Космос математики. Оч. 1

Космос математики. Очерк первый. Три измерения

Аннотация. В результате многолетних наблюдений и исследований автор пришел к выводу, что в современной математике существует три качественных измерения: 1) человеческое (естественное), 2) техническое (искусственное), 3) космическое (универсальное), каждое из которых рассмотрено в данной статье. Рабочая гипотеза, определяющая направление поиска: космос математики – это весь мыслимый порядок мироздания, отраженный в современной науке математике, но вовсе не вся совокупность физических теорий и привязанных к ним математических вычислений и количественных интерпретаций физических процессов в космосе.

С набитым философским рюкзаком возможно лишь медленно восходить на гору математики. Л. Витгенштейн [7]

Единственное, что имеет значение – это алгоритм. И совершенно не важно, кто приводит его в действие: человеческий мозг, электронный компьютер, целое государство индейцев, механическое устройство из колесиков и шестеренок или система водопроводных труб. Р. Пенроуз [27].

Несмотря на весь прогресс науки, перед математиками по-прежнему стоит вечный вопрос: является ли их творчество свободным полетом человеческого гения или же проникновением в тайную структуру окружающего нас мира? В.В. Целищев [39]
1.Вместо введения
1.1. Далее мы будем говорить только о качественном философском измерении математики.
 1.2. В результате многолетних наблюдений и исследований я пришел к выводу, что в современной математике существует три качественных измерения: 1) человеческое (естественное), 2) техническое (искусственное), 3) космическое (универсальное).
1.3. В свою очередь, космическое измерение делится на два явно неравноценных направления: а) антропокосмическое (гипотетическое), б) реально космическое (вероятностное), между которыми нет непроходимых границ. Но в настоящее время, безусловно, доминирует антропокосмическое (гипотетическое) направление, в котором при почти полном отсутствии глубокой рефлексии и моделирования, принято считать, что все наши земные математические теории, аксиомы, законы, объекты, структуры и процессы должны (без сомнения) распространяться на всю доступную исследованию Вселенную.
1.4. Космос математики – это весь мыслимый порядок мироздания, отраженный в современной науке математике, но вовсе не вся совокупность физических теорий и привязанных к ним математических вычислений и количественных интерпретаций физических процессов в космосе.
1.5. Естественно, что определение в п.1.4. – это рабочая гипотеза, определяющая направление поиска. Окончательных определений, как я думаю, в природе не бывает. Есть просто более или менее удачные метафоры, которые создают яркий образ или заманчивую иллюзию правдоподобности (этот пункт математикам лучше не читать и не осмысливать, тем более, нельзя его читать математическим логикам, воображающим, что они философы).
Почему? Объясняю. Многие «ходячие» в науке афоризмы (особенно из тех, что введены в оборот научными знаменитостями или даже гигантами, вроде Гаусса, Гильберта, Фреге, Эйнштейна – просто не выдерживают элементарной философской критики, но, тем не менее, находятся в постоянном научном обороте, и все стремятся их цитировать, полагая, что афористическим светом научного светила они усиливают свою аргументацию. Это всеобщая слабость, широко распространенная в мире науки, и математика вовсе не исключение (о чем мы неоднократно покажем на очень наглядных примерах).
Небольшая ремарка. Если я иногда употребляю местоимение «мы» вместо «я» - это означает, что я надеюсь на наличие в научном мире моих единомышленников, в молчаливом согласии разделяющих мою мировоззренческую и методологическую позицию. Тем не менее, это не более, чем литературно-психологический прием – и в случае «мы» и в случае «я» я выражаю только свою субъективную позицию, аргументируя иногда эту позицию более удачными высказываниями иных персон, чье мнение и убеждения мне симпатичны.
1.6. Возвращаясь к эпиграфам, предваряющим введение в данный очерк.
1.6.1. Л.Витгенштейн, на мой взгляд, говорит о том, что любой философ, переполненный изрядным багажом философских абстракций, дефиниций, теорий и убеждений, не должен опрометчиво бежать к вершине, с которой открывается весь обзор горы математики (а точнее – скал, ущелий, пиков, ледников, хребтов и плоскогорий науки математики), ибо он рискует быстро задохнуться в разряженном воздухе математических абстрактно-символических нагромождений, так и не увидев прекрасного пейзажа, что открывается с вершины при наличии трезвого взгляда и глубокого дыхания.
То есть, говоря прозаическим языком: более адекватное понимание изучаемого нами объекта происходит при медленном, детальном осмыслении, когда мы не спеша продвигаемся к вершине, озираем свой путь и окружающий нас мир внимательным взором системного аналитика, но не взором платониста, выбравшегося из своей пещеры и пытающегося весь белый свет оценить в идеях и понятиях собственной любимой пещеры…
1.6.2. Р.Пенроуз в указанном афоризме о вездесущности и всесилии алгоритма выражает позицию сторонников сильного искусственного интеллекта, считающих, что и человеческая интуиция тоже алгоритмична, что вселенная пульсирует алгоритмично и что мы скоро найдем единственную формулу алгоритмичной пульсации вселенной. Но сам Пенроуз в этом неоднократно сомневается.
1.6.3. Афоризм-вопрощание от В.В. Целищева – это основной вопрос философии математики: творим ли мы её, как Лев Толстой творил роман «Анна Каренина», или мы просто открываем давно сотворенный мир математических объектов, структур и законов их бытия? Последние – идеалисты-платонисты, утверждают, что мир математических идей существует извечно (можно сказать, что это – платоническая версия космоса математики). А первые – скорее, материалисты-конструктивисты и прагматики – говорят, что это наш человеческий вымысел; это достижения истории развития человеческого ума. Кто из них прав – философия математики не может ответить однозначно. Да и сами математики постоянно пребывают в сомнениях, относя себя то в мир идеалистов, то в мир материалистов. Об этом также будет речь далее  - живем ли мы в мире идей или, наоборот, привязываем свои идеи этому реальному миру.
