Короткое показательное уравнение

Оно в левом верхнем углу иллюстрации. В ютубе встретил только вариант, когда параметр a=3. Решил рассмотреть уже в общем виде. Общее решение включает в себе функцию Ламберта, которая и сама довольно сложная при вычислениях. Конкретный пример, о котором только что говорил, преподаватель решал довольно долго с многочисленными заменами. Причем нашел только один действительный корень (на самом деле будем иметь максимум три корня!). Я же взял на вооружение построение графиков и итерацию Ньютона. Текст программы:

print "  a    x1     x2     x3"
print "-----------------------"
for a=1 to 7
x0=200
x0=-1
for i=1 to 3000
z=a^x0-x0^(a^2)
z1=a^x0*log(a)-a^2*x0^(a^2-1)
x=x0-z/z1
x0=x
next i
print a using "###";
print x using "###.#######";
x0=1
for i=1 to 3000
z=a^x0-x0^(a^2)
z1=a^x0*log(a)-a^2*x0^(a^2-1)
x=x0-z/z1
x0=x
next i
x0=200
print x using "###.#######";
for i=1 to 3000
z=a^x0-x0^(a^2)
z1=a^x0*log(a)-a^2*x0^(a^2-1)
x=x0-z/z1
x0=x
next i
if x=int(x) then
print x using "###"
else
print ,x using "###.#######"
fi
next a

Задача осложнена тем, что язык yabasic способен верно решать уравнение при значениях "а" от 1 до 7. При больших значениях его мощности не хватает, чтобы оперировать слишком большими степенями. Поэтому для значений "а" от 8 до 15 пользовался уже сайтом Вольфрам Альфа. Замечу, однако, что точность результатов в таблице для а>3 явно недостаточна для проверки путем подстановки. Для этого нужно иметь числа с количеством цифр после запятой в десятки и даже в сотни раз больше. Я же дошел до а=15 с целью, чтобы убедиться что лишь один целочисленный корень можно наблюдать только при а=1,2 и 3. Возможно, что и при a>15 целочисленный корень может существовать. Но пока мой инструментарий не позволяет такое исследование произвести.

4 марта 2024 г.