Треугольник и сумма косинусов

Об этой задаче я вспомнил, когда математик Арнольд Владимир Игоревич после очередной лекции дал слушателям домашнее задание. Текст его показан в иллюстрации. Причем великий математик всех попросил не только определить минимум и максимум в числах, а и наглядно показать эти треугольники на чертежах. К задаче я даже не смог приступить из-за бытовых проблем. Но запись сохранилась и сегодня задание выполнил. Конечно, тригонометрические уравнения составить не представляет особого труда. Как и найти экстремумы. Для меня сложным оказалось выявить конфигурации треугольников для двух краних случаев. Поэтому, недолго думая, сегодня утром составил две коротенькие программы, после текста которых даю распечатки:

rem минимум косинусов углов треугольника
smi=10
for x0=0.02 to 90 step 0.02
for y0=x0 to 90 step 0.02
z0=180-x0-y0
if z0>0 then
x=x0/180*pi
y=y0/180*pi
z=z0/180*pi
smin=cos(x)+cos(y)+cos(z)
if smin<=smi then
smi=smin
x00=x*180/pi
y00=y*180/pi
z00=z*180/pi
fi:fi
next y0
next x0
print x00,y00,z00,smin

Результат счета:
90 90 1.53477e-12 1
----------------------------------
rem максимум косинусов углов треугольника
sma=-10
for x0=0.1 to 90 step 0.1
for y0=x0 to 90 step 0.1
z0=180-x0-y0
x=x0/180*pi
y=y0/180*pi
z=z0/180*pi
smax=cos(x)+cos(y)+cos(z)
if smax>=sma then
sma=smax
x00=x*180/pi
y00=y*180/pi
z00=z*180/pi
fi
next y0
next x0
print x00,y00,z00,sma

Результат счета:
60 60 60 1.5

С максимумом суммы трех косинусов все ясно - это равносторонний треугольник.
С минимумом дело оказалось посложнее, ибо строго говоря такого треугольника не существует, если принять аксиому о параллельных прямых в евклидовой геометрии. Тут только можно говорить о пределе. Минимум получим равным единице, если высота равнобедренного треугольника окажется бесконечной.

3 марта 2024 г.