Категории конечного и бескнечного

КАТЕГОРИИ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО

Борис Ихлов

Реферат

Может ли человек быть точен в определении чужого существования, неточно представляя себе  даже свое собственное?
Андрей Битов, «Птицы или новые сведения о человеке»

Бесконечность есть формально-логическое отрицание конечности, А и не-А, но из этого мало что можно почерпнуть.
В то же время конечное и бесконечное существуют в единстве друг с другом, как моменты количества.
Всякое конечное внутри себя бесконечно, нечто только тогда конечно, когда оно выходит за пределы самого себя, т. е. когда оно или сравнивается, или реально взаимодействует с чем-либо другим, или переходит в другое.
Конечное в пространственном смысле - ограниченное чем-то другим, с другой стороны - ограничено внутри себя. Конечное во временном аспекте — как преходящее, ограниченное иным, с другой стороны – внутренне ограничено во времени.
Из этих дефиниций тоже невозможно уловить, в чем именно единство конечного и бесконечного.

Древний мир

В «Ведах» в части «Вишну – Пурана» говорится, что Вселенная бесконечна, но тут же указывается ее конечный размер: «очень большое число районов», 14 штук, каждый «очень велик» - 10 млн йоджан или 160 млн км, итого более 2 млрд. км, т.е. на 14 порядков меньше радиуса наблюдаемой Вселенной. Кроме того, Вселенная бесконечна и во времени [1].
В джайнизме оцениваются меры времени и длины, радджу и др. Соответственно, имеются и ппытки оценить размер Вселенной. Однако в целом в джайнизме Вселенная бесконечна – в смысле чего-то очень, очень большого.
 
Ученик Фалеса Анаксимандр представил бесконечное в своём учении о существовании «апейрона» (беспредельного). Анаксимандр и Лао Цзы определяли бесконечное как полную противоположность конечному, как отсутствие каких-либо границ.
У Лао Цзы бесконечное – это дао, оно «туманно, неясно», точнее – ясно, а именно: «форма без формы». «образ без существа» [2]. Т.е. дао лишено всех признаков конечного, между конечным и бесконечным – стена. В то же время дао лежит в основе всего, т.е. первично по отношению к конечному. В такой трактовке – а это идеалистическая трактовка – невозможно дать положительного определения бесконечного.
Анаксимандр понимает ограниченность милетской школы: вода, земля, огонь, воздух – лишь проявления единого основания, «архэ», т.е. материи. Архэ, апейрон, не может меть границ, оно беспредельно. Первоначало, как и у Лао Цзы, есть основание источник всего, но оно не оторвано от конечного, а вобрало в себя все его признаки. То есть, бесконечно – не само основание, а лишь его качество.

У Анаксагора бесконечным является число «подобночастных» гомеомерий, неразрушимых элементов мироздания, причем сами гомеомерии при своей неразрушимости делимы опять же бесконечно.
Каждая гомеомерия содержит в себе все элементы, из которых построены все вещи. Т.е. они разные, но содержат всё, то есть, одинаковое. Как же они при этом могут быть разными? Как химические элементы. Таким образом, представление о химических элементах возникает чисто логически, и автор этого представления – Анаксагор.

В гомеомериях имеется бесконечное число качеств и бесконечное число частей. Т.е. материя бесконечно делима, т.е. каждая ее малая частичка – бесконечно сложна.
«Каждая вещь и бесконечно мала, и бесконечно велика. Каждая гомеомерия, подобно целому, заключает в себе всё существующее, и сущее не просто бесконечно, но бесконечно бесконечно» [3]. 
Таким образом, гомеомерии – те же атомы, которые бесконечно сложны, и из которых состоят все вещи. Они неразрушимы – но делимы до бесконечности, т.е. в них можно вычленить составные части.
Остается только удивляться, как мог знать Анаксагор, что атомы состоят из одних и тех же частиц, из протонов, нейтронов и электронов?

Эмпедокл считал число гомеомерий конечным, Демокрит отрицал их бесконечную делимость.

По Анаксагору в любой частице бесконечность заключена актуально. Т.е. бесконечность – что-то статичное, неизменное. Очевидно, что это есть абстрактное отражение момента всеобщности, всеобъемлемости, присущее реальной бесконечности, это попытка выразить абсолютное путем сведения его к устойчивой неизменной сущности.
Ленин повторил Анаксагора: электрон так же неисчерпаем, как и атом. То есть, Ленин обошел вниманием понятие реальной бесконечности.

