Математика и творчество Часть 3

Феликс Довжик



Рассказы о математике Часть 3

Первое действие
Не помирить двоих в пути,
раз в спину дышит злоба,
и трудно истину найти,
когда не правы оба.

Машина должна была из пункта А ехать в пункт В. Пошел дождь, и первые два часа машина ехала со скоростью на 5 км/ч меньше расчетной. Потом дождь кончился. Водитель увеличил скорость, и через 5 часов машина приехала в пункт В без опоздания. На сколько скорость машины после дождя больше расчетной?
С первого взгляда, с наскока, в задаче ничего не увидишь. События задачи требуют внимательного рассмотрения.
Вот примерный ход рассуждений человека, обученного анализировать.

Машина должна была из одного места переехать в другое. Пошел дождь. Машина поехала медленнее, чем должна была ехать. 2 часа она ехала со скоростью на 5 км/ч меньше расчетной. Ехала 2 часа. За каждый час отставала на 5 км. За два часа отстала на 10 км. Должна была по расчету приехать в точку С, но отстала на 10 километров и попала в точку Д. Не доехала до точки С 10 километров.

        А              Д      С                В

Потом дождь кончился. Машина поехала с большей скоростью, даже с большей, чем расчетная. Если бы ехала с расчетной, то в положенное время не доехала бы до пункта В 10 километров. Теперь она ехала 5 часов и за эти 5 часов наверстала отставание в 10 километров. Значит, за каждый час она наверстывала отставание в 2 километра. Следовательно, она должна была ехать со скоростью, больше расчетной на 2 км/ч.

Вот решение.
Когда машина ехала под дождем со скоростью на 5 км/ч меньше расчетной, ее отставание составило:
  5 км/ч 2 ч = 10 км.
Увеличение скорости, когда машина ехала после дождя, по сравнению с расчетной составило:
10 км : 5 ч = 2 км/ч.

Совсем иной ход решения, если ученик не приучен анализировать, а учитель после некоторой паузы спрашивает, что делать в первом действии?
Вопрос убийственный. С этого момента задача испорчена, процесс катится не по той дороге.
Понукаемый плетью вопроса ученик начинает торопливо оперировать цифрами. Очевидные по условию задачи 5 и 2.
– Пять умножить на два – будет десять, – объявляет ученик.
– Чего десять?
– Километров, – угадывает ученик.
– Что будем делать во втором действии?
Ученик думает.

Остались две цифры. Полученная десятка и вторая пятерка в тексте задачи. Первая мысль – десять поделить на пять. Получится два. Но зачем тогда предыдущее действие. Нелепость какая-то. То пять умножили на два, то десять делим на пять. Лучше десять умножить на пять, получится пятьдесят. Опять как-то не так. Сначала умножали и снова умножаем. Цифры маленькие, а результат огромный. Наверно, к десяти прибавить пять. А что, нормально. Пятнадцать число небольшое, три пятерки.

«Вот бестолковый», – думает о нем учитель. – К километрам прибавляет часы и ничего не видит».
В этом конфликте каждый прав. Ученик не прибавлял к километрам часы. Ни километры, ни часы для него не существовали. От него требовали действовать, а он привык действовать числами. С его точки зрения все правильно. Он к числу десять прибавил число пять и безошибочно высчитал, что будет пятнадцать. Он уже давно забыл о задаче. Он действовал.


Чувства и разум. Встреча в математике.
Все то, что происходит с нами,
продукт союза речи с глазом,
ведь чувства говорят словами,
а тем, что видим, мыслит разум.

Двум мальчикам дали 64 рубля бумажными купюрами и предложили разделить между собой деньги так, чтобы у одного было на 17 рублей больше, чем у другого.
Все задачи с деньгами и конфетами легко решаются. Решающий мгновенно соображает, что из общей суммы 17 рублей он заберет себе, а оставшуюся сумму разделит поровну.
  64 – 17 = 47.
В этом месте возникают трудности, а все шло так хорошо. 47 – число нечетное, нацело пополам не делится. Так, как предложено в задаче, деньги не разделишь.

Та же математическая проблема в другой формулировке вызывает серьезные затруднения.
64 делегата выбирали тайным голосованием из двух кандидатов одного руководителя. Счетная комиссия объявила, что один из кандидатов набрал на 17 голосов больше другого. Может ли такое быть?
Неведомые кандидаты и их проблемы того, кто задачу решает, не волнуют. Один кандидат набрал на 17 голосов больше. Почему бы нет? Какие могут быть сложности? Пусть набирает.

