Группа Лоренца
Между группами Ли небольших размерностей имеются очень интересные изоморфизмы. Часто это не совсем изоморфизмы: локально они изоморфизмы, но у них часто есть конечное ядро и/или коядро (обычно состоящие из 2 элементов). Так группа Лоренца локально изоморфна группе Sl(2,C) - группа автоморфизмов 2-мерного комплексного векторного пространства, сохраняющих некоторую фиксированную косую билинейную форму.
Давайте посмотрим, как лучше всего увидеть этот локальный изоморфизм.
Тензорный квадрат любого векторного пространства естественно распадается в сумму симметрического и внешнего квадрата.
2-мерное комплексное векторное пространство можно рассматривать как 4-мерное вещественное, в котором действует линейный оператор, квадрат которого равен -1.
Этот оператор можно продолжить на тензорную алгебру. На самом деле его можно продолжить двумя различными естественными способами: можно продолжить до автоморфизма тензорной алгебры, а можно - до дифференцирования. Выберем первый вариант (хотя кажется можно бы и второй).
Тогда внешний и симметрический квадрат 4-мерного вещественного векторного пространства естественно распадутся в прямую сумму собственных подпространств этого оператора.
Симметрический квадрат (он 10-мерен) распадется в сумму 6-мерного пространства, отвечающего собственному значению -1 нашего оператора, и 4-мерного, отвечающего собственному значению 1. А внешний (он 6-мерен) - в сумму 2-мерного, отвечающего собственному значению -1, и 4-мерного, отвечающего собственному значению 1.
Легко показать, что 6-мерное и 2-мерное канонически изоморфны симметрическому и внешнему квадрату нашего векторного пространства, рассматриваемого как комплексное 2-мерное пространство. а 4-мерные оказываются канонически изоморфны друг другу, это эрмитов и косоэрмитов квадраты 2-мерного комплексного пространства.
На внешнем квадрате 4-мерного векторного пространства есть каноническая квадратичная форма со значением в 4-й его внешней степени. Но если была зафиксирована некоторая косая билинейная форма, то 4-я внешняя степень отождествляется с основным полем (в нашем случае - полем вещественных чисел R), потому что в ней возникает канонический базис, состоящий из внешнего квадрата этой косой билинейной формы.
Мы предполагали, что на нашем 2-мерном комплексном векторном пространстве фиксирована косая билинейная форма (ведь мы изучаем группу Sl(2,C)); вещественная часть этой билинейной формы будет косой билинейной формой на нем как на 4-мерном вещественном пространстве.
Таким образом мы получили на косоэрмитовом квадрате нашего 2-мерного комплексного пространства естественную квадратичную форму. Группа Sl(2,C) ее сохраняет (это и означает слово "естественная"). Остается убедиться, что сигнатура этой квадратичной формы - 3,1. Это следует из того, что естественная квадратичная форма на внешнем квадрате 4-мерного пространства всегда имеет сигнатуру 3,3, и нужно только удостовериться, что в нашем случае ее сужение на внешний квадрат нашего пространства как комплексного 2-мерного имеет сигнатуру 2,0.
Другими словами мы получили гомоморфизм группы Sl(2,C) в группу O(3,1,R). Легко видеть, что ядро этого гомоморфизма состоит из двух элементов - +-1. Обе группы 6-мерны, так что этот гомоморфизм сюръективен на связную компоненту группы Лоренца, а именно на SO(3,1,R).
Группа Sl(2) действует на проективной прямой дробно-линейными преобразованиями (это для любого основного поля). Это действие опять же, очевидно, имеет ядро +-1.
Действие это замечательно тем, что оно трижды транзитивно: для любых двух троек различных точек проективной прямой найдется дробно-линейное преобразование, переводящее одну в другую. Для четверок точек это уже не так: у них есть инвариант - сложное отношение.
В случае поля комплексных чисел C проективная прямая - это сфера Римана. Дробно-линейные преобразования ее сохраняют углы между гладкими кривыми, т.е. являются конформными преобразованиями. И любой конформный автоморфизм сферы Римана, сохраняющий ориентацию, является дробно-линейным преобразованием (это легко доказывается в т.ф.к.п.). Любой конформный автоморфизм сферы Римана, не сохраняющий ориентацию, есть композиция автоморфизма, сохраняющего ориентацию, и комплексного сопряжения. Замечательно, что все конформные автоморфизмы сферы Римана переводят окружности в окружности (это вроде не следует ни из каких общих соображений, но легко проверяется вычислением).
Что группа Лоренца O(3,1,R) изоморфна группе конформных преобразований сферы, доказывается предъявлением действия O(3,1,R) на сфере: эта группа естественно действует на множестве изотропных прямых в пространстве Минковского (изотропных, т.е. таких, сужение на которые квадратичной формы тождественно равно 0); а множество изотропных прямых как раз представляет собой 2-мерную сферу.
Посмотрим повнимательнее, как устроена группа дробно-линейных преобразований PSl(2)=PGl(2) - факторгруппа группы Sl(2) или Gl(2) по центру (т.е. по скалярным операторам).
Дробно-линейные преобразования бывают двух сортов - полупростые и унипотентные; первые имеют ровно две неподвижные точки, вторые - ровно одну; соответствующие линейные операторы в 2-мерном векторном пространстве имеют первые два различных собственных вектора с различными собственными значениями, вторые - единственный собственный вектор с собственным значением 1. Если основное поле не алгебраически замкнуто, то полупростые операторы подразделяются еще на два сорта - имеющие собственные значения из основного поля, и имеющие собственные значения вне его; в последнем случае неподвижных точек у них нет; но наше-то поле C алгебраически замкнуто.
Унипотентные преобразования все одинаковые - они переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами группы PSl(2). Полупростые не таковы.
Среди полупростых дробно-линейных преобразований можно выделить подкласс преобразований, квадрат которых равен 1. Они задаются матрицами, квадрат которых равен -1. Все они переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами группы дробно-линейных преобразований. И полностью определяются своими неподвижными точками.
Для любого полупростого дробно-линейного преобразования, квадрат которого не равен 1, множество коммутирующих с ним дробно-линейных преобразований представляет собой группу изоморфную мультипликативной группе основного поля (если оно алгебраически замкнуто, как у нас). Она состоит из дробно-линейных преобразований, имеющих те же неподвижные точки. В этой группе, очевидно, есть ровно одно преобразование, квадрат которого равен 1.
А вот у дробно-линейного преобразования с квадратом 1 коммутирующих с ним преобразований больше: это не только преобразования, сохраняющие его неподвижные точки, но и преобразования, меняющие их местами.
Неподвижные точки двух коммутирующих преобразований с квадратом 1, имеют сложное отношение -1.
Множество дробно-линейных преобразований, коммутирующих с унипотентным дробно-линейным преобразованием, представляет собой группу изоморфную аддитивной группе основного поля.
Еще можно отметить, что множество неупорядоченных пар точек проективной прямой (т.е. симметрический квадрат проективной прямой) изоморфно проективной плоскости. Поскольку дробно-линейные преобразования с квадратом 1 задаются неупорядоченными парами точек, то и множество таких преобразований можно отождествить с проективной плоскостью; но не со всей, потому что мы должны выкинуть из нее то, что соответствует парам одинаковых точек; так что останется вероятно аффинная плоскость.
Свидетельство о публикации №224013101039