Анаксагор первый ввел понятие актуальной бесконечности. Именно поэтому он предвосхитил современное математическое учение о бесконечно малых и о бесконечных множествах, в которых часть может быть не только конечной, но и бесконечной: пример - натуральный ряд чисел, его часть - ряд чётных чисел, который тоже бесконечен.
Математика оперирует бесконечным как конечным, бесконечные множества сравниваются мощностями.

Пифагорейцы рассматривали бесконечное (беспредельное) как неопределенное, неупорядоченное, иррациональное, как антитезу бытия. Числу как символу определенности, завершенности, совершенства они противопоставляли "беспредельное". Пифагорейцы представляли мир в виде шара, окруженного со всех сторон «беспредельным". "Беспредельное" пифагорейцев, в отличие от апейрона Анаксимандра, не является первоначалом, оно противопоставлено вещам и явлениям мира как совершенно от них отличное и не связанное с ними. Поздние пифагорейцы понимали под беспредельным просто пустоту, отсутствие всякого бытия, небытие. Т.е. к конечному пифагорейцы относили всё положительное, к беспредельному всё отрицательное. Противопоставление предела и беспредельного в социально-нравственном плане ассоциировалось с противоположностью закона и беззакония. Пифагореец Филолай говорил: «Ложь и зависть присущи природе беспредельного, бессмысленного и неразумного».
Несмотря на явно искусственные построения, представители школы Пифагора, следуя Анаксагору, открыли несоизмеримые величины, которые не могут быть представлены рациональными числами - иррациональные числа. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Расширение арифметики до включения иррациональных чисел осуществил Евдокс Книдский.

Эпикур пытался выразить категорию бесконечного путем сопоставления терминов: «… неделимые и полные тела (атомы), из которых образуются соединения и в которые они разрешаются, имеют необъятное число форм, ибо невозможно, чтобы такое множество различий в сложных предметах могло образоваться из одних и тех же ограниченных по числу форм. И в каждой подобной форме атомы безграничны по числу, а различие форм в них не совсем безгранично, но только необъятно» [4].
Интересно, какая разница между бесконечным и необъятным?
Поразительно другое: откуда Эпикур мог знать, что число сочетаний атомов бесконечно? Ведь вокруг него очень большое, но конечное число форм. И что еще более поразительно: откуда он, как и Эмпедокл, мог знать, что число видов атомов очень больше, но не бесконечное?

Сегодня многие советские ученые, перестроившись, всерьез считают, что древние философы, не пережившие века общественной практики и не имеющие под руками теоретико-экспериментального инструментария, могли узнавать о мире путем озарения (трансцедентальной апперцепции». Так, А. А. Гриб полагает, что древние джайны путем медитации узнавали размеры атомных структур. Всего на пару порядков промахнулись. Д. Д. Иваненко откопал в «Тимее» Платона упоминание о кварках и т.п. Но если все эти поиски перестроившихся не имеют отношение к истине, то мысли Эпикура, Анаксагора, Эмпедокла, без сомнения, возникли не из политического холуйства.

Платон и Аристотель следовали пифагорейцам, исследование проблемы бесконечного Аристотеля – в его «Физике» [5].
 Согласно Платону «сросшееся во единое» предел (конечное) и беспредельность (бесконечное) являются началами, заключёнными в «вечно сущем».
Платон предлагал разграничить: «что есть вечное, не имеющее возникновения бытие, и что есть вечно возникающее, но никогда не сущее. То, что постигается с помощью размышления и рассуждения… есть вечное тождественное бытие, а то, что подвластно мнению и неразумному ощущению, возникает и гибнет, но никогда не существует на самом деле… Однако возникающее должно иметь какую-то причину для своего возникновения… если демиург любой вещи взирает на неизменно сущее и берет его в качестве первообраза при создании вещи, всё необходимо выйдет прекрасным. Если же он взирает на нечто возникающее и пользуется им как первообразом, произведение его выйдет дурным… Первообраз есть то, что пребывает целую вечность… Космос прекрасен, следовательно, его демиург взирал на вечное» («Тимей») и т.д.
Т.е. в философии Платона перемешаны субъективно идеалистическая точка зрения на бесконечность, точка зрения Святого Августина время и нелепица о божественном акте творения.

