Стохастические числа

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Началась эта история лет сорок назад, когда я написал статью под странным названием "Программирование на… Каббале". К компьютерному программированию она имела отдаленное отношение, [1] хотя и претендовала на это. Более того, сейчас я и вовсе затрудняюсь сказать, о чем была эта статья, настолько путано я излагал свои мысли. В частности, я постоянно путал понятие числа и формы его записи. Но было в этой статье несколько идей, одна из которых, в конце концов, и привела к настоящей статье. Суть  ее состоит во введении таких чисел, которые, с одной стороны, можно развертывать в обычные числа, а с другой стороны, в обычные понятия нашей речи. [2]

[1. Использование компьютерных вирусов в качестве защиты компьютерной информации].
[2. В конце данной статьи я объясню, как реализуется эта цель].

Ту самую первую статью я опубликовал в Интернете, [3] и она не осталась незамеченной. Нашлись добрые люди, которые не только объяснили мне разницу между числом и формой его записи, но и попробовали разобраться, что же такое я хотел в этой статье сказать. Чисто из спортивного интереса. Именно они посоветовали познакомиться с нестандартным анализом Робинсона и порекомендовали книгу Успенского "Что такое нестандартный анализ?". Действительно, когда я начал ее читать, то сразу понял, что это именно то, что мне было нужно, чтобы сделать мою статью вразумительной.

[3. На narod.ru. Сейчас его уже нет – как моего сайта, так и самого портала].

Однако в такой форме нестандартный анализ Робинсона не устроил меня по многим причинам. Прежде всего, меня не устроило определение бесконечно малых чисел, утверждающее, что любая конечная сумма положительных бесконечно малых чисел, не равных нулю, будет меньше единицы:

e1 + e2 + e3 + … en < 1 (e – бесконечно малое число).

Ясно, что это определение обратно аксиоме Архимеда, согласно которой всегда можно найти такое конечное количество даже крайне малых положительных действительных чисел, чтобы их сумма была больше единицы. [4] Для действительных чисел эта аксиома и в самом деле справедлива. Но какое отношение действительная единица имеет к бесконечно малым числам? Почему они не должны превышать именно ее, а не любые действительные числа, прежде всего те, которые намного меньше единицы? К примеру, если разделить обе части указанного неравенства на любое действительное число, большее единицы, то оно должно сохранять свою силу:

e1/d + e2/d + e3/d + … en/d < 1/d (d – действительное число).

[4. Это не точная формулировка аксиомы Архимеда, а адаптированная к моим рассуждениям].

А поскольку d может быть сколь угодно большим, то это означает, что любая конечная сумма положительных бесконечно малых чисел, не равных нулю, должна быть меньше любого наперед заданного положительного действительного сколь угодно малого числа. Согласно Успенскому, e/d тоже является бесконечно малым числом, а значит следующее их определение также правомерно:

e1 + e2 + e3 + … en < 1/d (d -> оо, 1/d -> 0) и e1 + e2 + e3 + … en < 0.

Это означает, что бесконечно малые числа либо отрицательные, либо их множество имеет на порядок меньшие масштабы, вроде неопределенности oo-0. Успенский объясняет это так: бесконечно малые числа "окружают" каждое действительное число, образуют гипердействительное число, [5] отличающееся от своей действительной части на бесконечно малую величину. [6] Казалось бы, это решает проблему, но здесь возникает другая проблема. Рассмотрим выражение:

e/e = 1.

[5. Так называемую монаду (в память о Лейбнице – основателе бесконечно малых величин)].
[6. Поначалу я думал, что положительные бесконечно малые числа располагаются между нулем и первым положительным действительным числом, а потом понял, что это всего лишь бесконечно малые величины].

Согласно Успенскому, единица в данном равенстве – это действительная единица. Но если вся монада этих чисел не может "оторваться" от одного данного действительного числа, то как эта операция может выводить на единицу действительных чисел? Она может выводить только на единицу монады данного действительного числа, т.е. на единицу всех бесконечно малых чисел данной монады. [7]

[7. Такая единица является множителем, а не результатом, а значит не может входить в другие формулы].

Очень хорошо "натянутость" этого свойства бесконечно малых чисел видна на примере выражения e^n-1:

если n = 0, то e^n-1 = e^-1 = 1/e;
если n = 1, то e^n-1 = e^0 = 1;
если n = 2, то e^n-1 = e^1 = e;
если n = 3, то e^n-1 = e^2.

Для степеней не важно, какими числами они представлены – действительными натуральными или бесконечно малыми натуральными, поскольку эти степени представляют операции, которые одинаково действуют в рамках данного множества действительных чисел, а также в рамках монад бесконечно малых чисел этого множества. Но между рамками эти операции уже вызывают вопросы. К примеру, какая единица фигурирует в равенстве e^0 = 1 – единица действительных чисел, или собственная единица бесконечно малых чисел? Если это действительная единица, то данное равенство противоречит определению бесконечно малых чисел, утверждающему, что любая их конечная сумма [8] должна быть меньше действительной единицы: e^0 < 1, что, в свою очередь, противоречит правилам возведения в степень. Поэтому либо мы наделяем множество бесконечно малых чисел свойствами упорядоченного поля, и тогда признаем, что в выражениях e^0 = 1, e^-1 = 1/e; e/e = 1; e – e = 0 фигурируют собственные единицы и нули бесконечно малых чисел, не совпадающие с действительной единицей и нулем, либо такие бесконечно малые числа противоречивы.

