Система и анализ. Ч 1

Довольно распространена система, что в верхнем левом углу иллюстрации. Обычно вместо параметра "с" пишут конкретное целое число. Например с=241. Вроде бы подобное здесь, в прозе ру решал, но только этот параметр был другим. Однако лучше еще раз вернуться к данной интересной задаче. Если решать ее в общем виде, то приходим к полиному четвертой степени относительно параметра "a". Правда, в таком случае коэффициенты окажутся в виде радикалов, что создает дополнительные трудности. Но все же мне удалось решить проблему двумя способами: методом Феррари и моим любимым способом Монте Карло. Их описывать здесь не буду из-за сильно развернутых выкладок. В иллюстрации привожу только формулы, позволяющие находить действительные корни, а именно a1,b1 и a2,b2 в функции от "с". И сразу возникает важный вопрос - а при каких значениях "с" можно наблюдать целочисленные значения "а" и "b"? Иными словами, случайно ли в задании c=241? Если рассмотреть вычисления в красной рамке, то видим, что при таком значении "с" имеется вариант, когда a, b,c - целочисленные. Полностью проанализировать ситуацию поможет такая прога:

print " N   a2  b2 a1 b1  c "
print "---------------------"
for c=1 to 241
a1=-1/2*(1+sqrt(4*c-3))
a2=1/2*(1+sqrt(4*c+1))
b1=sqrt(a1+c)
b2=sqrt(a2+c)
if a2=int(a2) then
if b2=int(b2) then
N=N+1
print N using "###",a1 using "###.###";
print b1 using "###.###",a2 using "###";
print b2 using "###",c using "#####"
fi
fi
next c

В левой части таблицы теперь стало ясно, что a2 и b2 будут целыми, если параметр "с" образует последовательность n^2+n.
Если прогу чуть изменить:

print " N   a2  b2 a1 b1  c "
print "---------------------"
for c=1 to 241
a1=-1/2*(1+sqrt(4*c-3))
a2=1/2*(1+sqrt(4*c+1))
b1=sqrt(a1+c)
b2=sqrt(a2+c)
if a1=int(a1) then
if b1=int(b1) then
N=N+1
print N using "###",a2 using "###.###";
print b2 using "###.###",a1 using "###";
print b1 using "###",c using "#####"
fi
fi
next c

то получим таблицу справа. Из нее следует, что корни а1 и b1 окажутся целыми, если параметр "с" - есть последовательность n^2-n+1. Обе эти последовательности имеются в энциклопедии https://oeis.org/.
Анализ двух желтых колонок таблиц красноречиво показывает соответствия между тремя параметрами задачи, полнее раскрывая ее. Думаю, что именно так надо стремиться решать пусть даже очень частную задачу.
Забыл отметить, что есть еще и два мнимых корня. Их можно получить путем решения второго квадратного трехчлена. Это довольно громоздкая штука, да и нашем случае не требуется.

27 февраля 2024 г.