Зенон из Элей выдвинул ряд апорий против представления о множестве вещей, он пытался защитить и лучше обосновать точку зрения своего учителя Парменида, утверждавшего, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Основным аргументом против множественности вещей у Зенона является необходимость (в случае признания этой множественности) одновременного признания вещей бесконечно малыми (так как их можно было бы делить до бесконечности) и бесконечно большими (так как не было бы конца для накопления всё новых и новых частей). В апориях против бесконечного (против множественности вещей), как и в апориях против движения, Зенон обнаружил действительную противоречивость этих понятий и на этом основании отверг их.

Аристотель выделил две формы бесконечности - потенциальную и актуальную. Под первой он понимал неостановимый процесс роста, а под второй - реально существующую величину, не имеющую конечной меры.
Законы формальное логики запрещают противоречию быть характеристикой адекватного миру мышления, потому   ее создатель Аристотель не признавал актуальную бесконечность, поскольку её понятие противоречиво.

Средние века

Аверроэс полагал бесконечным время, причем не только «вперед», но и «назад», т.к. мир с его точки зрения не сотворим. В плане пространства Аверроэс полагал бесконечную множественность населенных миров.

Николай Кузанский сформулировал учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума: бесконечное, абсолютный максимум, становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. В бесконечности сливаются противоположности: диаметр   окружности, являющийся отрезком прямой (как и вписанный в круг треугольник), сливается с самой окружностью, если сделать её бесконечно большой.
В спекулятивной теологии Кузанского бог служит также основанием представлений о бесконечности Вселенной. Бог является основанием всего: то, что содержится в боге «в свёрнутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяжённость мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и бог, — мир не есть всё, что может быть, - тем не менее, его привативная бесконечность (не infinitum, a Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени.
Бог - абсолютный максимум, бесконечное, он везде. Однако мир, созданный им - конечен, ибо имеет начало и обретет свой конец. Бог и мир совпадают в том смысле, что бог является сущностью мира, он пронизывает собой все. Как бесконечный бог может быть сущностью конечного мира? Из этих пустых измышлений Кузанский делает не связанный с ними верный вывод: центра Вселенной не существует.

Конкретику в умозрительные спекуляции внесли Джордано Бруно своим тезисом о бесконечном числе населенных миров во Вселенной и опровержение Коперником геоцентрической системы.

Рене Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: «… недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, - такова протяжённость мира, делимость частей материи, число звёзд и так далее» [6]. Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком образа божьего в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений.

Пантеиста Бенедикта Спинозу христианские богословы упрекали в атеизме и иррелигиозности, и противоположного мнения держались его приверженцы.
Спиноза понимал бесконечность следующим образом: материя есть причина самоё себя. Атрибуты материи, протяженность и длительность – безусловны, абсолютны. Время же, число
и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными средствами воображения.

В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Георга Кантора.

Эра капитализма

Один из столпов раннего английского материализма Джон Локк полагал, что идея бесконечного возникает у человека исключительно из-за способности без конца повторять какое-нибудь количество, а крайние границы пространства недоступны пониманию; познаваемо только конечное.

Г. В. Лейбниц критиковал такой взгляд следующим образом: идея бесконечного имеет божественную природу и внутренним образом постигается человеческой душой. Если природа бесконечного божественна, то актуальная бесконечность реально существует. Актуально бесконечно число количество субстанций, монад, в универсуме (подобно гомеомериям). Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. В свою очередь каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени, причем все эти монады являются живыми [7].
С одной стороны, Лейбниц признает, что математике нельзя оперировать с понятием актуальной бесконечности. «Не существует бесконечного числа, или бесконечной линии, или какого-нибудь другого бесконечного количества, если брать их как настоящие целые… Истинная бесконечность… заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано путем прибавления частей». Т.е. бесконечно большая величина актуально существовать не может. То же – в отношении актуально существующей бесконечно малой величины Лейбниц пишет: «Мы заблуждаемся, пытаясь вообразить себе абсолютное пространство, которое было бы бесконечным целым, составленным из частей. Ничего подобного не существует. Такое понятие внутренне противоречиво, и все эти бесконечные целые, равно как и их антиподы, бесконечно малые, применимы лишь для математических выкладок, подобно мнимым корням в алгебре».
Однако в той же самой работе Лейбниц признает актуально бесконечное множество восприятии, имеющихся в нас в каждый момент, но не сознаваемых нами, а также актуально бесконечное множество субстанций-монад, или, как он их называет, «метафизических точек». Таким образом, причина «вибрации» Лейбница — в невозможности признать актуальную бесконечность в математике и в то же время в невозможности отвергнуть актуальную бесконечность в физике и метафизике; последние имеют дело с реально сущим, с бытием, тогда как математика — лишь с возможным, конструкцией воображения.
Лейбниц в 1693 г. пишет Фуше: «Я настолько убежден в существовании актуальной бесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного, а, напротив, считаю, что она повсюду выказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство творца. Итак, я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы не скажу только неделимой, но даже не разделенной актуально и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесчисленным количеством разнообразных созданий».
Несмотря на неверные посылки, неверное их приложение и путаницу Лейбниц создал дифференциальное и интегральное исчисление, оперирующее бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, причем раньше, чем это сделал Ньютон.
В приложении к психологии Лейбниц сформулировал концепцию «бесконечно-малых» (подсознательных) восприятий. Что, между прочим, недалеко от «квантов» речи типа валлоновых пар.

