько пятилапых роботов. Посчитаем, что он сделал x трехлапых роботов. Если всего роботов 11, а трехлапых – х, то пятилапых – (11 – х). Так как в задаче, кроме общего количества лап, ничего не известно, займемся лапами. О них мы кое-что знаем.
У трехлапого робота 3 лапы, а роботов х. Всего у них 3х лап.
У пятилапого 5 лап, роботов – (11 – х). Всего у них 5(11 – х) лап.
Всех лап вместе – 45. Следовательно:




Уравнение составлено.

Можно поступить по-другому.
Трехлапых роботов х, а пятилапых – y.
Всего роботов 11. Значит:
  х + y = 11 …………………………………………………………..(1)
Это первое уравнение.
Общее количество лап у трехлапых роботов – 3х.
Общее количество лап у пятилапых роботов – 5 y.
Общее количество лап у всех роботов – 45.
Следовательно:
  3х + 5y = 45 ………………………………………………………..(2).
Это второе уравнение.
Решать уравнения 1 и 2 надо совместно. Первое уравнение может иметь много решений. Например, пары

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

все являются решением первого уравнения, но не все они окажутся решением второго уравнения. И, наоборот, не все решения второго уравнения окажутся решением первого уравнения. Например, пара х = 0, y = 9 является решением второго уравнения. 9 пятилапых роботов имеют 45 лап, но у нас всех роботов не 9, а 11. Или пара х = 15, y = 0 является решением второго уравнения, но у нас 11 роботов, а не 15.

Оставим пока уравнения и вернемся к арифметическому решению задачи. Зачем нужно было прерывать рассуждения об арифметическом решении, а теперь прерывать рассуждения об уравнениях?
Тому, кто хочет решить задачу сам, возможно, помогут рисунки и составленные уравнения. Догадка в одной задаче помогает решению другой – появляется навык догадываться.

Своя догадка намного полезнее чужого объяснения. Иногда и оно оказывается не понятым. Какой-то важный момент объяснения ускользает от понимания. Если к нерешенной или к не понятой задаче регулярно или хотя бы изредка возвращаться, однажды при рассмотрении немного под другим углом зрения непонятное становится понятным. Это равносильно отложенной во времени догадке.
 Гораздо хуже, если разжеванное решение воспринимается без попыток упреждающего догадывания, иначе говоря, воспринимается как информация, которую не обязательно запоминать. Скорее всего, такая информация со свистом пролетит мимо ушей и памяти.

Итак, арифметическое решение задачи.
Снова посмотрим на рисунок – на следы лап роботов. Если бы все 11 роботов были трехлапыми, мы бы имели 33 лапы, а по условию задачи их 45. 12 лап оказались бы бесхозными.
45 – 33 = 12.
Почему они появились? Они принадлежат пятилапым роботам, им и только им, поскольку каждый пятилапый имеет две лишних лапы. Раз лишних лап 12, а у каждого пятилапого их две, следовательно, пятилапых роботов всего 6.
12:2 = 6.
Остальные роботы трехлапые.
  11 – 6 = 5.
5 трехлапых роботов имеют 15 лап, 6 пятилапых – 30. Всего лап 45. Других вариантов нет.

А какой ответ дадут уравнения?
Решение уравнений у некоторых школьников оказывается трудным занятием из-за того, что приходится запоминать несколько выведенных логически, потому не прочувствованных, правил, а такой прием информации затруднителен для их памяти.
Чтобы преодолеть это затруднение, особенно людям не математического склада ума, можно представить, что уравнения аналогичны чашечным весам.
Уравнения – не весы! Действия с уравнениями можно уподобить действиям с весами, чтобы прочувствовать и легче запомнить возможные операции, производимые с уравнениями.

На чашках весов могут быть разные гири и грузы, но весы в равновесии. На одной чашке весов могут быть камешки, на другой песок, но, если грузы по массе равны, весы в равновесии. На одной чашке могут быть гири и кубики, на другой камешки и песок, но весы снова могут быть в равновесии.
 Мы можем увеличить (или уменьшить) в несколько раз груз на левой чашке весов и во столько же раз изменить в ту же сторону груз на правой чашке весов. Грузы на чашках станут другими, но весы останутся в равновесии.
 Мы можем увеличить (уменьшить) груз на какое-то количество на одной чашке весов и на столько же увеличить (уменьшить) на другой чашке. Грузы на чашках станут другими, но весы останутся в равновесии. Именно в этих действиях аналогия уравнения и весов.