Задача решается не расчетом, а угадыванием, и здесь чувства подсказывают, что разница может быть какой угодно. Почему бы ей не быть равной семнадцати? Это ложное чувственное восприятие событий ослепляет разум настолько, что мешает решить задачу – отключает сообразительность. А проигравший кандидат сразу бы догадался провести расчеты. Его взвинченные чувства и обида не дают ему покоя. Он хочет все знать досконально, чтобы отыскать утешительную соломинку и ухватиться за нее. Он бы тут же отбросил 17 голосов (не его это деньги), оставшееся количество голосов попытался бы поделить пополам, чтобы определить свою долю, и тут же обвинил бы счетную комиссию в подлоге.

В итоге оказалось бы, что он прав, его конкурент набрал не на семнадцать, а всего лишь на шестнадцать голосов больше, но оплошность счетной комиссии осела бы в его душе горьким осадком – к нему отнеслись несправедливо, а это чувство помогло бы ему легче перенести более тяжелую травму – горечь поражения.

Конфеты и деньги гораздо ближе каждому из нас, чем чужие проблемы.
В задачах с конфетами и деньгами, особенно при их даже воображаемом дележе в нашу пользу, чувства работают точнее, отчего сообразительность становится острее и безошибочней.

Чувства могут помочь, но могут и подвести. Без них не обойтись, но и доверять им безоговорочно нельзя. Если не увидишь, не вообразишь, не представишь точно, какие события происходят в задаче, ее не решишь. Но и наша логика, наши рассуждения и расчеты могут оказаться ошибочными. Вот почему наше чувственное восприятие, наше образное мышление и наш разум, наше логическое мышление при решении задач на каждом этапе, на каждом шагу должны работать совместно, контролируя, проверяя друг друга, поставляя друг другу пищу для размышлений и наталкивая друг друга на новые поиски.

Образное и логическое мышление – два главных инструмента, дарованные нам природой для решения всевозможных задач, а фактически для нормальной полноценной жизни. Без одного мы слепы, без другого неразумны. А задачи любого вида, любого предмета, любой сферы деятельности для того и служат, чтобы мы научились пользоваться этими инструментами. Они совместно с характером, с волей, с памятью, со здоровьем, с душой и телом составляют удивительное создание природы – человека чувствующего, сострадающего и разумного.

Дополнение к чувствам и разуму

Вспомним задачу, которая предлагалась в дополнении к заметке «Устный счет».
В квадратной комнате расставить три стула, чтобы возле каждой стены размещался один стул. В той же комнате расставить пять стульев, чтобы возле каждой стены размещались два стула.
Если она не была решена раньше, над нею снова стоит подумать.
Условие задачи составлено правильно, не следует считать, что вас дурачат, что задача не имеет решения.

Задача не на деление нацело натурального числа три на натуральное число четыре. Задача деления числа три на число четыре в целых числах не решается. Данная задача о другом. Она не о делении чисел, а о расстановке трех стульев в комнате с четырьмя углами и четырьмя стенами. Дверьми и окнами можно пренебречь.

Конечно, если глубоко задуматься, задача даже не об этом. Для ее решения необходимо взаимодействие инструментов мышления – взаимодействие образного (зримого или воображаемого) и логического. Голой логикой задачу победить трудно, в этом случае тут же возникает мысль, что задача неправильная, лучше ее бросить и заняться чем-нибудь более осязаемым и убедительным.

Займемся делением натурального числа три на натуральное число четыре – вспомним раннее школьное детство.
Допустим, нам надо три совершенно круглых одинаковых по массе и по размерам яблока разделить на четверых озорников.
Дать каждому по целому яблоку (дать с избытком) – яблок не хватит. Разрезать все три яблока пополам и дать каждому по половинке (дать с недостатком) – справедливость будет соблюдена, но у нас останутся две половинки. Выход есть. Разрежем эти две половинки пополам, получим четыре четвертых доли целого яблока. Дадим каждому из четверых по такой дольке. От яблок не останется ни крошки, и никто не в обиде. Каждый получил:
    +   =   +   =  ,

т.е. каждый получил три четверти яблока.
Можно было сразу представить, что все три яблока разрезаны на четыре дольки, а каждый из четверых озорников получил от каждого яблока четвертую часть. У нас три яблока. Каждый получил три четверти яблока, составленные из четвертых долей трех яблок.

Так или примерно так на каких-то конкретных осязаемых предметах каждого из нас когда-то в школе учили простым дробям или делению меньшего натурального числа на большее натуральное число. Потом операции с дробями, деление чисел, стали для нас автоматическими, стали обыденностью. Но первое понимание обязательно было связано со зримым, с чувственным представлением, иначе понять процедуру или логику деления чисел было бы очень трудно, может быть даже невозможно.

Для решения задачи с расстановкой стульев надо проявить смекалку. Вы еще не решили эту задачу? Попытайтесь снова. Решите – получите огромное удовольствие. Дело даже не в том, что решение данной задачи поможет при решении многих других задач с расстановкой. Если вы самостоятельно решите данную задачу, вы, может быть, кое-что новое для себя поймете в работе инструментов мышления. Вы сделаете еще один шаг по заточке собственной смекалки. А она необходима каждому, начиная от крупного чиновника, казнокрада и взяточника, и кончая квартирным вором, не говоря уже о всех остальных, честных и не очень.