Декарт, в отличие от Аристотеля, не считал вселенную конечной. Он также предполагал бесконечную делимость материи. Он писал: «Невозможно существование каких-либо атомов, т. е. частей материи, неделимых по своей природе, как это вообразили некоторые философы».

По Иммануилу Канту бесконечность - лишь плод человеческого разума, понятие, неприменимое к природе. Мир сам по себе ни конечен, ни бесконечен, ибо о «мире как таковом» вообще ничего нельзя сказать.
Кант видел противоречивость бесконечности и, как метафизик, был убежден, что противоречия присущи только человеческому сознанию, в природе их нет.
Бесконечность лежит за пределами реальности, всякая бесконечность трансцендентальна, относима к безусловному бытию, и её не следует (дабы избежать антиномий) брать как «данность». Эта бесконечность не может быть постигнута разумом, но познается путем озарения (трансцедентальной апперцепции).
В математике оказываются невозможны бесконечные величины. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как  неопределённый [8]. В целом, рассматривая связь бесконечного с конечным, Кант понимал отношение этих категорий как антиномию чистого разума, как свидетельство его ограниченности и бессилия.

Гоббс считал, что актуальна бесконечность - самая темная из универсалий, имеющей только отрицательные признаки.

Гольбах признавал бесконечность времени – но в смысле дурной бесконечности. Историю мира он, в отличие от Гегеля, считал круговоротом, кругом, «который вынуждено описывать все существующее». Т.е. во Вселенной возникает ничего принципиально нового.

Людвиг Фейербах защитил диссертацию на тему «О едином, всеобщем и бесконечном разуме». Но не о единичном разуме, т.к. он отрицал религию, подвергает критике христианское учение о бессмертии души и человека. Из-за чего Фейербаха, преподававшего в Эрландском университете, выгоняют из университета.

Таким образом, три предтечи материализма менее всего внесли вклад в разработку категорий конечного и бесконечного. Наиболее продуктивными были учения Анаксагора, Эпикура и Лейбница. И, как увидим ниже – Гегеля.

Гегель

Конечное по Гегелю есть то, что имеет границу, пространственную или временную, бесконечное – не имеет границ: «границу (всякого) нечто, которая есть имманентное определение самого нечто, а нечто, следовательно, есть конечное… Определённость как изолированная сама по себе, как сущая определённость, есть качество - нечто совершенно простое, непосредственное…  бесконечное в его простом понятии можно рассматривать прежде всего как новую дефиницию абсолютного; как соотношение с собой, лишённое определений, оно положено как бытие и становление… В природе самого конечного, пишет Гегель, - выходить за себя, отрицать своё отрицание и становиться бесконечным. Бесконечное, стало быть, не стоит над конечным как нечто само по себе готовое, так чтобы конечное имело и сохраняло место вне его или под ним […]. Не благодаря снятию конечности вообще возникает бесконечность вообще, а конечное состоит только в том, чтобы в силу своей природы становиться бесконечным» [9].