[8. А значит и возведение в степень, поскольку степень – это частный случай умножения (одинаковых множителей), а умножение – частный случай сложения (одинаковые слагаемых)].

Для устранения этих разногласий я решил пойти по пути построения наглядных моделей бесконечно малых чисел. Так мне казалось проще, поскольку их уже построено много. К примеру, Джордано Бруно в своем трактате "О трех минимумах" вводил понятие так называемых терминусов, которые, с одной стороны, сами по себе не обладают протяженностью, а с другой стороны, обладают тем свойством, что разделяемые ими элементы не сливаются. Очень похоже на бесконечно малые числа, правда? Нужно лишь построить соответствующую модель. Для этого рассмотрим график функции у = 1/x (см. рис. 1).

Ограничимся рассмотрением возрастающих положительных значений функции. В стандартном анализе считается, что восходящая ветвь графика бесконечно близко подходит к оси ординат, но не сливается с ней. При этом, как бы далеко не продвигаться в область бесконечных действительных значений функции, линию графика будут отделять от оси ординат чрезвычайно малые расстояния, измеряемые чрезвычайно малыми действительными значениями аргумента. Нечто подобное происходит в апории Зенона "Ахиллес и черепаха", где быстроногий Ахиллес не может догнать черепаху, поскольку  их всегда разделяет половина оставшегося расстояния, не "сливающаяся" с черепахой при любом количестве "прыжков" Ахиллеса. Точно также в графике функции у = 1/x линия графика не может слиться с осью ординат, поскольку обычный процесс измерения не позволяет измерить бесконечные большие и бесконечно малые расстояния.
 
На самом деле эта апория является софизмом, поскольку догнать черепаху можно только тогда, когда стремишься к ней, а не к половине оставшегося расстояния. Это нарушает логику рассуждений Зенона, но зато позволяет достигнуть заявленной цели – догнать черепаху. Деление оставшегося расстояния на половинки не имеет никакого отношения к этой цели. Точно также на графике функции у = 1/x можно не обращать внимания на запрет достижения бесконечности, диктуемый опытом практических измерений, и просто совершить неметричный скачок на бесконечную "точку" оси ординат.

Как и в решении апории, нарушающем логику рассуждений Зенона, здесь нарушаются правила стандартного анализа, который не интересуется поведением функций "за точкой" бесконечности. Без дополнительных предположений, выходящих за рамки этого анализа, о свойствах таких скачков трудно что-либо сказать. Максимум, что допускает этот анализ, – сравнение разных бесконечностей. [9] Чтобы узаконить эти нововведения, их нужно сначала обосновать.

[9. Точнее, сравнение мощностей разных бесконечных множеств].

На этом этапе я застопорился, поскольку не мог найти такие функции, в которых мои нововведения наглядно раскрывают свой смысл. Мне было понятно, что основой этих функций должен быть предельный переход, занимающий важное место в стандартном анализе. [10] Но пределы элементарных функций ничего мне не давали, поскольку никак не касались моих нововведений. Нужны были дополнительные свойства этих функций или другие функции, в которых новые свойства предельного перехода раскрывались бы автоматически. Я уже знал, что такими функциями являются операции интегрирования и дифференцирования, основой которых является именно предельный переход. Но сколько я не штудировал учебники по интегральному и дифференциальному исчислению, так и не обнаружил в них "следы" моих нововведений.

[10. Понятно потому, что еще до написания "Программирования на… Каббале" мной была написана "Трансцендентная геометрия", в которой я рассматривал свойства предельного перехода].

Поэтому я решил подойти к этой проблеме с другой стороны. Не буду описывать все этапы этого поиска [11] и сразу перейду к тем функциям, которые, в конце концов, вывели меня на нужные свойства операции предельного перехода. Рассмотрим функцию следующего вида:

f(x) = x + c (если x больше и равно 0)
       x – с (если x < 0).

[11. Не говоря уже об отклонениях от него].

Ее график имеет следующий вид (см. рис 2):
 
В точке x = 0 функция f(x) испытывает разрыв. При этом точка f(0) принадлежит области определения функции у = x + c и не принадлежит области определения функции у = x – c (или наоборот). Такие функции называются функциями, задаваемыми разными формулами на разных областях определения. Их очень много, и данная функция – не самая интересная из них. Некоторые из таких (более интересных) функций я приведу позже, [12] а пока рассмотрим функцию, "немного" отличающуюся от предыдущей:

 f(x) = x + c (если x больше и равно 0)
        x – с (если x меньше и равно 0).

[12. Когда буду иметь "все козыри на руках"].

Заметили разницу? Правильно, от предыдущей функции эта отличается тем, что область определения функции в точке x = 0 содержит обе предельные точки, а значит и все другие точки отрезка [с, –с]. Ясно, что данное условие нарушает правила стандартного анализа, в котором специально оговаривается, что такие функции не могут иметь в точке x = 0 два разных предела. Если она в этой точке претерпевает разрыв, то это означает только то,  что либо обе предельные точки не принадлежат области определения функции, либо ее ордината совпадает с ординатой только одного из пределов. Возникает вопрос, а нельзя ли каким-нибудь образом обойти это условие?