Поймите несчастного взяточника. Дырявые законы из года в год латаются, каждый месяц приходится изобретать обходные пути. Из года в год общественность поднимает вой против взяточника, пытается огородить его красными флажками и загнать в зону, как затравленного волка. Вот в таких нечеловеческих условиях ему приходится умножать свое непомерно раздувшееся благосостояние, которое и без того всем окружающим глаза колет. Но будем за него спокойны. На то и талант, чтобы преодолевать трудности.

И несчастному квартирному вору надо иметь смекалку. С ним вообще даже трагикомические истории приключаются. Из года в год замки усовершенствуются, становятся сложнее и дороже, а ему каждый новый замок, придуманный коллективом инженеров и изобретателей, надо открыть за считанные минуты. Вскрывает он два новых дорогих замка на новой железной двери и с ужасом видит перед собой вторую добротную старую деревянную дверь. Замок на ней ему знаком.

Лет двадцать назад он подобные охранные устройства легко открывал, но полтора десятка лет, а то и больше, он с таким допотопным замком не встречался и все необходимые для него инструменты, все отмычки давно забросил в ящик чулана или вообще выбросил. Из того, что взял с собой, ничего не подходит. Хоть плачь. Когда еще такая возможность представится? И на чем погорел? На деревяшке.
Оставим его вытирать слезы и вернемся к расстановке стульев.

Остановите поток логических рассуждений и положитесь на воображение.
Как расставить три стула в квадратной комнате? Квадратная комната – обыкновенный квадрат на листе бумаги. На такой квадрат стул не поставишь, да и зачем? Представим стул в виде точки и начнем эту точку-шарик катать вдоль стены – вдоль стороны квадрата. Пока она катится далеко от угла, она принадлежит только этой стороне. Но поиграем с шариком-точкой. Покатим его смелее и размашистей. Вот точка закатилась в угол. Несколько новое для нее положение, чем все предыдущие. Кому, какой стороне угла она принадлежит? Одной или другой!? Конечно же, и той и другой!
Стул в углу комнаты как бы раздваивается, он принадлежит и одной и другой стене угла.

В жизни такое случается. Каждый предатель это хорошо знает. Он служит и нашим, и вашим. Если такое случается в жизни, почему бы такому не быть в математике? Тем более что стул в углу комнаты, служа двум стенкам сразу, не предает никого. Он уменьшает расходы, делает ненужным один лишний стул.

У людей, у которых очень хорошо развито логическое мышление, ход решения мог быть несколько иным. Стульев три, а стен четыре. Могла возникнуть логическая догадка – хотя бы один стул должен принадлежать двум стенкам. От этой догадки возникает следующая – расположить его там, где стенки сходятся. Эти соображения немедленно вызывают образную (воображаемую) картину – стул в углу комнаты или точка в углу квадрата.

Такое взаимодействие нашего образного мышления (представления) и логического или логического и образного – основа нашей творческой деятельности. Если бы, мысленно закатив точку-шарик в угол комнаты, мы не сделали логического вывода, или после логического мечтания, что стул должен принадлежать двум стенкам, мы не представили его в углу комнаты, мы бы задачу не решили. Именно во взаимодействии образного и логического мышления ключи к решению задач. Других средств и путей нет.

У того человека, который самостоятельно расставит стулья в комнате, появляется некоторый опыт решения задач – опыт плодотворного взаимодействия инструментов мышления, а это намного важнее знания теоретических выводов. Выводы еще надо осознать, понять и научиться применять, а опыт уже в кармане.


Столбы и секции забора
Смотри – увидишь смысл и корень,
и не смотреть ты тоже волен,
а позовет успех с собой –
идти б ты рад, но ты слепой.

Мальчик на лифте поднялся с первого этажа на двенадцатый. Сколько пролетов он проехал?
Детская задача. Раз поднялся на двенадцатый этаж, значит, проехал двенадцать этажей или двенадцать пролетов. Вот и все. Задача решена.
Задача решена, а ответ ошибочный. Ошибочный ответ в подобных задачах случается с упорным постоянством.

Сколько концов у двух с половиной палок?
Тот, кто уже знаком с умножением простых или десятичных дробей, быстро подсчитает:
  2,5 2 = 5  или  21/2 2 = 5.

Мальчик начал читать книгу с одиннадцатой страницы и закончил чтение на 27 странице. Сколько страниц он прочитал?
  27 – 11 = 16.

Мама хочет повесить двухметровую штору. Для этого она через каждые 20 см пришивает к шторе петлю. Сколько петель ей надо пришить?
  200:20 = 10.