Бесконечность числового ряда – выдуманная, рассудочная бесконечность. Она возникает как процедура: сколь угодно большое число мы ни возьмем, бесконечность будет больше этого числа. Берем еще большее число – но бесконечность снова оказывается больше. И так далее – до бесконечности, т.е. бесконечность снова оказывается неопределенной и, что главное – отделенной от конечного, отрицание конечного не ведет к бесконечности.
В то же время бесконечность числового ряда понимается как актуальная. Но в природе не существует бесконечный дрын, которым можно размахивать, как это делают математики и физики.
Бесконечности типа числового ряда Гегель назвал «дурными»: «Эта бесконечность есть дурная, или отрицательная, бесконечность, так как она есть не что иное, как отрицание конечного, которое, однако, снова возникает и, следовательно, не снимается; или, иными словами, эта бесконечность выражает только долженствование снятия конечного» («Энциклопедия философских наук»). Дурная бесконечность есть беда рассудка, который пребывает в неразрешенном противоречии: наряду с бесконечным остается конечное как наличное бытие. В своем соотношении «бесконечное есть лишь граница конечного и, следовательно, само есть лишь определенное, конечное бесконечное» («Наука логики»). Т.е. для рассудка, восходящего к бесконечному, конечное продолжает существовать как некое посюстороннее, а бесконечное как некое потустороннее, вне которого находится конечное.
Рассудок представляет конечное и бесконечное как две самостоятельные сущности.

Гегель пишет: «Совершается выхождение за пределы конечного в бесконечное. Это выхождение проявляется как внешнее действие. Что возникает в этой потусторонней для конечного пустоте? Что в ней положительного? В силу неотделимости бесконечного и конечного друг от друга (иначе говоря, в силу того, что это находящееся на своей стороне бесконечное само ограничено) возникает граница; бесконечное исчезло, и появилось его иное, конечное. Но это появление конечного представляется чем-то внешним для бесконечного, а новая граница - чем-то таким, что не возникает из самого бесконечного, а само уже находилось в наличии. Происходит, таким образом, возврат к прежнему, тщетно снятому определению. Но эта новая граница сама есть лишь нечто такое, что должно быть снято или, иначе говоря, что следует преступить. Стало быть, снова возникла пустота, ничто, в котором также встречается указанная определенность, некоторая новая граница - и так далее до бесконечности» («Наука логики»).

По Гегелю есть только одна противоречивая сущность, содержащая в себе единство противоположностей. Хотя для Гегеля случайное – только внешнее, противоречие не есть внешнее, а лишь внутреннее, «своё другое себя»: всеобще-единичное, возможно-действительное, бесконечно-конечное. Нет отдельно бесконечности и конечности, всеобщего и единичного. Бесконечность есть другое «я» конечности.
Бесконечное существует только как выхождение за конечное, его отрицание. Т.е. конечное существует лишь как то, за пределы чего следует выйти, как отрицание себя в самом себе, отрицание, которое и есть бесконечность. Соответственно, бесконечное - не отдельная сущность, а отрицание конечности. 
Конечность и бесконечность – не просто различные качества субстанции, а противоположные различия одной и той же сущности. 

Гегель указывает путь к пониманию бесконечного. Однако сам он представлял бесконечность довольно наивно. Истинное бесконечное он характеризовал как посюстороннее, замкнутое в себе, актуально бесконечное. Истинную бесконечность он представлял в виде круга: «Истинная бесконечность, повернутая обратно к себе, имеет своим образом круг, достигшую себя линию, которая замкнута и всецело налична, не имея ни начального пункта, ни какого-либо конца» [10]. Но тем же свойством обладает и отрезок с выброшенными конечными точками, и бесконечная прямая. И в круге, и в отрезке бесконечное число точек, поэтому они отображаются на бесконечную прямую.
Открытая или незамкнутая бесконечность по Гегелю не является истинной бесконечностью, существует только в возможности, потенциально. Актуально она существует лишь в виде конечного. То есть, Гегель считал математические точки реальностями, абстракцию бесконечности полагал бесконечностью реальной.

По Энгельсу мы можем познавать только бесконечное, которое раскрывается через всеобщность, «… форма всеобщности есть форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности» («Диалектика природы»). Аналогично Аристотель считал, что познавать можно только общее. На самом деле, познавая конечные вещи, мы тем самым познаем бесконечность, общее – через единичное. И сам же Энгельс приводит пример познания через конечное, единичное: «Мы знаем, что хлор и водород под действием света соединяются при известных условиях температуры и давления в хлористо-водородный газ, давая взрыв; а раз мы это знаем, то мы знаем также, что это происходит всегда и повсюду, где имеются налицо вышеуказанные условия. И совершенно безразлично, произойдет ли это один раз или повторится миллионы раз и на скольких небесных телах. Форма всеобщности в природе - это закон, и никто не говорит так много о вечности законов природы, как естествоиспытатели».