1.7. Как ни странно, о космосе математики  говорят и пишут редко. И сами математики и (что более странно) философы математики. В последние десятилетия появились популярные произведения, где в названии фигурирует и «космос» и «математика». Я имею ввиду две научно-популярные работы: 1) «Наша математическая Вселенная» Макса Тегмарка [33] и 2) «Математика космоса» Иэна Стюарта [32].
В первой, Макс Тегмарк утверждает, что наша внешняя физическая реальность,  является математической структурой, определяемой вычислимой функцией. И более того, он настаивает, что наша физическая реальность – это финитная (конечная) математическая структура. В каком-то смысле к названной работе М.Тегмарка близка научно-популярная монография Ли Смолина «Возвращение времени: от античной космогонии к космологии будущего» [31]. Оба автора (Тегмарк и Смолин) постоянно ссылаются на авторитет Альберта Эйнштейна. Но если Смолин, несмотря на безудержное восхваление великого ученого XX века и «величайшего физика нашего времени», так его величает Ли Смолин, он все же пытается опровергнуть заявление Эйнштейна о том, что понятие времени не существенно для фундаментального описания мира, то Макс Тегмарк в восторге цитирует афоризм (на мой взгляд, с антропологической точки зрения весьма недалекий) Эйнштейна, извлеченный из частной переписки гения о том, что «различие между прошлым, настоящим и будущим – не более чем иллюзия». Мало того, что это афористическое заявление в корне противоречит самой парадигме СТО-ОТО, оно еще и вводит в заблуждение не только легковерных физиков-теоретиков и «чистых» математиков, но весь мировой научный «бомонд». Впрочем, это отдельный большой вопрос, и пока нужно отодвинуть его в сторону, чтобы не потерять заявленную проблему (рассмотрения в первом приближении) космоса математики. Просто ограничусь тем, что магическая эйнштейномания успешно перекочевала из XX века в век XXI, и продолжает свой рост на теле многих научных направлений. Так, помимо того, что отдельные журналисты и философы (например, Кузнецов [14]) сделали из Эйнштейна великого математика, в XXI веке наш замечательный академик К.В. Анохин обильно цитируя афоризмы Эйнштейна в своих научных статьях, пытается превратить его в выдающегося нейрофизиолога и психолога [1].
Все бы ничего, но мир, созданный предприимчивыми журналистами в XX веке, уже изрядно дискредитирует научный стиль мышления и аргументации уже в гигантских масштабах всего здания мировой науки. И пока не видно никаких физических и человеческих сил, которые могли бы противостоять этой мифологической идеализации, интенсивно замещающей элементарное здравомыслие и реально критическое научное отношение к приводимой аргументации в своих теоретических рассуждениях.
Чтобы не быть абсолютно голословным – только один маленький пример: «Эйнштейн был гений не из-за математической сложности своей ОТО (с этой стороной его теории справится большинство математиков и физиков): ему удалось изменить наш взгляд на один из простейших аспектов бытия…» [31].
Задайте себе вопрос: чей «наш взгляд» удалось изменить Эйнштейну, и на какой один из «простейших аспектов бытия»? Чистейшей воды псевдонаучная мистификация.
И.Стюарт [32] описывает, в основном, механику космоса, архитектуру пространства и времени, темную материю и темную энергию, проблему тонкой настройки космоса – и все это называет «захватывающий математический квест на деталях внутреннего мира астрономии и космологии».
Самое ценное в данной работе (опять же – на мой субъективны взгляд) – это взгляд на «хаос в космосе» и мысль о том, что «хаос не случаен – есть скрытые закономерности, лежащие в основе хаоса» [32].
Но все три автора (М.Тегмарк, Л.Смолин и И.Стюарт) практически не уделяют достойного внимания самому космосу математики, а именно – внутреннему порядку внутри математического мира, а не мира внешней физической вселенной.
Ближе всего к космосу математики (из трех вышеназванных авторов) подошел М.Тегмарк, рассматривающий взаимосвязи между фундаментальными математическими структурами, и отобразивший их в схеме рис. 12.1 в [33] «фамильное древо» внутреннего космоса математики, имеющего (по убеждению М.Тегмарка) бесконечную протяженность, ибо на схеме показана лишь небольшая часть у самого основания глубочайшего внутреннего порядка математического космоса.
Ниже я приведу основные выводы М.Тегмарка, касающиеся космоса математики и нашего общего будущего.
1.7.1. Гипотеза математической Вселенной предполагает, что математическое существование эквивалентно физическому.
1.7.2. Все структуры, которые существуют математически, существуют и физически.
1.7.3. Фундаментальной случайности не существует. Случайность – это просто то, как субъективно воспринимается клонирование.
1.7.4. Большая часть случайности, которую мы наблюдаем, является иллюзией, существующей только в глазах наблюдателя.
1.7.5. Вероятно, мы живем не в симуляции.
1.7.6. Мы уделяем ничтожную долю внимания и ресурсов экзистенциальным угрозам.
1.7.7. Будущее жизни во Вселенной, по видимому, будет решено на нашей планете и в течение нашей жизни [33].
Что я думаю по поводу нетривиальных выводов М.Тегмарка.
1.7.1.1. Математическое эквивалентно физическому – это достаточно древняя мысль, уходящая корнями в историю математики глубже времени Платона и Пифагора. Но пока, на протяжении 2500 лет (или 5000 лет) – это только гипотеза. Когда мы приводим любимое математическое высказывание Нобелевского лауреата по физике Юджина Пола Вигнера о непостижимой эффективности математики в теоретической физике, мы всегда забываем об аналогичном, но противоположным по смыслу высказывании математика, академика И.М. Гельфанда о «непостижимой неэффективности математики в биологических науках». Да и при этом забываем, что Ю.П. Вигнер говорил, что «математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы» [цит. по 11]. Согласитесь, здесь присутствует не только «непостижимая эффективность» но и грядущие (уже наступившие) головные проблемы от применения математики не только в теоретической физике, но и во всех сферах существования земной человеческой цивилизации (я имею ввиду, прежде всего, наступление машин и сильного искусственного интеллекта).