Сколько всего существует двухзначных чисел?
Самое маленькое двузначное число 10. Самое большое 99.
  99 – 10 = 89.

Во всех приведенных задачах ответ ошибочный, хотя арифметические вычисления сделаны правильно. Придется разбираться.
Вдоль границы дачного участка решили поставить забор. Длина границы 20 метров. Через каждые два метра ставятся столбы, чтобы поддерживать секции забора. Папа сказал, что нужно купить 11 столбов и 10 двухметровых секций забора, а мама возразила:
– Зачем тебе запасной столб? Достаточно десяти.
Кто из них прав?

Мальчик не знал, чью сторону принять, но, когда вдоль границы поставили три столба, он понял, что между ними будет установлены две секции забора. Когда установили пять столбов, оказалось, что между ними будет четыре секции забора. Тут мальчик все понял. Для двух секций забора нужно иметь три столба. Один в центре, два по краям. Для четырех секций – пять столбов. Для десяти секций – одиннадцать столбов. Иначе конец десятой секции не за что закрепить. Число столбов на единицу больше числа секций. Это закон для забора.

С точки зрения математики мамина штора ничем не отличается от папиного забора. Для части шторы длиной в 20 см нужно иметь две петли. Чтобы конец шторы не болтался в воздухе для конца шторы, для конца ее последней десятой части, требуется дополнительная одиннадцатая петля.

Увидеть сразу двадцатиметровый забор или двухметровую штору, представить их в воображении со всеми столбами или петлями очень сложно, но забор из трех столбов и двух секций представить можно, а еще лучше нарисовать условный забор на бумаге, а потом достраивать хотя бы до трех, четырех секций. Тогда закон забора откроется сам по себе. Решая задачу, нужно обнаруживать в ней те скрытые связи или закономерности, которые не сразу бросаются в глаза, но без выявления или понимания которых задачу не решить.

Задача на то и задача, чтобы законспирировать, скрыть особенности, а при решении их необходимо разгадать, а для этого надо увидеть эти особенности или докопаться до них рассуждением. При этом рассуждение помогает увидеть, увиденное или представленное помогает рассуждению. А расчет выступает как итог всего выявленного и понятого. Человек думает, когда решает задачу, – мыслит.

Оперировать можно внутренним видением, представлениями. Это наше образное мышление, основанное на чувственном восприятии или на увиденном. На внутреннем экране нашего воображения мы представляем образные картины, видоизменяем их и всматриваемся, отыскивая интересующие нас связи и закономерности. Так футболист, ведя ногами мяч, бегло, торопливо, но внимательно осматривает поле, замечает противников, замечает своих и представляет возможные их перемещения.

В этой сложной быстро меняющейся картине он внезапно замечает, что его друга по левому краю никто не опекает. Если по ходу его бега дать ему пас, он окажется с мячом перед воротами противника в очень удобном положении. Это только кажется, что футболист работает ногами. Это видимая нам часть его работы. Он представляет, он думает, он мыслит, он принимает решение. Но его решения основаны не на расчете, не на логических рассуждениях, а на образных картинах и представлениях – работает его образное мышление.

Животные, например, кошки или собаки, очень неплохо соображают во всем, что их касается. Раз соображают, раз принимают решения, они думают и мыслят. Но у них нет речи, нет смыслового логического мышления. Они оперируют образным чувственным мышлением. Например, кошка хорошо соображает, как и куда убежать от собаки. Решение свое она принимает, основываясь не на расчетах, а на том, что она непосредственно видит и на пространственно-звуковой панораме, которую формирует ее обостренный слух
.
Человеку приходится решать более сложные задачи. Приходится и рассматривать, и рассуждать, и рассчитывать. Во многих случаях рассматривание и рассуждение друг без друга бессильны. Образное и логическое мышление должны работать совместно, уточняя и углубляя наше видение и рассуждение, подталкивая тем самым друг друга к следующему шагу или продвижению. Например, наше рассуждение, наше логическое мышление показывает, что для решения задачи чего-то не хватает, нет каких-то данных, какие-то связи не ясны. Мы начинаем воображать, представлять картины, рассматривать их – мы запускаем в работу образное мышление.

Мальчик, решая задачу со столбами, мучаясь, кто прав, мама или папа, не дожидаясь начала строительства, мог бы представить часть забора – два столба и секцию между ними, и его бы осенило. Для одной секции понадобилось два столба! Попробуйте докопаться до этого рассуждением. Это надо увидеть. Увидел – мелькнула догадка: здесь есть что-то важное! И тут же логическое мышление подсказывает, а если не одна секция, а две или три?

Представляем увеличенную часть забора – закономерность сохраняется. Для двух секций – три столба, для трех – четыре. Значит для десяти – одиннадцать. Для последней секции требуется конечная опора. Отсчет может начинаться от нее. Одиннадцатый столб – первый, десятый – второй. Длина забора уже не имеет значения. Мы можем представить начало, конец, середину. Закономерность врезается в сознание, оседает в памяти, становится знанием.

