Идеальные магические квадраты Ч. 1

Будем рассматривать только матрицы нечетного порядка n за исключением n=9+6k (их порядки 9, 15, 21, 27, 33 и так далее. Для них  будем иметь простой магический квадрат, хотя и ассоциативный. Что тоже неплохо!).
 Во многих статьях я давал несколько методов построения в уже готовом виде. Однако отдельные пытливые любители математики озадачены тем, как же самим получать иные подходы? Именно об этом данная проза.
Начнем с самого простого. Будем рассматривать матрицы порядка n=5, ибо известно, что квадрат третьего порядка идеальным быть не может.
Шаг 1. Находим центр матрицы и в эту ячейку заносим число (n^2+1)/2=(5^2+1)/2=13. На Рис. a) данное число красного цвета.
Шаг 2. Довольно сложная многовариантная задача: нужно обратными ходами и перескоками добиться того, чтобы только по пустым ячейкам добраться до ячейки с числом 1. Ходы я рекомендую делать, как ходит шахматный конь. Ясно, что только с ячейки 13 можно осуществить шесть вариаций. Потом рекомендую выбранный вариант использовать всегда в последующих ходах. Иначе можно уже совсем закопаться. Допустим, обратные ходы будут такими: два шага вверх и один налево.
Шаг 3. Выбрать также нужно и перескок. Он может быть по одной диагонали, по одному шагу в по горизонтали или вертикал, а также по два шага по горизонтали и вертикали. Можно, конечно, расширить диапазон перескоков, но опять же - можно зарыться в большой многовариантности. И опять придерживаться правила: на каждом этапе перескок должен оставаться неизменным. В данном примере выберем обратный перескок на одну диагональ направо-вверх. С ячейки 13 делаем два шага вверх и шаг налево. Пишем число 12. Еще раз такой ход, пишем 11 и так далее до ячейки с числом 6. Оно на единицу больше, чем n. Делаем перескок по выбранной диагонали и пишем число 5. Продолжаем данный цикл и получим ячейку с числом 1. Ячейка оказалась в правом верхнем углу матрицы. Однако, следует учесть, что не всегда удается так гладко пройтись по свободным ячейкам. Если в какой-либо цифра уже была проставлена, то данный вариант считаем ложным и задаемся иными ходами и перескоками. Если подобные манипуляции осуществлять по программе, то машине перебрать тысячи случаев - раз плюнуть. Она найдет довольно много положительных результатов. В нашем случае все оказалось замечательно.
Шаг 4. Теперь уже прямыми ходами и перескоками дополняем таблицу и получим нужный результат на Рис b).
Шаг 5. Нужно проверить полученный квадрат на идеальность. Известно, что магическая сумма для матрицы 5 х 5 равна 65. Делаем проверки:
по строкам:
9+12+20+23+1=65
18+21+4+7+15=65
2+10+13+16+24=65
11+19+22+5+8=65
25+3+6+14+17=65
по столбцам:
9+18+2+11+25=65
12+21+10+19+3=65
20+4+13+22+6=65
23+7+16+5+14=65
1+15+24+8+17=65
по главным диагоналям:
9+1+13+5+17=65
25+19+13+7+1=65
по ломанным диагоналям:
9+3+22+16+15=65
18+12+6+5+24=65
2+21+20+14+8=65
11+10+4+23+17=65
1+18+10+22+14=65
23+15+2+19+6=65
20+7+24+11+3=65
12+4+16+8+25=65

Все оказалось в норме! Мы имеем ИМК-5.
На рисунках c) и d) я привел еще два варианта ИМК-5, но уже с иными ходами и перескоками.

Теперь осталось удостоверится, что метод годится для всех нечетных матриц, за исключением тех, что отмечены в самом начале. Но об этом - в следующей части.

17 декабря 2023 г.