Прямоугольный треугольник с периметром Р. Ч 1

Марк Иванович Сканави в 1969 году всему нашему факультету продиктовал задачу на дом, условие которой помещено в иллюстрации. Сказал при этом, что за много лет ни один студент МИСИ ее не одолел. Я же справился только частично. То есть нашел подбором два или три варианта. Хотя по условию задачи необходимо было выявить все стороны треугольника при которых периметры и площади оказались бы целочисленными. Такое удалось сделать, когда освоил программирование. Правда, основные формулы пришлось выводить вручную. В иллюстрации показана основная система трех уравнений и важное ограничение. Удивило то, что гипотенуза "с" вычисляется по совсем компактной формуле. Показаны и общие решения для целочисленных "S", найденные по программе:

dim s(100),a(100),b(100),c(100)
p=15
smax=p^2/4*(3-sqrt(8))
print "P = ";
print p;
print "   S_max = ";
print smax
print
print "  s     a        b      c"
print "---------------------------"
s=int(smax)
for i=1 to s
s(i)=s-i+1
r=sqrt(16*s(i)^2/p^2+p^2-24*s(i))
a(i)=1/4*r+s(i)/p+p/4
b(i)=8*p*s(i)/(p*r+p^2+4*s(i))
c(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2)
print s(i) using "###",a(i) using "###.###";
print b(i) using "###.###",c(i) using "###.###"
next i 

Был задан перимет треугольника P=15 см. В результате получена таблица с девятью вариантами. Длины сторон вычислял с точностью до трех знаков после запятой. Максимальная целочисленная площадь - это целая часть от smax=p^2/4*(3-sqrt(8)), которая в нашем случае равна девяти. достаточно было рассмотреть все площади прямоугольного треугольника от 1 до 9. Задача решена полностью.

25 декабря 2023 г.