Прежде всего хочу отметить, что нарушение данного условия можно рассматривать как восстановление непрерывности этой функции в точке x = 0 за счет того, что ордината функции в этой точке становится неопределенной. А именно, с линии графика этой функции в отрезке [с, –с] невозможно опустить перпендикуляр на ось ординат так, чтобы попасть в какую-то определенную точку этого отрезка. Им (перпендикуляром) можно попасть в любую точку данного отрезка. Более того, нельзя даже сказать, что данный перпендикуляр является перпендикуляром, поскольку положение его начала также неопределенно, как и положение его конца, в силу неопределенности функционального закона, определяющего положение отрезка [с, –с].

Такие взаимоотношения между осями координат графика функции, на мой взгляд, являются вполне естественными при заданных условиях. С одной стороны, они  сохраняют прежнюю структуру осей координат, [13] а с другой стороны, они вводят новые числа, сохраняющие непрерывность этой функции в точке x = 0 совершенно иным способом, нежели известные числа. [14] Я назвал их стохастическими числами, [15] а предельный переход в эти числа из действительных чисел – запредельным переходом. Наличие двух пределов в этой функции объясняются тем, что стохастические числа не упорядочены; они не могут образовывать координаты, поэтому "размазываются" по всем точкам отрезка [с, –с]. И наоборот, в стандартном анализе этот предел должен быть один потому, что в нем не предполагается возникновение новых чисел. Он либо скрывается в бесконечности, либо обрывает кривую функции, не предполагая ее продолжения. [16]

[13. Что важно для сохранения связи со стандартным анализом].
[14. Я имею в виду то, что расширение множества натуральных чисел до множества рациональных чисел и далее до множества действительных чисел можно рассматривать как восстановление непрерывности соответствующих функций. Мои числа заполняют отрезки разрывных функций и определяют новые свойства предельного перехода].
[15. То есть случайные, хаотические, поскольку величина их становится неопределенной при разупорядочении их на оси ординат в отрезке [с, –с]].
[16. То есть моя модель бесконечно малых чисел не противоречит стандартному анализу, поскольку вводит новую форму предельного перехода и корректно связывает эти числа с действительными числами].

А теперь попробуем установить свойства новых чисел. Для начала напомню свойства упорядоченного поля, выполняемые во множестве действительных чисел:

(1)  d1 + d2 = d2 + d1                (ассоциативность);
(2)  d1 + (d2 + d3) = (d1 + d2) + d3              (транзитивность);
(3)  d1 + 0 = d1                (сложение с нулем);
(4)  d1 + (–d1)= 0                (взятие обратного);
(5)  d1 * d2 = d2 * d1                (ассоциативность);
(6)  d1 * (d2 * d3) = (d1 * d2) * d3              (транзитивность);
(7)  d1 * 1 = d1                (умножение на единицу);
(8)  d1 * (1/d1)= 1                (взятие обратного);
(9)  d1 * (d2 + d3) = (d1 * d2) + (d1 * d3)       (дистрибутивность);
(10) если d1 > d2, d2 > d3, то d1 > d3            (порядок);
(11) если d1 > d2, то d1 + d3 > d2 + d3           (порядок);
(12) если d1 > d2, d3 > 0, то d1 * d3 > d2 * d3   (порядок);
     если d1 > d2, d3 < 0, то d1 * d3 < d2 * d3   (порядок), (* - умножение).

Прежде всего хочу сказать, что стохастические числа невозможно отличить друг от друга, если они не связаны с упорядоченными действительными числами, поэтому:

s больше и меньше s (s – стохастическое число).

Для того чтобы связать их с действительными числами, нужны, во-первых, бесконечное множество стохастических чисел, во-вторых, большие кардиналы [17] множества бесконечно малых чисел, а в-третьих, – ноль множества действительных чисел с бесконечным количеством делителей. Если эти кардиналы составляют ноль, то открывают вход в свое множество. При этом действительный ноль, выходя из области стохастических  чисел, "растекается" в больших кардиналах на все множество бесконечно малых чисел. Дальше свойства этих чисел можно не рассматривать, поскольку они, в конечном счете, сводятся к свойствам действительных чисел. В стандартном анализе предельный переход останавливается на границе стохастических чисел, не связанных с действительными числами.

[17. В теории множеств кардиналами называется мощности множеств. Кроме кардиналов, в теории множеств существуют ординалы, т.е. порядковые числа. Ординалом является ноль. Каждое натуральное число (включая единицу) является ординалом. Каждый элемент ординала также является ординалом. Первый недостижимый ординал w, не являющийся натуральным числом, является кардиналом. Каждый кардинал является ординалом, и каждый ординал, являющийся мощностью данного множества, является кардиналом].