Итак, диалектика выявляет не только различие, но и тождество категорий конечного и бесконечного и определяет их рефлексивно, друг через друга — как «тождество различных».

Математика

Наряду с финитной математикой существует математика бесконечных множеств (актуально бесконечного), а также промежуточные концепции математики, признающие потенциальную бесконечность, но отрицающие актуальную.

Разумеется, можно говорить о диалектическом единстве конченого и бесконечного, о связи между актуальной и потенциальной бесконечностями, говорить о том, что любая математическая бесконечность есть не игра ума, а отражение природы. Действительно, в основании евклидовой бесконечности лежит абстракция механического движения твердых тел. Однако ценность такого переливания из пустого в порожнее невелика. Что может дать философия математике?

Стараниями Б. Больцано, К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда понятие бесконечности из интегрально-дифференциального счисления перекочевало в теорию множеств.
В конце XIX века Кантор обратился к абстрактному понятию бесконечности и пришел к парадоксальному выводу о том, что существуют бесконечности разных размеров.
Множество, согласно Кантору, называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств.
В основу исследования бесконечных множеств Кантор положил идею взаимно однозначного соответствия элементов сравниваемых множеств (изоморфизма, биекции, т.е. одновременно сюръективное и инъективное отображение). Если между элементами двух множеств можно установить такое соответствие, то говорят, что множества имеют одну и ту же мощность, то есть они являются равномощными или эквивалентными.
Кантор показал, что существует взаимно однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости возможно. он доказал, что в единичном квадрате не больше точек, чем в единичном отрезке. Таким образом, мощность двумерного континуума оказалась равной мощности континуума одного измерения. Точно также окружность гомеоморфна прямой. Соответствие устанавливается путем проведения лучей из верхней точки окружности до прямой, касательной к окружности. Те. бесконечное число точке в окружности равно бесконечному числу точек бесконечной прямой.
 Теорема Кантора гласит, что любое множество А менее мощно, чем множество всех его подмножеств 2А  (булеан,  множество всех подмножеств A),
Парадокс Кантора заключается в том, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.
Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множеств всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементов.
Допустим, V – множество всех множеств, т.е. любой множество Т принадлежит V. Т.е. мощность Т не превосходит мощности V.  Но должно существовать более мощное множество 2V , что противоречит условию, что V есть множество всех множеств.
Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством.
Парадокс Рассела-Цермело возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.
С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.
В любом случае получается противоречие.
Аналогом парадокса Кантора является парадоксы Ришара и Бурали – Форти,, в лингвистике - парадокс лжеца и парадокс брадобрея. Лингвистические парадоксы говорят о том, что любое высказывание противоречиво.
Оказывается также, что несчетное множество может быть отображено в счетное множество (парадокс Сколема), т.е. понятия счетности и несчетности – относительны.
 
Итак, понятие актуальной бесконечности немедленно ведет к противоречию. Вследствие чего интуиционисты и конструктивисты призвали к отказу от неё и к возвращению к потенциальной бесконечности. Понятно, что эти понятия в идеализированной форме отражают разные аспекты действительности: потенциальная бесконечность — становление и развитие, актуальная — их результат, итог, завершение определённого процесса. Но дело в том, что та бесконечность, что используется в теории множеств – не является актуальной, это лишь абстракция, схема, упрощение актуальной бесконечности. Аналогично бесконечности евклидова или псевдориманова пространства не являются реальными бесконечностями пространственно-временной формы.
Тем не менее, такая урезанная бесконечность тоже есть отражение определенных феноменов в природе, в расчетах, в выводах, в операциях с бесконечностями есть некая сермяжная правда. И эту правду математика пока не видит.
Кроме того, наличие противоречия не есть повод для отказа от науки. Наоборот, противоречие есть источник развития науки. И этот момент математика тоже пока не видит.

Физика

Как и математики, физики оперируют бесконечностями как обычными числами. В большинстве задач земной механики достаточно положить радиус Земли бесконечным, хотя это положение – лишь подразумевается.
Потенциальная энергия точечных частиц уже «актуально» бесконечна, но ее можно не замечать или прибегнуть к перенормировке. При регуляризации энергии вакуума в ограниченном объеме вычитается вклад бесконечной струны и т.д.

