Полином четвертой степени

Ко мне обратилась студентка первого курса с интересной фамилией Зуёнок. Она не знает, как решать полином (1), что в иллюстрации, в фиолетовой рамке. При этом добавила следующее: "Я видела, что такие вещи Вы легко решаете путем построения графика с последующими итерационными действиями. Мне же нужен чисто аналитический подход."
Самое простое тут - раскрыть скобки и, пользуясь формулой бинома Ньютона, привести уравнение к виду (2). Затем рассмотреть свободный член 456 и найти все его простые делители. Это показано в (3). По известной теореме, если возможны целочисленные корни, то они непременно включают в себе числа либо 19, либо 2, 4, 8, 3, 6 . То есть нужно перебрать различные варианты, показанные в (4). (подстановка числа 19 показывает, что это не корень уравнения). Из (5) видно, что если подставить в (2) x=2 , то получим не ноль, а 40. Если подставим x=12, то получим 2640. А, вот при x=4 будем иметь ноль. И при x=6 тоже получим ноль. Два корня найдены! И этого нам вполне достаточно, чтобы найти остальные два корня. В (6) показано, как сформировать квадратный трехчлен, имеющий корни 4 и 6. Второй квадратный трехчлен выявим путем деления  (2) на (6). Результат показан в (7). Корни последнего, то есть (8), найдет даже семиклассник. Поэтому можем в (9) записать все четыре корня. Задача полностью решена!

9 января 2024 г.