А теперь начинается самое интересное. Ясно, что взаимоотношения таких бесконечно малых чисел с действительными числами описываются неопределенностью oo-0. О самих бесконечно малых числах нам известно только то, что их множество бесконечно и не упорядочено, как и стохастические числа. Каким образом оно упорядочено, мы узнаем, когда сами задаем на нем определенный порядок и начинаем оперировать с этими числами определенным образом. До такого оперирования величина этих чисел и их порядок не определены. Отсюда естественным образом следуют их взаимоотношения с действительными числами:

da + db + dc + … + X + … примерно sa + sb + sc + … примерно 0d + d1 + d2 + …

Здесь da, db, dc – действительные числа множества "бесконечно малых чисел"; X – большой кардинал множества "бесконечно малых чисел"; sa, sb, sc – множество стохастических чисел; 0d – ноль нашего множества действительных чисел. Наличие индексов у стохастических чисел означает, что путь в множество бесконечно малых чисел открыт.

Но и это еще не все, поскольку, помимо бесконечно малых чисел, нестандартный анализ содержит также бесконечно большие числа. Определение бесконечно больших чисел привожу сразу с учетом моих поправок:

d1 + d2 + d3+ … < Е.

Звучит оно так: нестандартное число Е называется бесконечно большим, если оно больше любой суммы положительных действительных чисел. Оно ничем не отличается  от моего определения бесконечно малых чисел, с той лишь разницей, что на месте бесконечно малых чисел стоят действительные числа, а на месте действительного числа – бесконечно большое число. Это означает, что взаимоотношения действительных чисел с бесконечно большими числами описываются той же неопределенностью oo-0. О свойствах бесконечно больших чисел мы можем судить по аналогичным взаимоотношениям бесконечно малых чисел с действительными числами. В стохастическом состоянии величина и порядок бесконечно больших чисел для нас также не определены, как величина и порядок бесконечно малых чисел. Но большие кардиналы бесконечно малых чисел показывают, что запредельный переход из множество бесконечно больших чисел в множество действительных чисел должен начинаться с переходом нуля бесконечно больших чисел с бесконечным количеством делителей в область стохастических чисел и заканчиваться "растеканием" его в больших кардиналах по всему множеству действительных чисел. Причем не обобщенного, а конкретного нуля, поскольку в данном случае одно число противопоставляется бесконечному множеству чисел. [18] Поэтому предыдущее определение бесконечно больших чисел можно заменить следующим:

d1 + d2 + d3+ … + X + … примерно sа + sb + sс + … примерно 0oo.

[18. Собственно говоря, это и есть смысл бесконечно больших чисел – в запредельном переходе ноль этих чисел становится равноправным с большими кардиналами действительных чисел. То же самое происходит в запредельном переходе из множества действительных чисел в множество бесконечно малых чисел].

Здесь X – большой кардинал нашего множества действительных чисел; sа, sb, sс – множество стохастических чисел; а 0oo – ноль бесконечно больших чисел.

А теперь представим, что множества бесконечно малых и бесконечно больших чисел – это на самом деле одно множество. Различие между ними является следствием бесконечности нашего множества действительных чисел и упорядоченности их по величине. Пока мы не фиксируем одновременно ноль и бесконечность действительных чисел, в каждом из этих множеств – бесконечно малых и бесконечно больших чисел – можно задавать определенный порядок и определенную величину чисел. А одновременно действительный ноль и действительную бесконечность мы фиксируем именно тогда, когда одновременно пытаемся задать определенный порядок и определенную величину чисел в едином множестве бесконечно малых и бесконечно больших чисел. Как только  мы это делаем, данные множества становятся неупорядоченными, а их числа – не сравнимыми по величине. При этом их взаимоотношения с действительными   числами принимают вид:

s < d1 + d2 + d3+ … + X + … < s.

То есть все действительные числа одновременно больше и меньше одного и того же стохастического числа. Это означает, что ни бесконечно малые, ни бесконечно большие числа не являются таковыми. Они являются единым множествам действительных чисел, связанным с нашим множеством стохастическими числами.

Обратите внимание: запредельный переход из множества бесконечно больших чисел в множество действительных чисел я списал с перехода из множества действительных чисел в множество бесконечно малых чисел, хотя должен был показать переход из множества действительных чисел в множество бесконечно больших чисел. [19] Объясняется это тем, что в последнем переходе я бы не смог показать, где в нем должны находиться стохастические числа. [20]  Большие кардиналы только фиксируют границу, на которой останавливается счет чисел, а для того чтобы указать, где в этом переходе находятся стохастические числа, нужно рассмотреть три вопроса.

[19. Чтобы не повторяться].
[20. Могу только сказать, что они там есть].

Первый вопрос – почему именно большие кардиналы в запредельных переходах поддерживают нули множеств действительных и бесконечно больших (малых) чисел? Ответ – потому, что они завершают упорядочение данных множеств, а именно, счет их чисел. Последний, наиболее мощный кардинал, – это предел счета, [21] но не самой бесконечности. Можно, конечно, построить и новый, более мощный кардинал, но это только отодвинет предел подальше, а значит не решит проблему. [22] Мое решение состоит в том, что стохастические числа не принадлежат полностью этим множествам и в запредельных переходах управляют масштабами шкал обоих числовых множеств. [23] Непроходимость области этих чисел возникает только в предельных переходах.

