Обобщение Теоремы Пифагора. Ч 1

Эта задача может рассматриваться как одно из расширений теоремы Пифагора. На чертеже 1) дан прямоугольник и его диагональ d вычисляется элементарно. Но если изменить четырехугольник таким образом, как показано на рис. 2), диагональ d' найти уже не так просто. Особенно если решать задачу в общем виде. Это можно сделать, если оттолкнуться от теоремы синусов. Выражение для диагонали d' заметно сложнее, но в тоже время довольно красивое. Причем, если угол при вершине А прямой, то данная формула в точности совпадает с теоремой Пифагора. То есть вторая формула есть одно из обобщений знаменитой теоремы. Программа расчета следующая:

print "  N   t     a    b    d    AB      AD "
print "--------------------------------------"
for t0=1 to 179
t=t0*pi/180
for a=1 to 150
for b=a to 150
d=1/sin(t)*sqrt(a^2+2*a*b*cos(t)+b^2)
AB=sqrt(d^2-a^2)
AD=sqrt(d^2-b^2)
if d=int(d) then
if AD<>0 then
if t0<>90 then
if a<>b then
if d<100 then
if a*cos(t-pi/2)>AB*cos(pi-t) then
N=N+1
if N<>2 then
if N<>5 then
M=M+1
print M using "##",t0 using "###";
print a using "###";
print b using "###",d using "###";
print AB using "###.####";
print AD using "###.####"
fi:fi
fi:fi
fi:fi
fi:fi
next b
next a
next t0

В таблице представлены только примитивные целочисленные варианты. Значения строн AB и AD получились не целочисленными.
Интересно, что если примитивных пифагоровых троек - бесконечное количество, то в нашем расширенном варианте теоремы пифагора примитивных целочисленных троек a, b, d - всего четыре и возможны только для углов A, равных 60-ти и 120-ти градусам  Хотя кратных решений при таких углах - бесконечно.

22 февраля 2024 г.