Восхождение от конкретного к абстрактному

Насколько я помню, в философской литературе 50 — 200 лет назад было модным обратное изречение: "восхождение от абстрактного к конкретному". Однако же, начиная с Гегеля, конкретное считается выше, важнее и значимее, чем абстрактное. Но впрочем, палитра определений этих понятий всегда простиралась в рамках буквально противоположных полюсов. Абстрактное почти всегда и всеми относилось к области понятий и свойств. Конкретное же считалось материальным или идеальным,— в зависимости от философской школы (у последователей Гегеля это всегда идеальное).
Мы здесь говорим о математике. Поэтому для нас абстрактное — нечто обобщённое, и потому обладающее минимальным числом свойств; например, общая алгебра. Конкретное же есть то, что имеет максимально возможное число свойств; например, арифметика. Или, с одной стороны, теория отношений, и теория бинарного отношения линейного порядка. Последняя теория полна: к ней невозможно добавить ни одной новой аксиомы — возникнет противоречие. Т.е. это предельно конкретная теория. Иное дело — арифметика.
Следующее рассуждение принадлежит Гёделю. Арифметика — числовая система; внутри неё можно вообще закодировать все наши формальные знания и представить их как свойства чисел. Куда уж конкретнее… Но внутри арифметики можно закодировать и саму арифметику, что позволяет сформулировать в ней парадокс Рассела,— внутренне противоречивое утверждение. Следовательно, арифметика принципиально неполна, её нельзя конкретизировать полностью.
И в то же время, любой арифметический вопрос разрешим экспериментально, материально: достаточно неограниченно вводить компьютерные мощности (формально,— это всё тот же аналог школьных счётных палочек). Т.е. — предельно конкретизировать арифметику можно лишь вещественно, материально, но не формально. Но даже эта конкретизация никогда не достигает своего фактического предела: эксперимент настолько же потенциально бесконечен, как и теория.
Но обратимся к нашей теме. — идеалы. Во всякой алгебраической структуре с бинарной операцией (с "умножением") идеалом называют подмножество её элементов, которое сохраняется при его умножении на все элементы алгебры. Например, в арифметике таковым будет множество всех чисел, кратных данному простому числу. Причём, если к этому идеалу принадлежит произведение двух чисел, то к нему принадлежит и один сомножителей; это определение, так называемого, простого идеала (не путать с простым числом). Такие идеалы являются "очень большими", в том смысле, что полностью содержат одну из цепочек делителей любого своего элемента. Во многих алгебрах они и в самом деле являются, в некотором смысле, максимальными идеалами. Есть среди арифметических идеалов и тривиальные (это {0} и N,— множество всех чисел).
А что, если идеал таков, что вместе с произведением каждой тройки: (x * y * z) он всегда содержит и произведение одной из последовательных пар: (x * y) или (y * z) ? Такой идеал я называю ассоциативным. Некоторые из свойств таких идеалов я пытаюсь исследовать в статье: Associative ideals  in monoids
https://arxiv.org/pdf/2403.13979.pdf
Примером ассоциативного идеала в арифметике является множество всех чисел, кратных двум простым числам. Здесь, однако, надо сделать одно уточнение. Вместе с (x * y * z) он содержит одну из пар: (x * y), (y * z), или (z * x).  Эта особенность, всё же, несущественна,— так как арифметическое умножение коммутативно. В общем же случае умножение не является коммутативным.
Ассоциативные идеалы являются следующими в "градации по величине" после простых идеалов, так как тоже содержат некоторые из делителей своих элементов. Но, помимо некоторых интересных математических свойств, чем же ещё могут привлечь внимание ассоциативные идеалы? Наиболее общим алгебраическим объектом, изучающим умножение является полугруппа (множество с ассоциативной бинарной операцией), или моноид (полугруппа с единицей). Какова роль ассоциативности умножения? Благодаря ей мы можем не расставлять скобки в последовательностях умножаемых друг на друга элементов,— результат перемножения последовательности однозначен.
И здесь мы подошли к нестандартным последовательностям. Нестандартные понятия являются необычными, неожиданными интерпретациями вполне обычных математических понятий. Это позволяет непротиворечивым способом моделировать противоречия, которые часто встречаются в природе, но невозможны в мышлении. Последовательности переменных являются одним из фундаментов математики. Я хочу предложить последовательности, которые не всегда существуют, но обладают всеми свойствами обычных последовательностей. Следует заметить, что последовательная запись символов (т.е. — слова, составленные из символов) есть не что иное, как одна из операций умножения в моноидах или полугруппах.
И вот, помимо прочих, второстепенных свойств последовательностей, наиболее интересным является ассоциативное свойство:
Последовательность из трёх элементов (x y z) существует тогда и только тогда, когда существуют обе её подпоследовательности из двух элементов (x y) и (y z) .
Звучит это просто, но имеет важные следствия для математики. Это свойство и моделируется в ассоциативных идеалах и их дополнениях. Вот, собственно, и всё об одном из небольших  восхождений от конкретного (арифметика) к абстрактному (нестандартные последовательности). Для тех кому интересно, данную тему я изложил подробно в статье Predicates and terms from non-standard sequences
https://arxiv.org/pdf/2312.00831.pdf