Левые и правые части уравнения – как чашки весов, равенство в уравнении – как опора, на которой покоится коромысло весов. Мы можем левую и правую части уравнения умножить (делить) на какое-нибудь число, уравнение останется равносильным исходному – ни одна часть не станет больше (меньше) другой. Мы можем к левой и правой части уравнения прибавить (отнять) одно и то же число или математическое выражение, и уравнение останется равносильным исходному.
Наконец, трудно поддающиеся для понимания и запоминания свойство уравнений – члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный.

Например, имеем уравнение:
  3х – 8 = 12 + х
Мы хотим перенести х в левую часть уравнения, чтобы сгруппировать вместе все неизвестные. Представим, что мы с правой чашки весов снимаем груз х. Общий груз на правой чашке станет меньше, левая чашка перевесит. На левой чашке мы должны уменьшить груз на столько же – на х. Из выражения (3х – 8), которое как бы представляет суммарный груз левой чашки, мы должны вычесть х. Получаем:

  (3х – 8) – х = (12 + х) – х
 или
  (3х – 8) – х = 12.

Х из правой части исходного уравнения перекочевал в левую и сменил знак на противоположный. В итоге получаем:

  2х – 8 = 12.

Теперь в правой части уравнения сгруппируем числа. Можно рассуждать так. В последнем уравнении к левой и правой части прибавим 8.

  (2х – 8) + 8 = 12 + 8
 или 
  2х = 20.

Откуда
  х = 10.

Теперь закончим задачу с роботами.
Решим уравнение в рамке:
  3х + 5(11 – х) = 45.
Раскроем скобки:
  3х + 55 – 5х = 45.
  55 – 2х = 45.
  55 – 45 = 2х.
  2х = 10.
  х =5.
В этом уравнении х – количество трехлапых роботов. Так как всех роботов 11, то пятилапых будет 11 – 5 = 6.

Решим систему уравнений, состоящую из уравнений 1 и 2.
  х + y = 11 ………………………………………………………(1)
3х + 5y = 45 ……………………………………………………(2)
Можно из уравнения 1 найти выражение для y:
y = 11 – х
Подставим найденное выражение y в уравнение 2. Получим:
  3х +5(11 – х) = 45
Это уравнение в точности совпадет с уравнением в рамочке. Решение его нам известно.
Можно иначе решить систему уравнений 1 и 2.
Умножим левую и правую часть уравнения 1 на 5.
  5х + 5y = 55.
Из левой части этого уравнения вычтем левую часть уравнения 2, а из правой части – вычтем правую часть уравнения 2.
  (5х + 5y) – (3х + 5y) = 55 – 45.
Получим:
  5х + 5 y – 3х – 5 y = 10.
  2х = 10.
  х = 5.
Подставляя значение х = 5 в уравнение 1, получим:
  5 + y = 11
Откуда:      y = 6.
В итоге получаем: трехлапых роботов 5, пятилапых – 6.
Разными способами мы получили один и тот же ответ. Можно быть уверенным, что решение задачи правильное.


Замечание к весам и лапам

Познание – как вечный кросс.
Не интересен вскрытый атом,
а будоражит нас вопрос,
когда ответ природой спрятан.

Автор не убежден, что предложенные им весы как аналогия уравнений помогут каждому при нелюбезной встрече с ними. Более того, автор убежден, что некоторым аналогия покажется неудачной, ненужной и запутывающей простое и ясное представление об уравнениях.
Спорить не буду. На протяжении моей жизни много раз на щит поднимались то одни, то другие методики обучения. У авторов методик были бесспорные потрясающие результаты. Методика уходила в массы, и начинались сбои. У одних последователей получалось, у других – пробуксовка. Почему? В чем дело?

В промышленности часто одно предприятие передает технологию производства прибора или машины на другое предприятие. В технологии все операции детально расписаны: какие брать материалы, на каких станках и как их обрабатывать. На первом предприятии приборы идут без брака, на новом не идут. Бригада авторов едет разбираться. Что-то не так прочитали, что-то не так поняли, какие-то станки заменили, казалось бы, более удобными, свои умельцы что-то немедленно усовершенствовали. Посчитали, что будет лучше. Думали о своем станочном интересе, а всю технологию в целом в голове не держали.