[21. Более того, это еще и предел счета, стремящегося к нулю (т.е. последовательно уменьшающегося значения этих чисел)! По идее, такой счет должен иметь свои большие кардиналы. Но в предельном переходе они не нужны, поскольку такой ноль не имеет делителей. Сегодня их заменяют бесконечно малые величины].
[22. Как световой барьер нашей Вселенной в специальной теории относительности, за которым можно гнаться сколько угодно, но никода не догнать!]
[23. Именно разница в масштабах числовых множеств приводит к неупорядоченности стохастических чисел].

Второй вопрос – как я себе представляю ноль действительных чисел с бесконечным количеством делителей? [24] Начну с определения условий запредельного перехода в  другие числовые множества. Чтобы такой переход был проходимым, он должен быть двусторонним и неразорванным на пределе. Если он односторонний, [25] то переход непроходим. [26] Если он двухсторонний, но разорван на пределе, [27] то тоже непроходим. Но если он двухсторонний и не разорван на пределе, то, в принципе, он может стать запредельным. Простейшая функция, которая представляет такой переход, называется дельта-функцией Дирака. Ее определение выглядит так:

дельта(x) = 0 (если x < 0 и x > 0)
                oo (если x = 0),

а ее интеграл = 1. Он вычисляется с помощью функций, приближающих дельта-функцию, например такой, как на рис. 3.

[24. Это также и вопрос, как он проходит через область стохастических чисел].
[25. То есть кривая функции одна и монотонна].
[26. Из-за тех же больших кардиналов, но это косвенная причина, поскольку непроходима сама бесконечность. Точнее, не догоняема].
[27. Как та же функция 1/x – см. рис. 1].
 
Вычислим площадь фигуры ADBC по обычному правилу. Условимся, что эта площадь равна единице. А теперь будем устремлять отрезок [A, B] к нулю, а отрезок [C, D] – к бесконечности таким образом, чтобы площадь фигуры ADBC оставалась неизменной.

Дельта-функция является основой теории обобщенных функций.

Так вот, ноль действительных чисел, отправляемый мною в запредельный переход, – это ноль дельта-функции, а делители данного нуля – единицы дельта-функции, занимающие ее площадь. [29] Только в таком составе и в такой форме [30] ноль действительных чисел может пройти область стохастических чисел на бесконечности. При этом последние приспосабливают масштабы действительного нуля к масштабам множества бесконечно малых чисел, сохраняя его топологическую структуру. Только после этой процедуры дельта-функция может разорвать предельную точку и позволить нулю влиться в новое множество действительных чисел.

[29. Фактически, в этот переход я отправляю все множество действительных чисел, поскольку из нуля, единицы и соответствующих операций можно восстановить все бывшее множество действительных чисел, если на новом месте не окажется ожидаемого множества].
[30. Двухсторонней и неразорванной на пределе].

Третий вопрос – как стохастические числа располагаются на числовой прямой по отношению к действительным числам? Начну издалека. Известно, что действительные числа состоят из натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Все эти числа были получены в обратных операциях [31] в том порядке, в каком я их назвал. Натуральные числа [32] возникли тогда, когда была открыта операция сложения, целые числа [33] – когда была открыта операция вычитания, рациональные числа – когда была открыта операция деления, а иррациональные числа – когда была открыта операция извлечения корня. Прямые операции было проще открыть, поскольку, как я уже говорил в 8-й сноске, операция возведения в степень – это частный случай операции умножения (одинаковых множителей), а  операция умножения – частный случай операции сложения (одинаковые слагаемых).

[31. За исключением операции сложения].
[32. То есть целые положительные].
[33. То есть целые положительные и отрицательные числа].

Существует еще одна обратная операция – логарифм, – но сегодня считается, что она не вносит никаких новых чисел в множество действительных чисел. Я хочу опровергнуть это мнение, но сначала напомню свойства простых чисел. Как вы уже знаете, простое число – это такое натуральное число, которое делится только на себя и единицу. Все остальные натуральные числа являются составными, т.е. делятся не только себя и единицу, но и на другие множители. В теории чисел доказано, что все составные натуральные числа, кроме единицы, можно разложить на простые множители. [34] Или, что равносильно, представить их в виде произведения простых чисел. Любое четное натуральное число, кроме двойки, можно представить в виде суммы двух простых чисел. [35] До сих пор не известно, может ли эта сумма состоять из трех, четырех и т.д. чисел. [36] Известно только то, что все эти произведения и эта сумма продолжаются в бесконечность множества натуральных чисел. Все простые числа непременно нечетные, кроме двойки. [37]

[34. Это свойство простых чисел называется основной теоремой арифметики].
[35. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, … 48 = 29 + 19, … 100 = 97 + 19, …]
[36. В 1931 году Шнирельман доказал, что всякое составное натуральное число можно представить в виде суммы не более 800000 простых чисел, но этот результат посчитали несерьезным].
[37. Иначе она делилась бы на два].