В последующем остается похожую закономерность увидеть в подобных задачах. Но для этого надо приучить себя не решать задачу, а рассматривать, анализировать, задавать простые детские вопросы почему, зачем, что происходит? А зачем эти вопросы? Чтобы отвлечь себя от попытки совершать операции с цифрами, чтобы отвлечь себя от попытки рассуждения при не выясненных досконально событиях и фактах задачи, и, самое главное, чтобы побудить или заставить себя рассмотреть, представить, увидеть, что происходит, а это значит, чтобы уловить закономерность, скрытую в задаче. А когда все представлено, увидено и понято, задача легко решается.

Что происходит в задаче с палками? Одну палку переломили пополам. Каждая из новых палок по длине – половинка нормальной палки, но сама по себе она такая же нормальная палка с двумя концами, как все остальные. Вообще у любой палки два конца независимо от длины. Если бы нас попросили подсчитать общую длину двух с половиной палок при условии, что длина целой палки два метра, тогда приведенные ранее расчеты были бы правильными.

У двух двухметровых палок суммарная длина четыре метра, у короткой – один метр. Общая длина палок – пять метров. Но нас не об этом спрашивали. Нас спрашивали, сколько концов? У короткой столько же, сколько у длинной. У двух с половиной палок столько же концов, сколько у трех палок. Число концов палки от ее длины не зависит. Вот главная закономерность данной задачи. Эту закономерность надо увидеть, прежде чем задачу решать.

А что с книгой, которую читал мальчик? Он начал читать книгу с одиннадцатой страницы, и он эту страницу прочел. Кончил на 27-ой странице. И ее он прочел. Всего им прочитано 27 страниц, но первые десять из них были прочитаны раньше. Значит, в данный момент он прочел 17 страниц, а не 16.
Наконец, поездка в лифте. Мальчик поднялся на двенадцатый этаж. Первый этаж он проехал от пола до потолка, а двенадцатый он не проезжал, он только доехал до него. Всего он проехал одиннадцать этажей или одиннадцать пролетов.

Новая задача для проверки усвоенного материала.
Мальчик поднялся пешком по лестнице на четвертый этаж, а его одноклассница на второй. Во сколько раз расстояние, пройденное мальчиком, больше, чем расстояние, пройденное девочкой?
Если мы четыре разделим на два, это будет не решение задачи, а решение детского примера деления четырех на два. При решении такого примера думать нечего. Надо делить. А задача требует рассмотрения.

Мальчик поднялся на четвертый этаж. Он прошел три пролета или шесть лестничных маршей. (Лестничный марш – часть лестницы от площадки до площадки. В обычных домах между соседними этажами два марша). Девочка, поднявшись на второй этаж, прошла один пролет или два лестничных марша. В итоге мальчик прошел расстояние в три раза больше, чем девочка.

А сколько всего двузначных чисел?
Всех двузначных и однозначных чисел 99. Сто – уже трехзначное число. Но однозначных только девять – от единицы до девятки. Значит, двузначных чисел 90.

Несколько задач для закрепления успеха.
1. Мальчик читал книгу. Он начал читать с 10-ой страницы, а закончил, прочитав 16-ую страницу. На чтение он затратил 42 минуты. Сколько бы ему понадобилось времени, если бы читал до 21-ой страницы включительно?

2. Лифт, поднимаясь, подходит к третьему этажу за 6 секунд. За какое время он поднимется на 8-ой этаж?

3. На полигоне проводились испытания огнестрельного оружия. По звукам, используя секундомер, наблюдатели определили, что 6 выстрелов было сделано за 30 секунд. Какое время покажет секундомер, если будет сделано 20 выстрелов? А сколько времени требуется, чтобы произвести 20 выстрелов при непрерывной стрельбе?

4. Бабушка затеяла блины. Когда она испекла первый блин, она посмотрела на электронные часы. Часы показывали 12 часов. Когда она испекла четвертый блин, часы показали 12 час 12 мин. Тесто бабушка замесила на 10 блинов. За какое время она испечет остальные блины? Какое время показали часы, когда она кончила печь блины? А сколько времени ей понадобилось, чтобы испечь все блины?

5. Машина ехала вдоль по улице. От дома номер 2 до дома номер 6 она проехала за 6 секунд. За какое время машина проедет от дома номер 2 до дома номер 20, если считать, что дома на улице расположены на одинаковом расстоянии друг от друга?

6. В подъезде дома расположены квартиры с номера 65 по 128. Сколько этажей в доме?
Правильное решение задачи позволит выяснить, сколько этажей в доме и сколько квартир на каждой площадке. При ошибочном решении получится дом несуразной конструкции.


Конфетная задача
Когда задание – не клад,
и ручеек идеек тощий,
смени бревно на шоколад –
с приятным состязаться проще.