Похожая картина при передаче методики обучения, только во много раз сложнее.
Почему одного учителя из года в год в разных классах ученики уважают, а у другого трамтарарам на уроках?
Преподавание – это искусство. Работа учителя подобна работе актера. Почему одному актеру внимают, затаив дыхание, а при выступлении другого в этой же роли иногда даже с тем же составом остальных исполнителей зевают и громко роняют на пол номерки от гардероба?

На языке вертится ответ – один актер или учитель хороший, другой – плохой, но это не объяснение, это характеристика. Такое объяснение напоминает детский ответ – пирог вкусный, потому что вкусный. Один хороший потому, что хорошо играет, другой плохой потому, что играет плохо?

Зайдем с другой стороны. Посмотрим на ученика. Он слушает учителя, как зритель актера. Он воспримет материал, если учитель убедит его или внушит ему новое знание. Внушение происходит через чувства, убеждение через логику и разум.
Почему один учитель обладает большой способностью к убеждению и внушению, а другой нет. В чем дело? Каковы механизмы?

Умение учить думать? Иной учитель физкультуры не обременяет себя размышлениями об уме и логике своих подопечных, а они в нем души не чают.
Знания? Эрудиция? Да, они важны, но сплошь и рядом знающего слушают в пол-уха, а скромно знающий умеет переправить все свои скромные знания в чужую голову без малейшей потери по дороге.

Личность учителя? И это играет огромную, но не определяющую роль.
Обратимся еще к одному примеру – любовь с первого взгляда. Почему одна женщина даже издали одним своим видом молнией пронзает мужчину от глаз до пяток, а мимо другой даже красавицы он проходит равнодушно? Может быть, действуют какие-то механизмы, запущенные в глубоком детстве? Так автор из всех цветов выделяет цветущие маки, которые, вероятно, оставили в его душе невидимый ему след с того давнего возраста, который находится вне поля его осмысленной памяти.

Вернемся к вопросу. Почему один учитель хороший, а другой не то, чтобы очень?
Автор поставил вопрос и должен знать ответ, но не знает. У него даже нет гипотезы, которую он мог бы отстаивать.
Таких вопросов и загадок десятки и сотни тысяч. Люди, способные к творческой работе, всегда найдут области для применения своих способностей.
Задача обучения не в том, чтобы ответить на все вопросы, а в том, чтобы научить других давать ответы на вопросы, и тогда среди тех, кто этому научился, найдется человек, который ответит на нерешенный вопрос.

Дополнение к весам и лапам

Рассмотрим задачу. В двух корзинах поровну яблок. После того, как из одной корзины продали 150 яблок, а из другой – 194, в первой корзине яблок осталось в три раза больше, чем во второй корзине. Сколько яблок было в каждой корзине?
Рассмотрим последовательно события задачи.
В двух корзинах поровну яблок. Изобразим корзины в виде прямоугольников – количество яблок в них одинаково.





Что произошло дальше? Из одной корзины продали 150 яблок, из другой – 194.

150

194

Что получилось в итоге?
В первой корзине яблок осталось в 3 раза больше, чем во второй, или, иначе говоря, в первой корзине остались три кучки яблок, в каждой из которых столько яблок, сколько осталось во второй корзине.

150 1 1 1

194 1

На рисунке цифрой 1 обозначен остаток яблок во второй корзине. Первая корзина содержит три таких кучки яблок.
Разница между количеством яблок, проданных из второй корзины, и количеством яблок, проданных из первой корзины, соответствует количеству яблок в двух кучках первой корзины.
  194 – 150 = 44.
Значит, в каждой кучке яблок – 22. Следовательно, в корзинах первоначально яблок было:
  194 + 22 = 216.