В связи с такими (необъяснимыми) свойствами простых чисел были сделаны попытки найти их распределение в ряде натуральных чисел. Эти попытки предпринимались еще в древней Греции, а наиболее известным из них является решето Эратосфена. Оно позволяет выловить все простые числа в ряду натуральных чисел от 2 до N. Для этого нужно только получить этот ряд и последовательно вычеркивать все числа, кратные 2-м; [38] все числа, кратные 3-м; [39] и т.д. Благодаря этой процедуре были получены надежные таблицы всех простых чисел примерно до N = 10000000, но объяснение свойств этих чисел так и не было получено. С другой стороны, были сделаны попытки получить формулы, если не всех, то хотя бы некоторых простых чисел. Так, например, Ферма предположил, что все числа вида F(n) = 2^2^n + 1 являются простыми:

F(1) = 2^2 + 1 = 5,
F(2) = 2^2^2 + 1 = 24 + 1 = 17,
F(3) = 2^2^3 + 1 = 28 + 1 = 257,
F(4) = 2^2^4 + 1 = 216 + 1 = 65537.

[38. Не считая самой 2-ки].
[39. Не считая самой 3-ки].

Но в 1732 году Эйлер разложил на множители число 2^2^5 + 1 = 641·6700417, а позднее среди "чисел Ферма" обнаружили и другие составные числа. Сегодня неизвестно даже то, дает ли такая формула бесконечное множество чисел? [40]

[40. А мне в этих формулах больше всего не понравились большие промежутки между "числами Ферма" (увеличивающиеся с увеличением степени), выбрасывающие из них бoльшую часть простых чисел].

После этих неудач исследователи простых чисел обратились в противоположную сторону – от их упорядочения в ряду натуральных чисел к их вероятностному распределению в этом ряду. Обозначим Аn количество простых чисел в ряду натуральных чисел длиной n. Разобьем этот ряд на десятки и превратим его в степенной ряд, увеличивающий степень через каждую десятку: n = 10, 10^2, 10^3, 10^4, … 10^n, … Ясно, что количество простых чисел в этих десятках должно возрастать на порядки. При этом плотность распределения  простых чисел в ряду натуральных чисел может даваться тремя отношениями:

 n    Аn/n    1/logеn      (Аn/n):(1/logеn)
10^3  0,168        0,145        1,159
10^6  0,078498     0,072382     1,084
10^9  0,050847478  0,048254942  1,053

Первая плотность не годится для правдоподобного распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. Но Гаусс заметил, что отношение Аn/n приблизительно равно 1/logеn и что точность этого приближения улучшается при возрастании n, поскольку отношение (Аn/n):(1/logеn) стремится к единице. Это означает, что во всех (разных) десятках ряда натуральных чисел находится примерно одинаковое количество простых чисел, что подтверждается уменьшением количества простых чисел с увеличением в этом ряду количества натуральных чисел. Но математики говорят, что распределение отдельных простых чисел все равно отличается чрезвычайно "неправильным характером". [41]

 [41. Например, эти числа нередко встречаются в виде р и р + 2 (р – простое число). Таковы 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, …8004119 и 8004121, и т.д. Между первыми двумя парами и третьей парой, а также третьей и четвертой парами нет ни одного простого числа. Между четвертой и пятой парами, а также между пятой и шестой парами стоит по одному простому числу. Между шестой и седьмой парами стоят два простых числа, но между седьмой и восьмой парами снова   стоит только одно простое число. А между восьмой и девятой парами стоят сразу четыре простых числа и т.д. В множестве простых чисел с их ростом эти пары встречаются все реже и реже. Но это понятно, поскольку с ростом натуральных чисел простые числа встречаются все реже и реже. Непонятна лишь математическая природа этих пар].

Так вот, насчет отсутствия новых чисел в логарифмической функции. Если в основание логарифма подставить простое число, [42] то мы получим иррациональное число, которое никто пока не видал. Это не тригонометрическое иррациональное число, возникающее в отношениях сторон треугольников; [43] и не алгебраическое иррациональное число, возникающее в решении алгебраических уравнений; [44] и даже не трансцендентное иррациональное число, которое сегодня ставят выше алгебраических чисел. [45] Иррациональные числа, получаемые на логарифме из простых чисел, – это такие числа, которые делят числа, из которых строят все без исключения действительные числа – натуральные, рациональные и иррациональные. И я утверждаю, что эти числа замыкают процесс построения чисел в множестве действительных чисел, делают его континуумом. [46] Назовем их совершенными числами, в честь древних греков, первыми открывших иррациональные числа. [47]

[42. logpn, р – простое число].
[43. Сводящихся к решениям простейших алгебраических уравнений].
[44. Исходная природа которых также геометрическая, только намного более сложная].
[45. Хотя число "пи", являющееся трансцендентным, возникает в тех же геометрических отношениях, например, между окружностью и ее диаметром. А все потому, что никто еще не построил удачной математической модели иррациональных чисел. Есть только доказательства трансцендентности нескольких чисел].
[46. Причем в этот континуум входит не только множество действительных чисел, но и единое множество бесконечно малых и бесконечно больших чисел! Этого требует запредельный переход].
[47. Они, правда, уже называли их этим именем, когда открывали; но у сегодняшних иррациональных чисел другие имена, а мои числа пока не имеют имени]. 