На мою маму школьные задачи о бассейнах (в одну трубу вода вливается, из другой выливается) наводили панический ужас. Вероятно, не только на маму. Из современных школьных учебников задачи о бассейнах практически исчезли. Задачи на движение – из А и Б одновременно навстречу друг другу выехали или вышли машины, велосипедисты, пешеходы – такие задачи остались и доставляют бедным школьным немало хлопот. Трудно укладывается в их голове, что скорости людей или предметов, движущихся навстречу друг другу, суммируются. Возможно, потому, что скорость для детей – понятие не конкретное, не осязаемое.

Я своим внукам предложил такой прием. На столе от А до Б в одну линию выложено 25 конфет. Витя со стороны А поедает по 3 конфеты в минуту и движется в сторону Б. Сережа со стороны Б поедает по 2 конфеты в минуту и движется в сторону Вити. Начали. Снимаем, снимаем, снимаем…
Сколько надо минут, чтобы съесть все конфеты?

Теперь вместо конфет километры. Машины идут навстречу друг другу и съедают километры. После конфет поведение машин и пешеходов понимается легче.
И вот классическая задача на встречное движение – задача двух кондукторов встречных поездов. Кондуктор – человек, сопровождающий поезд. В данной задаче он располагается на последней площадке или в последнем тамбуре последнего вагона. Вместо кондуктора можно представить проводника последнего вагона в последнем тамбуре. Итак, задача.
Два поезда, оба длиной по 200 метров, идут навстречу друг другу с одинаковой скоростью 20 м/с (72 км/ч). Сколько секунд пройдет от момента встречи машинистов до встречи кондукторов (проводников) находящихся в последних тамбурах последних вагонов?
Для тех, у кого хорошо развито образное мышление, это простая задача на встречное движение – обычная конфетная задача. Тот, кто не может похвастаться образным видением, должен всеми возможными ухищрениями помочь себе представить картину или хотя бы уловить правильную логику событий. В таком случае хорошо помогают примитивные схемы.
Поезда сошлись электровозами (паровозами).

              А                О 
                Б

Машинисты в точке О. Кондуктор состава А в точке А, кондуктор состава Б в точке Б. ОА – длина поезда А, ОБ – длина поезда Б.
Для некоторых такой схемы достаточно для решения задачи. Но не для всех.
Из схемы видно: О – старт, начало отсчета. С этого момента из А и Б, расстояние между которыми равно суммарной длине двух составов, навстречу друг другу с заданными скоростями едут два кондуктора. Перед нами обычная конфетная задача. Время до встречи кондукторов А и Б равно расстоянию между ними, деленному на сумму их скоростей.

Не все останавливаются на первой схеме, не для всех она оказывается достаточной подсказкой. А и Б, спешащие навстречу друг другу, не складываются в единую картину. Внимание разорвано отвлекающими соображениями, чего-то не достает, чтобы увидеть очевидное. Некоторые добавляют к схеме конечную картину. Хорошо, если она помогает, хуже – если усложняет поиск решения, поскольку возникает некоторое графическое нагромождение. Оно может направить поиск решения по побочному пути.

                А1                О1                А2

                Б2                О2                Б1

Так как по условию задачи поезда имеют одинаковую длину и движутся с одинаковой скоростью, то встреча кондукторов произойдет на середине первоначального расстояния между ними. Этот частный случай подсказывает некоторым второй способ решения.
Кондуктор А до встречи с кондуктором Б проезжает расстояние А1 О1, равное длине состава. Следовательно, время до встречи равно длине состава А, деленному на скорость состава А.
Чтобы общее решение было осознано, задачу можно сформулировать с иными числовыми данными.
Два поезда, один из которых длиной 150 метров, другой – 250 метров, идут навстречу друг другу. Скорость первого 22 м/с, скорость второго – 18 м/с. Сколько секунд пройдет от момента встречи машинистов до встречи кондукторов (проводников) находящихся в последних тамбурах последних вагонов?

Замечание к конфетной задаче

Если мы не представим картину событий, происходящих в задаче, мы будем мучиться над ней, пока рассуждения не подтолкнут наше внутреннее зрение (наше воображение, наше представление) к условной схеме, близкой по смыслу к той, что нарисована. Тогда решение сорвется с мертвой точки. Эти процессы – работа творческой интуиции: внезапное прозрение и догадка в результате взаимодействия образного и логического мышления.


Успех в работе
Без знаний и ума
легка трудов сума,
а ум и дар природы
и плод большой работы.

Если мы поняли роль и значение скорости, не следует останавливаться на достигнутом, будем развивать успех. Попробуем разобраться в роли и значении производительности труда, в ее возможностях при решении задач, тем более что это поможет лучше осознать, зачем нужна скорость.
Рассмотрим самую примитивную задачу из тех, которые наводили панический ужас на бабушек и прабабушек современных школьников. Рассмотрим простейшую задачу о бассейнах.