По мысли Ильенкова «в материи в целом развитие в каждый конечный момент времени актуально завершено, в ней одновременно актуально осуществлены все ступени и формы ее необходимого развития. Взятая в целом, материя не развивается - она не может утратить ни на один миг ни одного из своих атрибутов, как не может обрести и ни одного нового атрибута» [11, с. 415-416].
Таким образом, для Ильенкова развития нет, есть круговорот, т.е. время бесконечно именно в смысле дурной бесконечности.
В то же время (помним метания Лейбница) развитие для Ильенкова – это, как и у Гегеля, не круговорот, а процесс восхождения от низшего к высшему. И решающий вклад в переход материи от стадии ее умирания к началу нового цикла развития должна внести «мыслящая материя». «Мыслящая материя» когда-нибудь сможет превратить «сколь угодно большие конечные массы остывшей материи в раскаленную туманность». Как же она это сделает?? В соответствии с этой конкретизацией, вернуть «матери-природе огненную юность» мыслящая материя сможет, если ей удастся «разрушить бесконечно малую структурную единицу материи» [11, с. 433]. В результате такого разрушения, предполагает наш автор, «получилось бы пропорционально бесконечное количество высвободившейся при этом энергии».
Более того, неизбежная гибель человечества «рисуется ею не как бессмысленный и бесплодный конец, но как акт по существу своему творческий, как прелюдия нового цикла жизни Вселенной» [11, с. 435]. «Смерть мыслящего духа становится тем самым его Бессмертием... И когда-то вновь в бесконечно далеком грядущем - новые существа, в которых природа разовьет мыслящий дух, будут - как и мы ныне - созерцать сверкающие над небом их Земли звездные миры с гордым сознанием, что эти миры обязаны своим существованием некогда исчезнувшему мыслящему духу, его великой и прекрасной жертве» [11, с. 435].
Можем ли мы принять точку зрения Ильенкова? Увы, нет. Ибо уже дробление протона наталкивается на то, что для выдирания из него кварка нужно приложить такую энергию, которая сама рождает кварки, и новорожденный кварк тут же в них «одевается».
Для того, чтобы понять, как будет эволюционировать Вселенная, нужно рассмотреть ее с точки зрения категорий конечного и бесконечного.

Бесконечное во Вселенной связывают с пространственно-временной формой и с перечислением единичных субстанций.
Г. И. Наан говорил: мы знаем, что Вселенная бесконечна, но не знаем, в каком именно смысле она бесконечна.
В теоретико-множественном подходе бесконечное возникает как процедура перечисления абстракций от единичных субстанций, чисел. То, что эта новая абстракция неразрывно связана с единичным, становится очевидно в статистической физике и квантово-полевых моделях, где бесконечности возвращаются к единичному.

Актуальная бесконечность – это бесконечность «вширь»,  будто Вселенная повсюду устроена одинаково. В другом ракурсе, но подобным же образом рассуждал Архит Тарентский: если подойти к краю Вселенной, можно протянуть руку за этот край, т.е. Вселенная бесконечна вширь актуально, даже не в смысле процедуры отодвигания границы бесконечно больших или малых чисел, а в смысле отсутствия границы, в смысле наличия беспредельности. Если Вселенная всюду одинакова – у нее не может быть края.
Точно так же рассуждал Лукреций Кар, только вместо руки – копьё. Точно так е рассуждал Евклид, его второй постулат гласит: «Всякую прямую можно неограниченно продолжить». Точно так же рассуждал и Гегель – невзирая на диалектику. «Мир нигде не заколочен досками», - писал он [12].

Актуальная бесконечность – это суждение о бесконечной Вселенной как о ее части, т.е. с локальными законами сохранения массы, энергии, которые имеют конечные величины.  Всяком случае, пока такая сложная система, как вселенная, считается однородной и изотропной. На этом зиждется современная космология.
Эксперимент показывает, что свойства элементарных частиц зависят от внешних полей. Т.е. бесконечность вглубь связана с бесконечностью вширь. Но эта зависимость трактуется если не в смысле, то в духе субъективного идеализма или релятивизма.