Что касается стохастических чисел, то это весь чрезвычайно "неправильный характер" простых чисел; а что это означает, я объясню после рассмотрения одной аналогии. Дело в том, что физике существует теория динамических систем, изучающая траектории разных систем в фазовом пространстве. К примеру, если взять систему свободных частиц, то их энергия будет равна нулю, а значит с самого начала все состояния этой системы заданы, поскольку не изменяются при эволюции во времени. Большинство динамических систем являются системами с взаимодействием, но это затрудняет их описание. Чтобы исключить взаимодействие, нужно перейти от обычных уравнений движения к так называемым каноническим уравнениям. [48] Системы, для которых такой переход возможен, называется интегрируемым, а если невозможен, – то неинтегрируемым. Долгое время считалось, что интегрируемы все динамические системы. Но Пуанкаре показал, что это не так, и что в большинстве своем динамические системы не интегрируемы. Причина – возникновение резонансов между степенями свободы систем. Если возникают резонансы, то интегралы расходятся, [49] что означает отсутствие аналитической связи между начальными условиями систем и их траекториями.

[48. Такой переход (он называется каноническим преобразованием) аналогичен переходу от декартовых координат к полярным координатам].
[49. Под резонансами здесь понимается кратность частот (гармоник) периодических движений в системе. Каждая степень свободы системы имеет свою частоту. Влияние резонанса проявляется тогда, когда в систему с исключенным взаимодействием вводится возмущение. При разложении этого возмущения по степеням константы связи эти частоты оказываются в знаменателях членов этого разложения. В случае резонанса между частотами эти знаменатели оказываются нулевыми, а члены разложения – бесконечными, что и соответствует расхождению интегралов].

Для устранения этих трудностей Колмогоров, Арнольд и Мозер специально разработали теорию (теорию КАМ), позволяющую исследовать влияние резонансов на траектории динамических систем. Согласно этой теории, рациональные отношения между частотами (см. 49-ю сноску) соответствуют периодическому движению систем, а иррациональные – квазипериодическому. А поскольку мощность множества рациональных чисел по отношению к мощности множества иррациональных чисел равна нулю, то периодическое движение в фазовом пространстве встречается неизмеримо реже, чем квазипериодическое. Первое называется простым движением, а второе – сложным. В первом имеет место полная интегрируемость, а во втором все значительно сложнее. Так, Ковалевская показала, что хотя квазипериодические системы в большинстве своем не интегрируемы, но в некоторых особых случаях они интегрируемы. Этот результат оказался первым в теории вполне интегрируемых систем [50] и привел к понятию распределенных систем. [51] Это означает, что квазипериодические траектории являются промежуточными между периодическими и стохастическими: они могут стремиться как к периодическому, так и к странному аттрактору. [52]

[50. Включая такие знаменитые уравнения, как уравнение Кортевега-де-Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордон. Эти уравнения описывают солитоны, являющиеся разновидностью диссипативных структур, т.е. сильнонеравновесных процессов в средах, имеющих квазиклассические свойства].
[51. С бесконечным числом степеней свободы].
[52. Странный аттрактор обладает следующими свойствами: он притягивает фазовые траектории из области притяжения в область отталкивания (иначе он не был бы аттрактором), он чувствителен к начальным условиям, и он имеет фрактальную (или, что равносильно, дробную) размерность. Фрактальные   множества в 1975 году открыл Мандельброт].

Распределенные системы, как я понимаю, – это квазипериодические и стохастические системы, тесно связанные друг с другом и зависящие друг от друга. Аналогичные отношения существуют между множеством простых и множеством натуральных чисел. Они, конечно, не динамические, поскольку в упорядоченных множествах нет "движущихся" чисел, но чрезвычайно "неправильный характер" простых чисел можно объяснить только тем, что они демонстрируют застывший хаос. Иначе в математике не было бы никакого порядка. И я уверен, что такие же отношения существуют между моими совершенными числами и иррациональными числами, построенными из рациональных и натуральных чисел. Причем застывший хаос совершенных чисел покруче хаоса простых чисел. Более того, поскольку мои стохастические числа управляют масштабами соседних числовых множеств, то в них этот хаос должен еще более усиливаться.

Вот теперь можно показать, где в запредельном переходе из множества действительных чисел в множество бесконечно больших чисел возникают стохастические числа. Они могут возникать где угодно, например, на моем графике функции, задаваемой разными формулами на разных областях определения. [53] Но на заднем плане за стохастическими числами должны стоять совершенные числа, далее натуральные числа, рациональные и т.д. Причем конечная цель [54] находится не на графике, а на заднем плане стохастических чисел. Все эти числа [55] уже находятся в множестве бесконечно больших чисел, а чтобы войти в него с "нашей стороны", нужно развернуть предельные точки моей функции в дельта-функцию. Точнее, не в нее, а в еще одну разрывную функцию. Простейшим примером такой функции является функция Дирихле:

f/(x) = 1 (если – рациональное число),
           0 (если – иррациональное число).

[53. Точнее, на отрезке [с, –с]].
[54. То есть множество бесконечно больших чисел].
[55. Кроме стохастических чисел].

Простейшим потому, что на моем графике нужно разделять все виды действительных чисел в предельных точках. Это необходимо для того, чтобы нейтрализовать действительную бесконечность и перейти к стохастическим числам.