Бассейн заполняют водой двумя трубами. Одна способна заполнить его за два часа, другая за четыре. За какое время они заполнят бассейн, работая одновременно?
Чем страшна эта задача? В ней ничего невозможно увидеть. Из одной трубы льется вода, из другой льется. А когда проклятый бассейн наполнится? В одной трубе напор воды как будто сильнее. Ну и что? Условие задачи понятно, а что делать не ясно. Наше чувственное, наше образное мышление в этой задаче не работает – ему нет фронта работ. Что происходит, какие события, хорошо видно, но что из этого? Как решать? Понятно, что нужны какие-то рассуждения, но какие?

Одна труба заполняет бассейн за 2 часа, другая за 4. Неужели они вместе заполнят за 6 часов? Так не может быть. Одна заполняет за 2 часа, а вторая работает хуже, но помогает. За сколько же заполнят? За час? Если два разделить на четыре получится половинка. За час с половиной что ли?
Рассуждать тоже не просто, если не знаешь, о чем и как рассуждать.

Трубы совместно заполняют бассейн. Надо как-то сравнить их возможности. Вторая помогает первой, но как, насколько? Как оценить ее вклад? Как сравнить ее с первой?
А как вообще осуществляются в жизни сравнения?
Два мальчика носятся наперегонки. А кто из них лучше бегает? Один из них не догнал другого, но бежал резво. Он побежал, когда первый был далеко от него. Может быть, догнал, если бы не остановился? Как сравнить?

Отмерим какое-нибудь расстояние, и пусть они начнут бег одновременно. Кто первый добежит до финиша, тот бегает лучше. Хороший способ для сравнения. А если мальчики учатся в разных школах и живут в разных районах, а нам хочется узнать, кто из них лучше бегает. Есть способ и на этот случай. Пусть каждый возле своей школы пробежит сто метров, а мы секундомером засечем время.
Великое изобретение – время. Оно и в одной и в другой школе и вообще везде на Земном Шаре идет одинаково. Очень хороший инструмент для сравнения.

Один сто метров пробежал за 15 секунд, другой за 16. Ясно, кто бегает быстрее.
Но и у этого способа свои недостатки. Нам говорят, что в одной школе дорожка длиной 84 метра. Победитель пробежал ее за 14 секунд. В другой школе дорожка длиной 105 метров. Ее пробежали за 15 секунд. Чей победитель лучше бегает?

Вот для такого случая человечество придумало определять скорость – расстояние, пройденное за единицу времени: за секунду, за минуту, за час, за день, за неделю, за месяц, за год, за столетие. Дорожки для всех разные, крутые и извилистые, прямые и ухабистые, а время для всех и везде одинаково – секунда, минута, час. Если мы знаем, какое расстояние человек или машина проходит за единицу времени, мы легко вычислим, сколько будет пройдено за любое время. Скорость бегуна – это его возможность, его способность к бегу за секунду, за минуту, за час. Но подобным образом можно определять возможности в любых сферах деятельности.

Если токарь вытачивает семь деталей за час, мы легко подсчитаем, сколько он вытачивает за день, за неделю, за месяц, если, конечно, грипп не уложит его в постель, или он не запьет дней на десять, что тоже нередко случается. Его способность в трезвом состоянии к работе за час – это скорость его работы или иначе производительность его труда. Таким же образом можно оценивать и сравнивать не только людей, но и механизмы.

Одна труба заполняет бассейн за два часа. Значит, за час она заполнит половину бассейна или   его часть. Вот производительность трубы. Теперь мы легко можем узнать, на что она способна за любое время. Например, за пять часов она способна залить два с половиной бассейна.
Вторая труба заполняет бассейн за 4 часа. За час она заполнит в четыре раза меньше – только четвертую часть бассейна.

Теперь вернемся к бегунам. Пусть на дорожке длиной 130 метров они одновременно берут старт и бегут навстречу друг другу. Один бежит со скоростью 6 м/с, другой 7 м/с. Через сколько секунд они встретятся?

За каждую секунду первый бегун сокращает расстояние до второго бегуна на 6 метров, а второй одновременно с первым за секунду сокращает расстояние между ними на 7 метров. Поскольку они дружно делают общее дело, они оба за секунду сокращают расстояние между собой на 13 метров. Следовательно, им надо 10 секунд, чтобы они встретились. Один бегун за это время пробежал 60 метров, второй – 70 метров.

А теперь заглянем в бассейн. Трубы совместно делают общее дело – заполняют бассейн водой. Одна за час заполняет половину бассейна или две четверти, вторая только одну четверть. Вместе за час они заполнят   бассейна. За сколько времени трубы заполнят весь бассейн? Для тех, кто еще не научился в школе находить целое по части или уже забыл, найдем простыми рассуждениями. За час бассейн заполняется на три четверти. Одна четверть заполняется в три раза быстрее – за треть часа или за 20 минут. Целый бассейн (четыре четверти) заполнятся за 80 минут или за 1 час 20 минут.