1.7.2.1. Все существующие математические структуры, которые существуют – мы знаем только частично и фрагментарно, ибо это  претензия на абсолютное познание бесконечности. Также мы не можем знать всех физических структур – ибо это претензия на завершение процесса познания. Тут древняя претензия на то, что идеальное, буквально полностью совпадает с материальным. Это, естественно, гипотеза. Ибо мы продолжаем открывать и математические и физические структуры. В конце XX века академик Л.Д. Фаддеев уже заявлял: «Мы трудимся над окончательной формулировкой структуры материи, которая будет дана лишь на математическом языке» [35]. Рядом с этим утверждением Л.Д. Фаддеев рассказал «о поучительной беседе, происходившей в поезде Ленинград-Москва, где мой уважаемый коллега Б.Б. Пиотровский назвал меня (т.е., академика Л.Д. Фаддеева) самоуверенным человеком, когда я сказал ему, что для меня математика позволяет предсказывать будущее на основании опыта, накопленного в прошлом нашими предками. Такова разница исторического и математического взглядов на природу и её познание» [35]. Надо сказать, что самоуверенность математиков по отношению к истории, биологии, геологии, философии и другим отраслям научного знания (помимо физики, механики и программирования) просто удивляет их девственной самонадеянностью. Они совершенно игнорируют простой и фундаментальный принцип научного познания материального мира: «Всякая формальная процедура представляет собой лишь некоторую вставку между неформальным началом и неформальным концом» [16].
Вообще, заявление М.Тегмарка об эквивалентности (или полном совпадении)  математических и физических структур очень сильно напоминает философский закон, открытый в начале XX века русским философом Н.О. Лосским: «Всё имманентно всему» [18]. Позднее, в 60-е годы XX века американский философ М.Вартофский трансформировал этот закон (не упоминая об открытии Лосского) в фундаментальную концепцию моделирования, основанную на максиме: «Всё что угодно может быть моделью всего чего угодно» [6].
Если отталкиваться от утверждения М.Вартофского: «В сущности, мы являемся продуктами нашей собственной деятельности: посредством творимых нами репрезентаций мы трансформируем наши собственные формы восприятия и познания, способы видения и понимания» [6].
Разве это утверждение не объясняет поразительную эффективность математики в механике и теоретической физике? Отсюда и рождается репрезентация эквивалентности математического и физического, и постоянное желание математиков: подвергнуть историю и все гуманитарные науки (включая «пышное древо зеленеющей жизни») тотальной формальной редукции.
1.7.3.1. Отрицание фундаментальной роли случайности – также имеет древние корни (в основном – философские). Вечная претензия абсолютного детерминизма, которая в итоге превращается в механистическую модель Вселенной, где всё имеет причину и полностью отсутствует случайность. Чем-то напоминает философию Г.Фреге и некоторых современных математических логиков.
1.7.4.1. Трактовка случайности как иллюзии – это всего лишь очередная попытка перевести проблемность реального мира в мир виртуальный и превратить реальное в воображаемое.
1.7.5.1. Отрицая случайность, М.Тегмарк уповает на вероятность (трудно представить их независимое существование), что мы все таки не виртуальные создания, а существуем в реальном, материальном мире.
1.7.6.1. По поводу экзистенциальных угроз, которые игнорируются человечеством, и, прежде всего, мировым политическим «бомондом» - я полностью разделяю утверждение М.Тегмарка.
1.7.7.1. Если исходить из концепции позднего И.С. Шкловского, сетующего на наше одиночество и нашу уникальность во вселенной, то здесь необходимо согласиться с М.Тегмарком. Если следовать концепции Д.Бруно, то наличие многих разумных миров во вселенной всё равно не оправдывает нашу экзистенциальную тупость и жажду самоуничтожения земной человеческой цивилизации. Сможет ли этот вопрос разрешиться в течение нашей жизни? Здесь трудно дать однозначный ответ, кроме как «надежда умирает последней».
1.8. Почти 90 лет назад русский философ А.Ф. Лосев подготовил к печати объемистую монографию под названием «Диалектические основы математики», которая вышла в свет только к 100-летию со дня рождения автора, т.е., в последние годы XX века под названием «Хаос и структура: диалектические основы математики» [17].
Парадоксально, но факт: в отечественной философии это самая фундаментальная попытка рассмотреть космос – порядок математики с позиции глубокого философского обоснования.
Как отмечает один из современных исследователей, физик П.В.Полуян: «Пифагорейский взгляд на реальность представлен в книге Лосева конкретно и обосновано на высочайшем философском уровне» [28]. Я вполне согласен с такой оценкой «Диалектических оснований математики» Лосева, но только, как говорят философы-фундаменталисты: априори. Потому как за три десятилетия после её появления в научно-философском обороте ни один философ (и тем более – ни один математик) не подвергли её глубокому критическому изучению. Впрочем, это вовсе не удивительно. Как отмечает в предисловии монографии В.М. Лосева (в 1936 году): «Нужно быть очень большим любителем философии, чтобы вникать в эти нескончаемые гирлянды мыслей… «Диалектические основы математики» - тяжелое, громоздкое здание. Эту крепость нельзя взять нашармака, мимоходом… Самая большая трудность для математиков будет заключаться в том, чтобы признать право кого бы то ни было из непрофессионалов-математиков говорить об этой науке» [17].
Как подчеркивает еще один современный исследователь творчества А.Ф. Лосева С.Ю. Коваленко, Лосев ставит задачу выяснить, что такое число с философской точки зрения и, «решив её, дав определение числа, он рассматривает число как чистое понятие, затем число как суждение, умозаключение, доказательство и выражение… Ключевой момент в концепции Лосева – понятие самополагания, самосозидания числа. Лосев исходит из бытийности числа, и рассматривает математику онтологически… Смысл, по Лосеву, несет энергию. Это не физическая энергия, а смысловая. Как утверждает сам Лосев: «Число есть всегда смысловое движение»» [12].
Признаюсь честно, что я тоже до сих пор не смог проникнуть в диалектику математики, или в космос математики А.Лосева. Но предпринимая третью попытку (на это раз – более основательную) основательного прочтения этого труда («Диалектические основы математики»), я надеюсь на более глубокое проникновение в те смыслы, которые развивал и постулировал «иррационально диалектический» философ математики начале 30-х годов XX века.