Задачу можно решить с помощью уравнения.
Пусть первоначально в каждой корзине было х яблок. После продажи в первой корзине яблок осталось (x – 150), а во второй (x – 194). Но в первой корзине яблок осталось в 3 раза больше, чем во второй, или, наоборот, во второй в 3 раза меньше, чем в первой. Если мы остаток яблок во второй корзине утроили бы, остатки яблок в корзинах сравнялись бы. Получаем уравнение:

  (x – 194) 3 = x – 150.
Решаем его.
  3х – 194 3 = х – 150.
  3х – х = 194 3 – 150.
  2х = 582 – 150 = 432.
  х = 216.
Решение задачи может быть намного проще, если при составлении уравнения рационально выбрана неизвестная величина.
Мы могли бы за х принять остаток яблок во второй корзине.
Тогда 3х – остаток яблок в первой корзине. Так как первоначально яблок в корзинах было одинаково, получаем уравнение:

  194 + х = 150 + 3х.
Откуда
  2х = 194 – 150 = 44.
  х = 22.
Яблок в корзинах:
  194 + 22 = 216.
Решение лаконичнее, проще и ближе к арифметическому решению.


Моток проволоки
Мы все – поклонники планеты,
ее земли, морей, степи,
и нас любимые предметы
не цепью держат на цепи.

Моток толстой железной проволоки способен мотать нервы и детям, и тем взрослым, которые пытаются втолковать им известную задачу.
Из мотка проволоки могут сделать цепь из 80 или из 100 звеньев. Если сделать цепь из 100 звеньев, каждое ее звено будет на 5 г легче, чем звено цепи из 80 звеньев. Сколько весит моток проволоки?

На первый взгляд задача построена по типу фразы: в огороде бузина, в Киеве дядька. Говорится об одном, спрашивается другое. Это и ошарашивает. Как подойти к задаче? Те, кто умеют составлять уравнение, задачу решат, а как решить ее арифметически? Как навести на арифметическое решение?

Поскольку требуется найти вес проволоки, поиску решения помогают обычные рычажные весы с двумя чашками. Представим, что из двух одинаковых мотков проволоки сделали стозвенную цепь и цепь из 80 звеньев. Положим на одну чашку весов цепь из 80 звеньев, а на другую 80 звеньев стозвенной цепи.
Число звеньев на чашках одинаково, но весы не в равновесии. Каждое звено цепи из 80 звеньев тяжелее на 5 г. Звеньев 80. Значит, груз на этой чашке тяжелее на 400 г. Теперь к 80 звеньям стозвенной цепи добавим оставшиеся 20 звеньев. Весы придут в равновесие. Следовательно, 20 звеньев стозвенной цепи весят 400 г. Одно звено стозвенной цепи весит 20 г. Вес проволоки 2 кг.

Теперь решение уравнением.
Если x – вес звена стозвенной цепи, то 100x = 80(х+5).
Откуда 20х = 400, а х = 20. Это вес одного звена стозвенной цепи. 100 ее звеньев весят 2 кг.
Решение есть, наглядность теряется.


Две коробки
Ларчик есть, а ты теряешь
время в глупой беготне!
Не откроешь – не узнаешь,
что покоится на дне.

Дана задача. Найти целое число, произведение цифр которого равно 1440.
Задача как задача, не легче и не сложнее многих других. Почему же две коробки и где они?
Мы можем представить, что нам дано число 1440, и информация о нем, знание об этом числе упаковано в одну коробку, а знание о числе, которое мы должны найти, упаковано в другую коробку. От нас требуется, используя сведения, содержащиеся в двух коробках, найти неизвестное нам число.
 
С какой коробки начать? Можно с любой, это в значительной степени зависит от предшествующего опыта. Главное, что о коробках нельзя забывать. Они прочными нитями связаны между собой, и в них спрятана информация, необходимая для решения.
Нам надо найти число, состоящее из какого-то пока неизвестного количества цифр, произведение которых равно числу 1440.

Начнем рассуждать с известного числа 1440 и попытаемся узнать о нем все, что можно. Число 1440 – четное. Всякое четное число – число составное, а всякое составное число единственным способом можно представить в виде произведения простых множителей. Займемся этим. Разложим число 1440 на простые множители.

1440
720
360
180
90
45
15
5 2
2
2
2
2
3
3
5

Таким образом, 1440 = 2 2 2 2 2 3 3 5. Следовательно, если мы возьмем число 22222335, то все его цифры являются множителями числа 1440. Поэтому произведение цифр числа 22222335 равняется числу 1440. Задача фактически решена. Вторая коробка нам не понадобилась.