В этой задаче вторая труба может работать не на заполнение, а на слив воды – выливает воду из бассейна за 4 часа. Допустим, после похмелья сантехник Петрович включил кран первой трубы, но забыл закрыть кран второй трубы, которая работает на слив. За сколько времени заполнится бассейн, если Петрович не спохватится и не закроет кран?

Теперь трубы мешают друг другу, одна наливает, другая выливает воду. Возможность первой трубы – заполнить половину бассейна за час, возможность второй – выпустить четверть бассейна в час. Наполнение идет за счет разностей возможностей – за счет разной производительности труб. За каждый час наполняется    –   =   часть бассейна. Полный бассейн наполнится за 4 часа. Дальше начнется переполнение. Будем надеяться, что на этот случай предусмотрена аварийная сливная труба. По такому принципу устроена ванна в квартирах. Одна труба наполняет воду, вторая выпускает воду, третья – аварийная сливная, чтобы рассеянные или забывчивые хозяева не залили соседей этажом ниже.

Существует много старинных задач на работу, методы решения которых сходны с методами решения задач с бассейнами. Вот простейший пример.
Один мужик способен срубить дом за два месяца, второй – за четыре. За какое время они срубят дом вместе?
Смотреть на поднимающиеся в воображении дома бесполезно. Задачу не решишь, пока не начнешь рассчитывать производительность труда каждого работника.
Один за месяц построит полдома, второй – четверть дома. Вместе за месяц возведут три четверти дома. Целый дом они построят за месяц и треть месяца.

Детям младших классов очень трудно даются абстрактно-логические понятия скорости, производительности труда, плотности, давления, концентрации. Эти понятия – плоды рассудочно-логического мышления, они очень плохо поддаются чувственному восприятию. С годами и с опытом приходит понимание, но за бортом остаются любовь к математике и очень много нерешенных задач.


Кирпич с половиной
Вот стимул двигаться вперед:
медовый пряник, хлесткий бич,
кому – с ветвей съедобный плод,
кому – на голову кирпич.

Нестандартная задача для школьников младших классов. Кирпич весит два килограмма и еще полкирпича. Сколько весит кирпич?
Многие школьники и их родители решают задачу так. Есть два килограмма и еще половина этого. Половина двух – один килограмм. Следовательно, кирпич весит три килограмма.

Для многих математика начинается и кончается с жесткого алгоритма – что будем делать в первом действии, то есть, какие действия с цифрами будем совершать немедленно. И совершают – уменьшают, делят, отнимают все, что попадается под руку. С легкой руки многих толкователей так и пошло: математика – это числа и действия над ними. Но для решения задач такой подход не помогает. Задачи требуют анализа, в конечном счете, рассмотрения событий, в них происходящих.

 Что происходит в задаче с кирпичом? Ничего особенного. Кирпич взвешивают. На одну чашку чашечных весов положен кирпич, на другую гиря два килограмма и, за неимением других гирь, половина точно такого же кирпича. Весы в равновесии. Если такую картину представить или условно нарисовать, задача легко решается. Каждый кирпич имеет две половины и не больше. Значит, одна половина кирпича равна двум килограммам, а поскольку половины равны друг другу, то и другая весит столько же.

На заре туманной юности математики кто-то, подметив, что решение задач требует определенной последовательности, предложил наводящий вопрос: что делать в первом действии? С тех пор вполне разумное в конкретных случаях предложение повело по малопродуктивному пути. В задаче с кирпичом то, что предполагается делать в первом действии, оказывается завершающим этапом. Вычисления уместны, когда понятно, что и зачем вычислять.

Современные методики, чтобы облегчить анализ задачи, предлагают составлять схемы решения. Метод вполне разумный в конкретных условиях, но зачастую решить задачу легче, чем придумать схему к ней. Это, во-первых. Во-вторых, составленная схема, как правило, предопределяет один вариант решения, а многие задачи допускают несколько вариантов решения. Нахождение всех вариантов увеличивает шансы решения следующих задач. И, наконец, третье. Нет добра без худа. Составление схем становится самоцелью. Забывается что для чего – схема для математики или математика для схем? Попроси фанатика молиться богу – он другим лоб расшибет.

Главное в задачах – умение четко разобраться в том, что дано, и в том, что требуется, умение видеть и представлять, размышлять и анализировать, а для этого требуются развитые и натренированные чувственные и мыслительные механизмы человека, память, воля, характер. Развивать их, учить целенаправленному взаимодействию гораздо труднее, чем учить составлять схемы или немедленно вычислять. Но зато и отдача весомее.