Найти площадь S

Есть много вариаций данной задачи. Для простых случаев она решается чисто геометрически. Однако, интересно решить ее в общем виде, когда сторона квадрата "a" произвольная. 15 декабря сего года мне страшно захотелось найти аналитическое выражение для площади получаемой луночки. Было ясно, что без арктангенсов тут не обойтись. Самый очевидный подход - через интегрирование. Для этого нужно было найти координату пересечения окружностей. Далее - все довольно просто. Выкладки в иллюстрации. Составил прогу расчета нескольких значений. К сожелению целочисленнгых результатов не обнаружил. Таблица следующея:

...a...........S
--------------------
   1     0.2404347884
   2     0.9617391536
   3     2.1639130960
   4     3.8469566156
   5     6.0108697112
   6     8.6556523846
   7    11.7813046344
   8    15.3878264608
   9    19.4752178648
  10    24.0434788449
  11    29.0926094024
  12    34.6226095361
  13    40.6334792473
  14    47.1252185361
  15    54.0978274011
  16    61.5513058434
  17    69.4856538613
  18    77.9008714574
  19    86.7969586306
  20    96.1739153797

Сделал довольно точный чертеж при а = 8 см. Площадь S нашел по клеточкам и получил приближенно S = 16 квадратных сантиметров. Из приведенной таблицы видно, что сильно не ошибся.

19 декабря 2023 г.