Решение есть, но полезных плодов от него маловато.
Конечно, тот, кто задумается над полученным результатом и пойдет в своих размышлениях немного дальше, сумеет снять дополнительный урожай.
Глядя на число 22222335, можно догадаться, что к нему слева или справа можно совершенно безнаказанно приписать несколько единиц. Например, получим число 1122222335111. Единица как сомножитель произведения не меняет. Мы можем получить бесконечное количество решений задачи. Максимальное число не существует, но возникает вопрос – какое число будет минимальным?

Легко догадаться, что в разложении числа 1440 на простые множители некоторые из них можно перемножить между собой и представить разложение числа на простые и составные множители, в котором будут присутствовать цифры большие, чем двойки и тройки. Множитель 5 для этих целей не годится, так как произведение 5 2 = 10 больше самой большой цифры – больше девятки. Множители двойки и тройки для этих целей подходят. Разложение числа 1440 на простые и составные множители можно представить так:
1440 = 2 2 2 (2 3)  (2 3)  5 = 8 6 6 5,
1440 = 2 2 (2 2 2)   (3 3)  5 = 4 8 9 5
Отсюда видно, что минимальным числом, произведение цифр которого равно числу 1440, является число 4589.

Задача решена и дополнительный урожай снят. Мы уже все знаем о числах, произведение цифр которых равны числу 1440. Но опять двадцать пять. Зачем же вторая коробка? И все-таки займемся ею.

Мы должны найти число, произведение цифр которого должно равняться числу 1440. Может быть это число двузначным? Нет, не может. Самое большое двузначное число 99. Произведение цифр 81. Не может быть оно и трехзначным. Самое большое трехзначное число 999. Произведение цифр его 9 9 9 = 81 9 = 729. А вот четырехзначным оно может быть. Уже у числа 2999 произведение цифр больше чем 1440.

Следовательно, нам надо найти четырехзначное число, ни одна из цифр которого не может быть равной нулю или единице. Если хоть одна из цифр искомого числа будет единицей, произведение цифр будет меньше числа 1440, а если хоть одна из цифр будет равна нулю, произведение цифр будет равно нулю.
 Итак, нам надо найти четырехзначное число abcd. Произведение его цифр a b c d должно равняться числу 1440. Ясно, что одна из цифр должна быть цифрой 5, а хотя бы одна из остальных должна быть четной цифрой, тогда произведение всех цифр даст число с нулем в последнем разряде – в разряде единиц.

Пусть d = 5. Получаем: a b c 5 = 1440. Но тогда a b c = 1440:5 = 288. Уже легче жить. Произведение трех сомножителей должно равняться числу 288. Нетрудно заметить, что число 288 делится на 4.  288:4 = 72. А 72 это 8 9. Вот мы и получаем:
a b c d = 4 8 9 5
Из этого набора сомножителей минимальное число 4589.

Какие же полезные уроки извлечем из наших рассуждений, чтобы они не были похожи на то, что мы толкли воду в ступе.
Первый – неожиданный. Где решение задачи? Расчеты, которые в процессе были выполнены, составляют незначительную часть трудозатрат. Основную часть составил анализ – рассмотрение требований и условий, которые должны быть выполнены. Решение в процессе анализа получилось как бы само собой.

И второй вывод. Когда в задаче даны несколько пластов условий – несколько коробок с неизвестным для нас содержанием, каждая коробка должна быть тщательно проанализирована, даже если, казалось бы, достаточно одной. Такой подход плодотворен.

Задача, близкая к теме

У девочки 12 лент четырех цветов. Среди них есть вишневые, малиновые, бирюзовые и лиловые. Вишневых и малиновых поровну, а бирюзовых в два раза больше, чем лиловых. Сколько у нее лент каждого цвета?
В задаче есть информация о вишневых и малиновых лентах и информация о бирюзовых и лиловых лентах, но никаких известных сведений о непосредственной связи первой группы лент со второй нет. Они взаимосвязаны через общее количество лент.

Обозначим через х количество вишневых лент. Малиновых столько же – х лент. Количество лиловых обозначим через y. Бирюзовых в 2 раза больше. Их 2y. Всех лент 12. Получаем уравнение:

х + х + y + 2y = 12
или
2х +3y = 12.
Откуда:
y =  .
Уравнение одно, а неизвестных два. Количество лент любого цвета по условию задачи не может быть ни дробным, ни отрицательным числом. Числа х и y должны быть целыми и положительными.
Из уравнения  2х +3y = 12  видно, что х < 6. Если х = 6, то y = 0. Это значит, если у нас будет по 6 вишневых и малиновых лент, то у нас не будет бирюзовых и лиловых лент, а по условию задачи они должны быть.
Из уравнения
y = 
для значения х от 1 до 5 будем определять y. Расчеты сведем в таблицу.