Но вполне естественно, что в данном цикле очерков, который я поименовал «Космос математики» я намерен излагать свое субъективное видение, свою мировоззренческую позицию, которая нескромно и опрометчиво претендует на постижение необъятного и практически неуловимого космоса математики.
1.9. «Число и время – оба суть животрепещущий пульс бытия; и обе стихии – раньше и первичнее самого бытия; ибо это и есть то, что порождает саму сферу бытия и творит её индивидуально. Число и время – мощь и напряженность бытия, лишенная всего внешнего и случайного; это обнаженное сердце бытия, откуда вечно льются животворные и одушевляющие потоки мировой жизни, откуда творится и сама судьбы бытия и мира» [17].


2. Человеческое (естественное) измерение математики.
2.1. Хронологически или исторически человеческое измерение математики имеет место от истоков возникновения праматематических структур в сознании и мышлении человека (и его предков) и до настоящего времени. Если связывать происхождение математического знания с эволюцией психики и сознания (антропогенез, социогенез, глоттогенез), то вполне целесообразно введение термина палео(архео)математика, обозначающего системное междисциплинарное направление исследований, связанное с развитием ретроспективного моделирования эволюции протоматематических структур мышления посредством тесного взаимодействия антропологов, приматологов, психологов, нейрофизиологов, социологов, историков, лингвистов и прикладных математиков.
2.2. Современные представления, доминирующие в массовом сознании и в научном сообществе, а также особенно в среде философов и математиков, касающиеся генезиса математического мышления, в основном, крайне примитивны, если не сказать, допотопны.
Историки математики, как правило, ведут отсчет формирования математики от V века до н.э., а то и позднее. Типичный пример: «Вавилоняне и египтяне не осознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы, доступные чувственному опыту. Как единое связанное целое и средство познания природы математика есть творение древних греков. Они начали заниматься этим примерно шесть веков до нашей эры. Не сохранилось никаких документов VI-V вв. до н.э., способных рассказать нам, что заставило греков прийти к новому пониманию математики и её роли» [25].
2.3. Историк и методолог математики Е.М. Левич предлагает именовать период, предшествующий древнегреческой математике прематематикой, которая у греков называлась логистикой и которая развивалась сама по себе, ведомая потребностями экономического и технологического развития этой цивилизации [15].
Левич утверждает, что математику часто путают с прематематикой: «Прематематика представляет собой один из видов прагматического познания, в то время как математика – есть определенный вид интеллектуального познания. Математика и прематематика оперируют принципиального разными объектами: «математическими числами» и «прематематическими числами». В Древнем Египте и Древнем Вавилоне было неизвестно математическое число» [15].
На мой взгляд, прематематика – красивый термин, чем-то похожий на метаматематику. Условно, конечно, можно отнести весь исторический период (древних цивилизаций) до VI века до нашей эры к прематематике, но непонятно, каким образом Левич определяет (на основании каких критериев и каких артефактов и свидетельств) отсутствие интеллектуального познания у древних египтян, критян, вавилонян и индийцев? Весьма любопытное деление на прагматическое и интеллектуальное познание чем-то сильно напоминает деление на прикладную математику и чистую математику. То есть, тогда можно предполагать (по Левичу), что у прикладных математиков доминирует прагматическое познание, а интеллектуальное отсутствует?
Все дело в том, что если крайне мало письменных артефактов по определенному историческому периоду (от III тысячелетия до VI века до нашей эры), то это вовсе не означает, что интеллектуалы-прагматики древних цивилизаций были глупее древних греков. Более того, древние греки во многом позаимствовали математические, философские знания (и далеко не только теорему Пифагора, число Пи и сам древнегреческий алфавит) позаимствовали как раз у этих прагматических прематематиков, у которых якобы отсутствовало интеллектуальное познание.
Более того, я считаю, что прематематика имеет гораздо более глубокие корни. Реконструкция палеолитической деятельности и мышления Homo Sapiens на основе археологических артефактов говорит о том, что весь верхний палеолит «пронизан» прагматическим прематематическим познанием. Поэтому я считаю целесообразным введение термина «палеоматематика» (синоним – «археоматематика»). Об основаниях такого утверждения мы будем говорить во втором очерке «Космоса математики», который носит название «Истоки».
2.4. Как отмечает философ математики Н.В. Михайлова: «Математика – не только описание абстрактных конструкций, но также и феномен человеческой культуры» [19].
По определению Н.В. Михайловой: «Современная математика – сложная самоорганизующаяся система, для которой невозможно дать полное методологически исчерпывающее описание… Математика является по существу самокорректирующимся процессом. Именно эта природа дает профессионалам-математикам уверенность в том, что принимаемые математической наукой теории более правдоподобны, чем другие потенциально возможные» [20].
2.5. Изучая историю математики XX века, неизбежно склоняешься к мнению, что современная математика (весь XX век и первые десятилетия XXI века) находится в состоянии перманентного пульсирующего кризиса, часто незамечаемого изнутри самой науки, потому как отмечал Д.Блур: «Изменчивость и многообразие математической мысли часто маскируется. Одна из маскирующих тактик уже была упомянута. Она состоит в бескомпромиссности, с которой делается утверждение, что стиль мышления только тогда заслуживает называться математикой, когда приближается к нашему собственному» [4]. Такую роль бескомпромиссного доминирования в мировой математике первой половины XX века играл Д.Гильберт, а в советской математике (чуть позднее) – играл А.Н. Колмогоров. Последствия таких «узурпаций» как правило, никем не анализируются: ни математиками, ни философами математики, оставаясь темой кулуарных откровений.
2.6. Эту «гильбертову доминанту» хорошо сформулировал философ математики А.Фосс: «Знание математика также несовершенно, все вновь возникают вопросы, на которые ответа нет, и, по-видимому, не будет. Но нами руководит ни разу до сих пор не поколебленное убеждение, что разум должен быть способен ответить на вопросы, возникающие исключительно из его же, им самим созданного царства» [36].