В связи с этим еще раз можно вспомнить о вполне интегрируемых динамических системах. Дело в том, что в теории множеств есть понятие вполне упорядоченных множеств. Необходимость в нем возникает тогда, когда сравниваются мощности бесконечных множеств. Тогда же возникает необходимость в еще одном понятии – взаимно однозначном соответствии. Последнее предполагает, что сравнение производится последовательным сопоставлением (связыванием в пары) натуральных чисел числам сравниваемого множества. Например, сравнение множеств простых и рациональных чисел с множеством натуральных чисел. Первое множество имеет меньше чисел, чем множество натуральных чисел, а второе – больше. Казалось бы, что мощность первого множества меньше мощности множества натуральных чисел, а мощность второго – больше, но понятие вполне упорядочения множеств утверждает, что это не так. Во-первых, мощность множества и количество чисел совпадают только в конечных множествах, а в бесконечных множествах это уже неважно. В таких множествах важна только эквивалентность видов чисел, но не их равенство. А во-вторых, порядковый счет в бесконечных множествах никогда не заканчивается и уже не важно, что в сравниваемом множестве величина чисел увеличивается быстрее [56] (или медленнее [57]), чем во множестве натуральных чисел.

[56. Как в множестве простых чисел].
[57. Как в множестве рациональных чисел].

Но выше я уже говорил, что этот счет заканчивается на больших кардиналах, которые являются не числами, а порядковыми индексами, вычисленными из свойств натуральных чисел. Это уже не счет, а его имитация, позволяющая представить себе мощность бесконечного множества, не прибегая к реальному счету. [58] Поэтому в сравнении множеств нужно учитывать разность "скорости" изменения величины чисел, прежде всего, ее механизм. [59] А поскольку в математике такие вещи принято описывать отношениями, то остается только один вариант этого механизма: несколько чисел множества с бoльшим количеством чисел должны получать свои порядковые номера на одном числе множества с меньшим количеством чисел. Ясно, что само это число несколько разупорядочится. Но это как раз и не важно, поскольку во вполне упорядоченных множествах происходит то же самое. Например, при сравнении множеств рациональных и натуральных чисел последним приходится обходить все "все стволы и ветки деревьев" рациональных чисел. Если считать этот "обход" отношением, то получается та же разупорядоченность натуральных чисел. [60]

[58. Это не относится к ординалам. Они не зря "едят хлеб" – обеспечивают реальный счет. Так что теория множеств не права, утверждая, что каждый кардинал является ординалом…]
[59. Иначе не будет взаимно однозначного соответствия].
[60. В книге Куранта и Роббинса "Что такое математика?" авторы два или три раза подходили к этому вопросу с разных сторон, но я так и не увидел ответа. Слишком уклончивые утверждения].

В завершение статьи, хочу вернуться к чрезвычайно "неправильному характеру" простых чисел. Как я уже говорил выше, этот характер демонстрирует застывший хаос. Но теперь  я могу уже сказать, что этот хаос проникает во все виды действительных чисел, даже с нашей стороны их множества. И мои стохастические числа нашли в нем не последнее место, в котором совершенные числа оказались изюминкой. Более того, запредельный переход подарил нам новое множество, построенное из множеств бесконечно малых и бесконечно больших чисел, что сделало континуум действительных чисел еще более мощным. А это значит, что исследование данного множества подарит нам новые  операции и новые числа, специфичные для запредельного перехода. [61]

[61. Я даже знаю, как все будет разворачиваться дальше – по уровням моего Мультиверса из "Мемуара Маллансона". Потому что новое числовое множество, о котором я сейчас говорил, это математика нашей антивселенной из того же "Мемуара Маллансона"].

Что касается моей дальней идеи о единой природе обычных чисел и обычных понятий нашей речи, то здесь все просто и, одновременно, непросто. Если рассматривать этот вопрос с точки зрения теории информации, то и числа, и понятия нашей речи формируются из информационного хаоса. Первые формируются напрямую, т.е. превращают хаос в порядок, а вторые – косвенно, т.е. строят из элементов хаоса знаки [62] и связывают их с нашей реальностью. Если же рассматривать этот вопрос с точки зрения физики, то и числа, и наши понятия формируются из материи наших мыслей. [63] Это тоже хаос, но только в исходной форме. В физике ему соответствует духовая материя, и она бывает духовной… [64]

[62. Звуковые, зрительные, письменные и т.д.]
[63. В такой же форме, как и в теории информации].
[64. Да, и еще. Вполне возможно, что кто-то до меня все же прологарифмировал простое число. Если так, то скорее всего он не обратил на это внимание, поскольку после этого должен был подняться переполох, а его не было. Множество совершенных чисел имеет бoльшую мощность, чем все другие иррациональные числа, и это должно было отразиться в литературе, а в ней ничего нет по этому вопросу. Кроме того, совершенные числа могут строить простые числа (которые строят все другие действительные числа), и замыкают это построение в множестве действительных чисел. И, наконец, совершенные числа подтверждают существование иррациональных чисел, поскольку возникают внутри простых чисел, а не между рациональными числами. Они являются аксиомой, которой не нужно доказательство].

Статья опубликована с сокращениями (из-за ограничений текстового редактора). Полную версию статьи можно посмотреть в моем облаке по ссылке https://cloud.mail.ru/public/swkH/P2A77mA6X