х 1 2 3 4 5
y 10/3 8/3 2 4/3 2/3

Решением уравнения в целых положительных числах является пара чисел: х = 3, y =2.
Вишневых лент – 3, малиновых – 3, лиловых – 2, бирюзовых – 4.

Задачу можно решить, не прибегая к помощи уравнений.
Вишневых и малиновых лент поровну, поэтому их суммарное количество – число четное. Суммарное количество всех лент по условию тоже четное число. Следовательно, суммарное количество бирюзовых и лиловых лент – число четное. Количество бирюзовых лент равно удвоенному количеству лент лиловых. Значит, количество бирюзовых лент – число четное. Но тогда количество лиловых лент тоже четное число.

Если лиловых лент – 4, то бирюзовых – 8, их вместе 12, а вишневые и малиновые отсутствуют, что противоречит условию задачи. Следовательно, количество лиловых лент число четное и менее 4. Таким числом является число 2. Бирюзовых лент вдвое больше, их 4, а вместе лиловых и бирюзовых – 6. На долю вишневых и малиновых лент приходится 6 лент, из них вишневых – 3 и малиновых – 3.

Основная информация задачи использовалась для решения с помощью уравнения и без него, но для решения с помощью уравнения сведения о четности количества лент оказались не востребованными, а для решения без помощи уравнения эти сведения сыграли решающую роль.


Пятое число
Слепой и твердолобый
прошляпит случай каждый,
а тот, кто смотрит в оба,
не сядет в лужу дважды.

Ошибка полезна, если служит уроком. Ошибка полезна, если обогащает опыт.
Дана задача. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равняется двум?
Пятизначные числа содержат пять цифр. Пусть пять нулей подряд изображают пятизначное число.
  00000.
Вместо пяти нулей нужно поставить какие-то цифры, их сумма должна равняться двум.
Легкая задача. Первая цифра единица и последняя единица.
  10001.
У такого числа сумма цифр – 2.
Сколько может быть пятизначных чисел с двумя единицами?
Ясно, что в старшем разряде всегда должна быть единица, ноль в старший разряд не поставишь – число станет четырехзначным. В любом другом разряде единица стоять может, и таких чисел еще три.
  10010
  10100
11000.
Всего четыре числа!
Радость оттого, что быстро и легко решена задача, не позволяет критически взглянуть на результат, а в ответе сказано – таких чисел пять.
Первая мысль – не может быть. Пересчитаны все числа, ни одно не пропущено.
Идет повторная проверка.
  10001
  10010
  10100
  11000.
Всего четыре числа, других вариантов нет. В ответе путаница.

Нет, ответ правильный. Других вариантов с единицами действительно нет, но в условии задачи не сказано, что разрешается использовать только единицу. На свете есть и другие цифры.
Тройка не подходит и все цифры выше ее. А двойка?!
Есть же пятизначное число: 20000. Его сумма цифр равна двум. Вот оно – пятое число.

Тот, кто свою ошибку или свою невнимательность посчитает пустяком, никакого урока не извлечет, а напрасно. От подобных ошибок и в следующий раз такой человек не застрахован. Тот же, кто согласится, что споткнулся на ровном месте, просмотрел, прошляпил, тот, кто восхитится или удивится, как ловко его провели авторы задачи, запомнит этот случай и в следующий раз будет осмотрительней и внимательней. Вот осязаемая польза. После нескольких таких поучительных промахов такой человек приобретет опыт недоверия и внимательного исследования каждого решения. Ошибки такого вида у него будут встречаться все реже и реже.

Вторая задача.
Какое двузначное простое число при умножении на 9 даст в произведении трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?
В задаче задано неизвестное нам двузначное число. Обозначим его двумя звездочками. Это число требуется умножить на 9. Должно получиться трехзначное число, все цифры которого одинаковы. Обозначим его тремя звездочками.