Существует представление, что Вселенная может быть конечной, но не иметь границ,
Риман отмечал: «При распространении пространственных построений в направлении неизмеримо большого следует различать свойства неограниченности и бесконечности, первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство. То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие, является допущением… в согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, производятся геометрические построения в поисках тех или иных объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем к какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства; напротив, если допустим независимость тел от места их нахождения, т.е. припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной. Если бы мы продолжили кратчайшие линии, начальные направления которых лежат в некотором плоскостном элементе, то получили бы не ограниченную поверхность с постоянной положительной мерой кривизны, т.е. такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многообразии приняла бы вид сферы и, следовательно, является конечной» [13].

Итак, неограниченность пространства еще не есть его бесконечность – у Эпикура бесконечность не тождественная необъятности.
Еще раз возникает вопрос: как, не имея экспериментальных данных, не имея под руками адекватного математического аппарата, чисто интуитивным и логическим путем античные философы (не физики!) умели определять, предполагать некоторые узловые моменты, касающиеся Вселенной?

Отметим, что Риман не доказывает замкнутость Вселенной при наличии положительной кривизны, это математический факт. Он неверно увязывает принцип относительности (независимости тел от места нахождения) с наличием постоянной кривизны, она может быть и отрицательной, Вселенная может быть и незамкнутой. Но так или иначе, в ОТО и в РТГ категория бесконечного не раскрывается. Решение проблемы мнимое, оно сводится к различению свойств протяженности и метричности.

Итак. Вселенная – это процесс генерации всё нового пространства-времени. Таким образом, актуальная бесконечность представляется неадекватной для описания Вселенной, потому физики ее отбрасывают. Непонимание категории бесконечного – основа философии современных физиков-теоретиков.

Физики не понимают и другой момент диалектики – переход количества в качество.
Бесконечное возникает как новое качество конечного.
Должен быть переход количества в новое качество при увеличении Вселенной, поэтому делается вывод, что большие области вселенной не могут обладать одной геометрией, что противоречит экспериментальным данных об однородности Вселенной. Другой вывод – кривизна отрицательна и разбегание галактик сменится сжатием вселенной обратно в точку. Этим ограничивается понимание качественного скачка.

Переход количества в качества возникает и в процессе бесконечности вглубь, но с обратным знаком, т.к. при возникновения более сложных субстанций из более элементарных уже происходили «положительные» качественные скачки. Т.е. дробление есть деградация, исчезновение нового.
Ясно лишь, что 1) поиски «первокирпичика» бессмысленны, 2) делимость материи не есть дурная бесконечность.

С другой стороны, процесс генерации пространства-времени есть процесс генерации формы. Форма не может быть оторвана от содержания. Т.е. жизнь Вселенной – это и постоянная генерация вещества. Т.е. бесконечность материи должна пониматься тоже в смысле процесса.
Из факта конечности массы Вселенной немедленно следует ее замкнутость. Обратное не доказано, но если оно справедливо, что непрерывная генерация массы (не увеличение плотности!)  ведет к тому, что Вселенная, оставаясь замкнутой, перестает быть замкнутой в каждый набор времен по пространству Вселенной.

Последние эксперименты показали, что постоянная Хаббла не увеличивается, плотность Вселенной неизменна, следовательно, ей не грозит ни тепловая смерть, ни коллапс. Но такое состояние не может длиться бесконечно в смысле дурной бесконечности. Вселенная должна перейти в новое качество в рамках физической формы движения материи.

Литература

1. Чаттерджи С., Датта Д. Древняя индийская философия. М. 1954. С. 33.
2. Ян Хин-Шун. Древнекитайский философ Лао Цзы и его учение. М.-Л., 1950. С. 122.
3. Маковельский А. О. Досократики. Ч. III. Казань, 1919. С. 153
4. Эпикур. Письмо Геродоту. В сб. «Материалисты древней Греции». М., 1955. С. 183.
5. Аристотель. III 4-8; Метафизика Х1 10.
6. Декарт Р. Первоначала философии, ч. I.  Сочинения в 2-х тт., т. 1.  М., 1989.
7. Лейбниц. Монадология, 67. Соч. в 4-х тт., Т. 1. М., 1982.
8. Кант И. Критика чистого разума. Сочинения в 6 тт., т. 3. М., 1964.
9. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. В 3 т. Т. 1. М., 1970, C. 178, 172, 202.
10. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1, М., 1970. С. 215.
11. Философия и культура. М.: Политиздат, 1991. 464 с.
12. Гегель. Соч., Т. 2. М.-Л. 1934. С. 43.
13. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии. В сб. «Об основаниях геометрии». М. 1956. С. 322.