2.7. Шестьдесят лет назад выдающийся французский математик Жан Дьедонне, оценивая и анализируя состояние современной математики (50-60-х гг. XX века) пришел к весьма любопытному заключению: «Иногда (даже среди молодежи) выражают опасения, что мощные тенденции к полному срастанию различных ветвей математики могут в конце концов привести к самопоражению вследствие явной неспособности разума добиться одновременно надежного и полного охвата столь многих разных идей и теорий. К счастью, можно заметить, что как это уже случалось в аналогичные времена «Бури и натиска» истории нашей науки, пугающее разнообразие новых концепций, естественно, порождает ответную реакцию к укрощению этого хаоса. … Конечно, как всегда, приходится платить за это большей «абстрактностью». Однако, как теперь уже твердо установлено, то, что крайне абстрактно для одно поколения математиков, тривиально для следующего, и гневные крики еще слышные по временам, обычно исходят от пожилых людей, явно опасающихся не поспеть за молодежью» [8].
В настоящее время, спустя 60 лет, можно сказать, что оптимист Ж.Дьедонне был прав только отчасти.
Потому как искусственный интеллект (до 1969 года еще не было этого общепринятого термина) в 50-60-е гг. XX века делал первые шаги, и трудно было увидеть грядущие последствия экспансии искусственного интеллекта. Но в последние 35 лет (по моей субъективной оценке, совпадающей с мнением многих экспертов по проблемам соотношения математики и искусственного интеллекта) ситуация кардинально изменилась, как в самой математике (мировой системе математики), так и в мировой системе кардинально эволюционирующего искусственного интеллекта.
Как выразил эту мысль в одном интервью академик В. Козлов: «Мне многое не понятно, если речь идет о тех областях математики, которыми я плотно не занимаюсь» [13].
Еще точнее подчеркнул эту тенденцию в науке математике философ математики А.Г. Барабашев: «При современном объеме исследований более 95% результатов вообще не востребованы и не цитируются… Специализированные коллективы математиков вынуждены верить друг другу. Доверие (не математическая материя) становится определяющим фактором установления истинности математических суждений» [22].
Вы заметили? Доверие, а не доказательство!.. Идея Гильберта-Бурбаки – привести здание математической науки ко всеобщему знаменателю, как никогда далека от своего воплощения.
А ведь еще в 70-е годы XX века швейцарский философ и математик Питер Хенрич отмечал необходимость новой системы ценностей в математике: «Система ценностей должна поощрять обмен, передачу и накопление математической информации, должна позволить излагать математику человеческим языком вместо использования составляющих из математических символов ребусов» [38].
Забавно, что у нас давно и успешно развивается математическая психология [9].
Но до сих пор отсутствует психология математики и математического творчества. Похоже, что до сих пор мировая математика находится под очарованием высказывания пастора панлогики Готлоба Фреге: «Психология не должна воображать, что она может внести какой-то вклад в обоснование арифметики. Для математиков как таковых эти внутренние образы, их происхождение и изменение безразличны» [37], не говоря о том, что этот амбициозный логизатор всю жизнь мечтавший стать философом №1 и превзойти И.Канта, еще утверждал, что «мышление всюду одинаково», наверное, он имел ввиду будущий искусственный интеллект?
2.8. Тенденция тотального устранения естественного человеческого интеллекта из математики уже видна «невооруженным глазом». На смену грядет искусственный математик, он же искусственный интеллект. При сохранении существующих тенденций через два десятилетия математики станут «вольными художниками», а в лучшем случае, «подручными» искусственного интеллекта. Может быть, в этом нет ничего страшного, и это будет симбиоз машин-киборгов, супербольших компьютеров и скромных носителей человеческого математического знания. Но, скорее всего, нужно просчитывать более пессимистические варианты и модели устранения человеческого интеллекта.
3. Искусственное (техническое) измерение математики.
3.1. Техническое или искусственное измерение математики, в значительной степени, следствие развития западно-европейской промышленной цивилизации. Не касаясь глубоких корней и предыстории, скажем, что два главных импульса это измерение получило во второй половине XVIII века и во второй половине XIX века. В XX веке – это уже направленное развитие, резко увеличившееся в 50-60-е гг. в связи с развитием кибернетики, и получившее максимальный импульс в 90-е гг. XX века.
3.2. Одна из основных тенденций развития этого измерения математики – это стремление максимально нивелировать субъективное, личностное начало в математике.
Как формулирует философ математики Б.Л. Яшин: «Поиски Лейбницем «универсальной характеристики» как операциональной символической системы и «всеобщей математики» вместе с идеей «универсального языка», в котором бы нивелировались семантические и синтаксические недостатки языка естественного, и который стал бы «своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получить уже (из) известных истин новые истины путем точных вычислений», в дальнейшем привели к созданию символической математической логики и теории исчислений» [41].
Как отмечал советский философ И.С. Нарский: «Замысел Лейбница был сам по себе величественным: включить чувственный опыт в царство разума, растворить эмпирическое в рациональном и тем самым добиться идеала, при котором «все может быть доказано» [23].
Впоследствии, лейбницевская идея независимости от чувственного опыта – интенсивно развивалась целым рядом философов, математиков и логиков в XVIII и XIX веках, а в XX веке стала знаменем позитивизма и неопозитивизма.
3.3. В 70-е годы XX века венгерский математический логик Имре Ружа считал, что «основы логики и математической логики были заложены Аристотелем в IV веке до нашей эры. Но в течение двух тысяч лет логика не находила широкого применения из-за слабого развития математики. И только Г.Лейбницем была выдвинута идея усовершенствования логики. Ему не исполнилось и 20 лет, когда в Dissertatio de arte combinatoria он высказался за необходимость применения универсального научного языка. Для этого было необходимым развитие универсального метода мышления, с помощью которого могут быть решены все проблемы, выражаемые с помощью универсального языка. Но своих утопических научных планов он не осуществил» [30].
3.4. Помимо А.Пуанкаре, серьезным противником тотальных претензий математической логики был также Л.Брауэр, считавший логику механической имитацией языка и отвергавший её право быть «инструментом для добывания математических истин» [26].