* *
х
9
* * *

Такая запись отражает требования условия задачи, но не дает подсказок для решения. Трехзначное число состоит из одинаковых цифр. Это могут быть цифры от 1 до 9. Не проверять же все 9 трехзначных цифр.
Попробуем взглянуть на задачу под другим углом зрения. Не будем умножать неизвестное двузначное число на 9, а наоборот будем делить трехзначное число, о котором мы хоть что-то знаем, на 9.

  ***        9   
  **
Такая запись дает плодотворную подсказку. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Значит, среди трехзначных чисел, все три цифры которого одинаковы, мы должны выбрать только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Среди девяти чисел от 111 до 999 таких только три – 333, 666, 999. Проверять три числа проще, чем все девять, тем более что число 999 должно быть отброшено. Оно при делении на 9 дает трехзначное число, а у нас после деления должно получиться двузначное число.

  333:9 = 37.
  666:9 = 2 (333:9) = 2 37 = 74.

Получается, что два двузначных числа при умножении на 9 дают трехзначные числа со всеми одинаковыми цифрами. А в ответе указано только одно число 37. В чем дело?
Вернемся к условию задачи, которое мы забыли, занимаясь решением и расчетами. В задаче требуется найти двузначное простое число. Число 74 таким не является. 74 – число четное, делится на 2, а 37 – число простое, у него нет других делителей, кроме единицы и самого себя.
Условие задачи необходимо держать в памяти до последней точки решения. Во всяком случае, перед тем, как поставить точку, текст задачи полезно перечитать и проверить, все ли учтено.

Когда решается задача, нельзя упускать ни одного требования условия, но совсем не обязательно строго следовать заданному в задаче порядку событий. Задачу можно и нужно перегибать и переворачивать, смотреть на нее с разных сторон под разными углами зрения. Что-нибудь даст подсказку.
Чтобы знать, как использовать игрушку, надо играть с нею, разбирать все, что можно, собирать, исследовать ее возможности. Тогда и смекалку, и фантазию проявить легче.


Дважды два
Пожухли мысли, как трава,
сумбур в идеях, свалка,
но раз бессильна голова,
должна помочь смекалка.

Две детские задачи. Задача первая.
Машина с грузом должна заехать в подворотню, а высота машины с учетом груза и крытого кузова немного выше свода подворотни.
– Придется вскрыть асфальт, – решил экспедитор.
– Можно подбить свод, – предложил шофер.
Возле подворотни играл мальчишка.
– Дяденька, – сказал он, – а вы спустите шины, чуть-чуть.

Задача вторая.
В комнате отец и два сына – школьник и дошкольник. Отец помогает школьнику осваивать дроби, малыш играет в углу. Отец пытается объяснить сыну, что предметы можно делить на части.
– У тебя два яблока, – говорит ему отец. – Как разделить их на нас троих, чтобы всем досталось поровну.
Школьник в недоумении.
– Папа! – зовет младший из своего угла. – Надо сварить компот.

Следующие две задачи весьма поучительны – их мало кому удается решить, но попытаться следует. Во-первых – а вдруг! Во-вторых, если будут попытки, последующее изложение покажется знакомым.

Задача первая.
В комнате с потолка свисают три электрических лампочки, но выключатели к ним находятся в коридоре за стеной. Выключателями разрешается играть, как угодно, а в комнату можно зайти один единственный раз. Но, зайдя в комнату, надо определить, какой конкретно лампочке в комнате соответствует конкретный выключатель в коридоре.

Вторая задача.
Жил-был на свете бедняк. Как это в жизни обычно бывает, он задолжал серьезную сумму соседу-богачу. Богач – старый горбун, а у бедняка, разумеется, – красавица дочь. А то бы давал ему богач в кредит. Когда дочь бедняка расцвела и созрела, богач потребовал:
– Будь любезен, верни мне сегодня же долг или отдай дочь! Мои затраты на твою семью этого стоят.