3.5. Советские философы математики в 80-е годы XX века (особенно так называемые «фундаменталисты») также поддерживали точку зрения Г.Фреге на изгнание психологии и субъекта из математики (тенденция максимальной формализации) и утверждали, что «преодоление глубокого личностного понимания количественных отношений, становления их последовательно рационального восприятия – в результате чего человеческий мир предстает как мир вещей, находящихся в совершенно свободных от личностного, антропоморфного начала объективных вещных отношений» [10].
3.6. Математический логик Ю.И. Янов утверждает, что «понятие «реальный мир» потеряло свою однозначность и фактически обозначает целый спектр виртуальных миров» [40].
По его мнению, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл стало очевидно, что «не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, а естественно-научные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от интерпретации. В то время, как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий» [40].
Самое любопытное – это строгость аргументации, к которой прибегает «претендент» на абсолютную истину: «Если спросить человека далекого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны… Математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что дает основание считать её теоремы абсолютно истинными» [40].
3.7. Академик Лев Беклемишев (один из лидеров российской математической логики) считает, что «математические утверждения, доказательства – это объекты совсем другой природы, несвойственные математике XIX века и более глубокого прошлого» (?! – А.В.). И только в конце XIX и начале XX века, когда родилась математическая логика, математические рассуждения сами по себе стали точным математическим объектом, который можно также анализировать средствами самой математики» [3]. В интервью, которое называется «Математическая логика – это мост между математикой и гуманитарным знанием», наш выдающийся математический логик говорит: «У логики, конечно, больше применений в компьютерной науке, в теоретической информатике, чем в традиционной математике» [3]. Видимо, теоретическая информатика и её компьютерные приложения это и есть гуманитарное знание.
3.8. Р. Пенроуз, утверждавший «всемогущество и вездесущество алгоритма» позволяет себе сомневаться: «Ни один алгоритм, независимо от сложности его структуры, не может сам по себе воплощать настоящее понимание – вопреки утверждениям поборников сильного искусственного интеллекта» и приходит к выводу: «Сами по себе алгоритмы не доказывают математическую истину. Решение о правомерности использования каждого алгоритма должно всегда приходить извне» [27].
3.9. Философ математики Б.Л. Яшин считает, что «очевидно (сегодня), что предельные математические абстракции требующие однозначности, уводят человека из мира реального в искусственные миры, все более отдаляя его от природы, общества и самого человека» [42].
В итоге своих размышлений, он приходит к заключению о необходимости перехода к новой парадигме.
3.10. Боюсь ошибиться, но итог скорее всего однозначен (если не произойдет каких-то глобальных научных и общественных трансформаций): полный переход в математику искусственного интеллекта и полнейшее упразднение социального института человеческой математики.
4. Космическое (универсальное) измерение математики.
4.1. В.В. Налимов полагал, что «через математическую структуру можно по-новому увидеть мир» [22]. Возникает вопрос: сколько структур и сколько моделей мы можем создать для того, чтобы проявить реальную или объективную картину мира, отражающую реальную физическую действительность Вселенной, в которой мы живем?
Ниже я привожу фрагмент из работы советского философа и методолога науки 70-х годов XX века А.М. Мостепаненко: «… Если даже предположить, что особенности нашей Вселенной в существенной мере обусловлены случайностью, например, квантовой неопределенностью, присутствующей на начальных этапах эволюции, то исходя из идеи неисчерпаемости все же можно предположить, что существуют другие Вселенные, в которых реализовались иные потенциальные возможности (для иллюстрации подобного подхода можно обратиться к интерпретации квантовой механики, данной Эвереттом, в которой предполагается, что в момент редукции волновой функции Вселенная расширяется на бесчисленное множество копий). Случайные явления тем и характерны, что они всегда носят массовый мультипликативный характер. Вероятностная природа Вселенной естественным образом согласуется с её системностью и неисчерпаемостью» [21].
Предположим, что исходя из этих теоретико-методологических предпосылок (неисчерпаемость и мультипликативность массовых случайных явлений Вселенной), мы можем задать невероятно большое число структур и геометрий, моделирующих и репрезентирующих все гипотетически возможные Вселенные. Что это нам даст для понимания смысла человеческого бытия в мире (если мы не отрицаем изначально, что это смысл все таки существует)?
Способна ли современная математика задать себе этот вопрос и даст ли на него действительно разумный ответ?
4.2. Как утверждает в работе «Бесконечная математика» Эмили Рил: «Расширение теории категорий на бесконечные измерения открыло путь к новым теориям и неожиданным связям между математическими концепциями… Формируется в некоторых областях математики общее мнение, что «естественная среда обитания» математических объектов XXI века – это бесконечные (бесконечностные-? АВ) категории, по аналогии с ролью классической теории категории в XX веке. Надеемся, что со временем наше сознание смирится с головокружительным многообразием преобразований в бесконечностных категориях (в ;-категориях) и оно спокойно займет свое место в коллективном математическом бессознательном» [29]. Здесь возникает целый ряд вопросов и первый из них, что такое «коллективное математическое бессознательное»? Можно ли обнаружить его в реальности и описать математическим языком? Второй вопрос: что дают нам в итоге «головокружительные многообразия преобразований» кроме ухода в виртуальные реальности? Третий вопрос: каков смысл бесконечного усложнения категорий, структур, многообразий и прочих лишенных земного смысла абстракций, предельно затемняющих понимание модельного отражения реальности?
4.3. Продолжая тему бесконечности категорий и коллективного математического бессознательного.
Р.Пенроуз рассуждает: «Может наступить момент, когда определение множеств становится настолько сложным и концептуально шатким, что вопрос об истинности или ложности относящихся к ним математических выражений становится скорее субъективным и зависящим от мнения исследователя, нежели «ниспосланным свыше» [27].
В данном случае Р.Пенроуз отталкивается от своей платонической платформы, утверждающей, что «в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование – по крайней мере для наиболее глубоких математических конструкций, имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности» [27].
Но нетрудно обнаружить и в случае «бесконечной математики» и в случае «вечного существования математических конструкций» весьма схожий полет вполне обычных человеческих фантазий, основанных на владении изощренным понятийно-абстрактным аппаратом математической техники и символики.
4.4. Макс Тегмарк полагает, что наш физический мир в некотором смысле и есть математика. Наш мир не только описывается математиком, он и есть математика, делающая нас самосознающими частями гигантского математического объекта [33].
На мой взгляд, все три версии (Э.Рил, Р.Пенроуз и М.Тегмарк) – это крайняя форма ухода в глубины субъективного конструируемой виртуальной реальности.
В случае М.Тегмарка – тотальная симуляция реальности, похожая на установку полного отрицания земной человеческой реальности. Утопии Т.Мора и Т.Кампанеллы просто отдыхают.
4.5. Конечно, я вовсе не считаю, что М.Тегмарк предлагает всем раствориться в симуляции. У него немало позитивных мыслей, касающихся опасности искусственного интеллекта и стратегии человеческого поведения в отношении искусственного интеллекта и развития науки [34].
4.6. В отношении высказывания Р.Пенроуза – тоже мнение об идеализации математики с элементами крайнего платонизма – далеко не исчерпывают его многогранного научного творчества. Но восторги платонизма постоянно звучат в его научно-популярном произведении «Новый ум короля» [27]. На мой взгляд, платонизм – это следствие неискорененной устремленности человеческого ума в воображаемые миры, где игры воображения дарят ощущение эйфории. Реальность физического мира, как правило, более прозаична и редко позволяет испытывать состояние эйфории, и оттого – не будоражит воображение и не рождает идеальных конструкций.
4.7. Итак, подведем первые итоги. В космическом (универсальном) измерении математики доминируют два направления. Первое я определяю как антропокосмическое (гипотетическое) – это все наши предположения о том, что наша земная математика имеет вселенскую природу и распространяется на все существующие вселенные. Смысл такого рода теорий и предположений  пифагоро-платоновский или платоно-пифагорейский (кому какое звучание нравится). На этом направлении в основном и строится современная физическая картина мира и большая часть космологических теорий.
Второе направление – это естественная реальная космическая математика, о которой мы можем только строить гипотезы, без категорических утверждений и без экстраполяции этих гипотез на все миры.
Возможно, что космосу принципиально не присуща и не нужна математика (в нашем человеческом понимании). Возможно, что все процессы в космосе осуществляются спонтанно, без всякой телеологии, и все наши математические и физические законы, включая антропный принцип – это человеческие земные изобретения, обусловленные развитием земного разума.
И потому теории и гипотезы реальной математики космоса фундаментально вероятностны. Отсюда напрашивается простой вывод, что вся наша земная математика также фундаментально вероятностна, а все попытки втиснуть её в теоретико-множественные подходы, в жесткие формализмы математической логики, в аксиоматический априоризм и в доказательные утверждения якобы абсолютных математических истин – это есть крайне примитивная редукция нашей земной приземленности, которой не помогает ни платонистская фантазия, ни пифагорейский тоталитаризм.
Говоря о фундаментальной вероятности космоса математики, я имею ввиду понимание вероятности в смысле А.Пуанкаре, а не теорию вероятности Колмогорова, построенную на трех аксиомах и теории множеств.
5. Заключительные замечания.
5.1. Около ста лет назад М. Смолуховский отмечал: «Несмотря на это громадное расширение её поля притязания, строгий анализ   принятых за основу теории вероятностей добился лишь незначительных успехов. И сегодня еще вполне действительно положение, что ни одна другая математическая дисциплина не построена на столь неясных и шатких основаниях. Различные вопросы отвечают на главные вопросы о субъективности или объективности понятия вероятности, об определении случайности и т.д. диаметрально противоположно» [цит. по 24].
Думаю, что за прошедшие сто лет в теории вероятностей появилось еще больше путаницы и диаметрально противоположных установок и подходов. В этом отношении, я вполне согласен с А.П. Огурцовым утверждающим, что «в современной физике и в современной философии существуют различные интерпретации вероятности, что существовали и существуют различные способы метафизического обоснования исчисления вероятностей» [24].
5.2.Несмотря на развитие математической теории вероятностей и новые интерпретации вероятности в философии и теоретической физике, универсальная роль вероятности в научном познании, о которой говорил Э.Борель [5] так до сих пор и не играет доминирующей роли, как в целом, в научном познании, так и в универсальной структуре математической науки.
5.3. Также до сих пор трудно различимы в современной математике, во многих её ответвлениях и приложениях репрезентации смысла и бессмыслицы, потому как бессмыслица вполне правдоподобно имитирует смысл именно в символической и абстрактной форме.
5.4. Как социальный институт, современная мировая математика, находится под сильнейшим влиянием всей мифологии и идеологии социального окружения, и в ней укоренились многие негативные тенденции, накопленные за последнее столетие: наличие центров, диктующих свои правила поведения и социального признания достижений математиков по своему субъективному усмотрению; почти безусловное доминирование «англоязычной математики»; сегрегация и дискриминация периферийных математических «этносов».
5.5. И самое удивительное – это крайне нерациональное и неэффективное функционирование земного порядка-космоса математики, производящего «математическую продукцию» на 95% ради собственного удовольствия…
Впрочем, как ни странно, такой же коэффициент полезного действия у философов, теоретических физиков, литературных критиков и футбольных комментаторов.
Есть подозрения, что у сильного искусственного интеллекта может сохраниться такой же КПД (не более 5% от потенциальной мощности). Думаю, что эта гипотеза заслуживает дальнейшего изучения и моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Анохин К.В. Когнитом: в поисках фундаментальной нейронаучной теории сознания //Журнал высшей нервной деятельности им. И.П. Павлова. 2021. Т. 71. № 1. С. 39-71.
2. Барабашев А. Г., Баранцев Р. Г., Вечтомов Е. М., Клещёв Д. С., Ленски В., Ненашев М. И., Перминов В. Я., Чермных В. В., Шатров А. В., Шемякинский В. М., Юлов В. Ф. Круглый стол «Математика и реальность» // Вестник ВятГУ. 2011. №1-1. С. 6-27.