Стандартная ситуация. Не знаю, что творилось в душе бедняка, но у дочки было иное представление о будущей жизни, а возможность, свести горбуна в кратчайшие сроки в могилу и пожить за его счет в свое удовольствие, ею не рассматривалась. Красавица пришла к богачу просить отсрочки.
Наивное решение с современной точки зрения, но имеющее под собою почву. Расчет простой. Вдруг произойдет чудо, и батюшка разбогатеет. С чего бы это, хотя надеяться не запрещено. Или за время отсрочки в нее влюбится богатый красивый принц, а она ответит взаимностью.
Наверно, красавица убедительно просила богача, или он, имея на нее определенные виды, не хотел сразу раскрываться с тыльной стороны. Он согласился пойти на некоторые уступки.
– Давай бросим жребий, – предложил он.
Теперь – внимание! Начинается задача.
Разговор они вели у моря на дорожке, сплошь усыпанной белыми и черными камешками.
– Я подниму два камешка, белый и черный, – говорит горбун, – и опущу их в мешок. Ты вытащишь один из них. Вытащишь белый – я утираю слезы, вытащишь черный – сразу баньку истопим.
Красавица с ужасом замечает, как горбун поднимает с дорожки два черных камешка и опускает их в мешок. Как ей быть? Как выйти из этого положения?

Простыми алгоритмами эти задачи не решаются, и детские вопросы «зачем и почему?» мало помогают. В первой задаче после ряда бесплодных попыток можно догадаться, что одного признака – свечения лампочки – не достаточно для решения. Нужен дополнительный признак.
Электрические лампочки обладают еще тепловым излучением. Если эти соображения пришли в голову, дальше дело техники. Включить один выключатель минуты на две, чтобы лампочка нагрелась, потом выключить его, сразу включить другой и быстро зайти в комнату. Одна лампочка светится, из двух других одна на ощупь теплая.

Как наталкивать на решение задачи с горбуном и красавицей? Ясно – на коварную хитрость, надо ответить хитростью, но какой? Логический подход не очевиден. Его можно придумать, но лучше сообщить решение. Воздействие от этого сильнее.
Итак, решение второй задачи.
Красавица опускает руку в мешок, достает камешек и незаметно для горбуна роняет его на дорожку.
– Ой, я уронила. Но это же неважно. Давайте посмотрим, какой камешек остался в мешке. Если там черный, значит, я вытащила белый.


Дополнение к задаче с лампочками

После драки кулаками не машут, но что делать, если хорошая мысль пришла с опозданием? Когда машут кулаками, себя подбадривают надеждой. Хуже, если после драки опускают руки и голову. Хорошо, если пришла хорошая мысль. Хорошо, если пришла. Все остальное – хуже.
Вернемся к задаче с лампочками. Тот, кто пытался решать, комбинировал выключателями, но быстро убеждался, что решения нет. У него возникало чувство, что ему морочат голову.
 
Задача решалась логически. Лампочка в этих рассуждениях являлась абстрактным математическим предметом, а не физическим со своим многообразием свойств. Сложные задачи нужно решать всем арсеналом чувств.
Тот, кто во время решения вспоминал лампочку в разных бытовых ситуациях, казалось бы, уходя и увиливая от решения задачи, на самом деле, включая чувства в игру воображения, находился в двух шагах от цели. И тот, кто представил лампочку не абстрактным предметом, а живым физическим и вспомнил, как она обжигала руки, тут же находил решение.
У писателя Чехова есть великолепный рассказ «Лошадиная фамилия». События, изложенные в рассказе, могут служить классическим примером взаимодействия логического и образного мышления.
У генерала разболелся зуб. Его приказчик пытается вспомнить фамилию человека, который может заочно по телеграфной депеше заговорить больной зуб. Фамилия простая – «словно как бы лошадиная», а не вспоминается.
 
Все пытаются помочь приказчику, но все варианты идут от лошади: Кобылин, Жеребцов, Коненко, Меринов, Буланов. Иногда круг поиска бессистемно расширяется – Табунов, Копытин, Черессидельников, Засупонин, но не помогает. Только утром, когда врач, вырвавший генералу больной зуб, просит приказчика продать ему овса, приказчик вспоминает фамилию.

Логическое мышление и главный его инструмент – абстракция – часто создают ложный круг поиска и очень мало дают пищи для его расширения, пока не придет осознание, что надо выбраться из порочного круга. Образное мышление дает более богатую пищу и свободу. На одной логике во многих задачах далеко не уедешь. Зашел в тупик, попал в заколдованный круг логических построений – включай весь арсенал чувственных средств: смотри, слушай, ощущай, осязай, принюхивайся, воображай, представляй, фантазируй. Что-нибудь даст подсказку.