3. Беклемишев Л. Математическая логика ; это мост между математикой и гуманитарным знанием [Интервью 13.10.2022] / Беседовала Н.Лескова. Режим доступа:   (Дата обращения: 14.05.2024)
4. Блур Д. Знание и социальное представление. Глава 6. Возможна ли альтернативная математика. Перевод И . Напреенко // Социология власти. 2012.06-07. С. 150-177.
5. Борель Э. Вероятность и достоверность. Пер. с фр. 3-е изд. – М.: Наука. 1969. 110 с.
6. Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание. Пер. с англ. – М.: Прогресс, 1988. – 507 с.
7. Витгенштейн Л. Философские работы. Часть 1. Пер. с нем. М.: Гнозис, 1994. — 612 с.
8. Дьёдонне Ж. Современное развитие математики. Пер с фр. // Математика (периодический сборник переводов иностранных статей). М., «Мир», 1966. № 3
9. Журавлев Г.Е. Системные проблемы развития математической психологии. – М.: Наука. 1983. 289 с.
10. Кадыржанов Р. К. Философский анализ развития математики в контексте человеческой культуры //  Закономерности развития современной математики : методологические аспекты / Р. К. Кадыржанов, А. Н. Нысанбаев // Акад. наук СССР, Центр. совет филос. (методол.) семинаров при президиуме АН СССР ; отв. ред. д-р филос. наук М. И. Панов. - Москва : Наука, 1987. С .279-287.
11. Клайн М. Математика. Утрата определенности. Пер. с англ. – М.: Мир. 1984. 434 с.
12. Коваленко С.Ю. "Невозможные фигуры" А.Ф. Лосева // Credo New. 2021. № 3 (107).
13. Козлов В.  Математика – очень эмоциональная наука [Интервью 31.05.2022] / Беседовапа Н.Лескова. Режим доступа: (Дата обращения: 12.05.2024).
14. Кузнецов Б.Г. Этюды об Эйнштейне. 2-е изд., перераб и доп. – М.: Наука, 1970. 495 с.
15. Левич Е.М. Исторический очерк развития методологии математики. - Иерусалим, 2008. - 222 с.
16. Лем С. Сумма технологии. Пер. с польск. М.: АСТ, Terra Fantastica, 2002. - 669 с.
17. Лосев А. Сочинения в 9-ти томах. Т. 6. Хаос и структура. М.: Мысль, 1997. — 833 с.
18. Лосский Н.О. Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция. – М.: Республика, 1995.
19. Михайлова Н.В. Философско-методологические основания постгеделевской математики. - Мн. : МГВРК, 2009.
20. Михайлова Н.В. Современная математика как самоорганизующаяся система // Наука и инновации. 2014. №131. С. 66-68.
21. Мостепаненко А.М. Проблема многообразия миров в современной космологии : В кн. Астрономия. Методология. Мировоззрение. – М.: Наука. 1979. С. 214-223.
22. Налимов В.В. В поисках иных смыслов. – М.: Прогресс, 1993. – 280 с.
23. Нарский И. С. Лейбниц. – М.: М.: Мысль, 1972. - 239 с.
24. Огурцов А. П. Метафизика и способы обоснования исчисления вероятностей (разрозненные заметки) // Идеи и идеалы. 2010. С. 110-133.
25. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. 2-е изд., испр. – М.: МГТУ им. Баумана. 2006. 648 с.
26. Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984. 223 с.
27. Пенроуз Р. Новый ум короля. Пер. с англ. М.: Едиториал УРСС, 2003.  339 с.
28. Полуян П.В. Квантовое сознание или мысль-материя? // Квантовая Магия. 2004. Т. 1, вып. 3. С. 3201-3210. Режим доступа:  http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL132004/p3201.pdf
29. Рил Э. Бесконечная математика. Пер. Д.С. Хованский // В мире науки. 2022. 4. С. 60-69.
30. Ружа И. Математическая логика В кн. Малая математическая энциклопедия / Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревес П., Ружа И.– Будапешт: Издательство Академии наук Венгрии. 1976. С. 630-670
31. Смолин Ли. Возвращение времени. От античной космогонии к космологии будущего. Пер. с англ. – М.: Издательство «CORPUS», 2014. 377 с.
32. Стюарт И. Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную. Пер. с англ. - М.: Альпина Паблишер, 2018. 542 с.
33. Тегмарк М. Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности. Пер. с англ. М.: Corpus (АСТ), 2017. 310 с. - (Элементы).
34. Тегмарк М. Давайте поставим более высокую цель, чем свалка истории // Искусственный интеллект – надежды и опасения : сборник : пер. с англ. / под ред. Джона Брокмана. – М.: Изд-во АСТ, 2020. С. 117-130
35. Фаддеев Л. Д.  Математический взгляд на эволюцию физики // Природа, 1989. 5. С. 11–16.
36. Фосс А. Сущность математики. Пер. с нем. - М.: Изд-во "Либроком", 2009. - 120 с.
37. Фреге Г. Основоположения арифметики. Логико-математическое исследование о понятии числа. Перевод В.А. Суровцева. — Томск: Водолей, 2000. — 64 с.
38. Хенрич П. Точка зрения преподавателя прикладной математики // Математика наших дней: сб. – М.: Знание. 1976. С. 50-64. (Серия «Математика и кибернетика, 12).
39. Целищев В.В. Все есть число? // Вокруг света. 2008. Режим доступа: https://www.vokrugsveta.ru/vs/article/6304/  (Дата обращения: 1.02.2024)
40. Янов Ю.И. Математика, метаматематика и истина // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2006. 077. 32 с.
41. Яшин Б. Л. Взаимовлияние математики и философии (исторический экскурс) // Проблемы онто-гносео-логического обоснования математических и естественных наук. Курск: КГУ, 2015. Вып. 7. С. 46-55.
42. Яшин Б.Л. Философские проблемы математики: история и современность. – М./Берлин: Директ-медиа, 2018. 209 с.

Опубликовано:  Винобер А.В. Космос математики. Очерк первый. Три измерения / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2024 № 5 (70). С. 11-38.