Великий обман
В фольклоре политических выступлений часто цитируется высказывание, что, мол, можно долго обманывать небольшое число людей или недолго – большое; но совершенно невозможно долго обманывать очень большое число людей.
Это высказывание ложно.
Как показала история математики, можно обманывать в течение тысячелетий почти всю цивилизованную часть человечества. И речь идёт не о вещах, изначально сомнительных (например, о религиозно-идеологическом учении); нет, великий обман случился в самой точной науке и в самых строгих рассуждениях – в математике и в математических доказательствах.
Дело в том, что именно в рассуждениях, называемых «доказательствами», и содержится обман.
По масштабам и долговременности этот обман вполне сравним с религиозным; по крайней мере, он лет на триста старше христианства.
Все, кто изучал геометрию, были обмануты «отцом аксиоматического метода»*.
Дело в том, что при доказательстве любой теоремы формулируется одно, а доказывается совершенно другое.
Начиная с времён Евклида, типичная математическая теорема имеет вид импликации: "если U, то W",
U —> W.
Доказательство - это цепочка предложений:
B1, B2, ..., Bn,
где Bi - это либо аксиома, либо предложение, полученное из предыдущих с помощью применения логических правил вывода.
В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение, т.е. последним предложением там должно быть
U —> W.
Но на самом деле со времён Евклида там это предложение не стоит.
Окончание в http://proza.ru/2024/07/17/507
________
*"Отцом аксиоматического метода" считается древнегреческий математик,
Евклид из Александрии (примерно 325 — 265 годы до н.э.).
Приложение
Интересный отзыв читателя на эту заметку.
Читатель считает, что, во-первых: у Евклида нет доказательств (то есть нет и аксиоматического метода); во-вторых: у Евклида все—таки были доказательства, но с помощью всего одной аксиомы и циркуля и линейки.
Рецензия на «Чуть-чуть о логике, часть 5. Великий обман» (Петр Савватеев)
Смело, зубасто, но Евклид этих доказательств не писал.
А весь вами называемый аксиоматический метод основан
был на постулате, что между двум точками можно провести
только одну прямую линию. Далее следовали методики
применения циркуля и линейки... И представляете, это до сих пор работает!
Иван Цинк 04.07.2024 16:31
-------
Фото из Интернета. Евклид и его "Элементы"
© Copyright: Петр Савватеев, 2024
Свидетельство о публикации №224070400235
Свидетельство о публикации №224070400235
Рецензии
Теперь доказывается что обман и даже самообман нужны в жизни, ибо истина и правда стали опасными составляющими. Есть литература по теме.
В математике это не обман, а заблуждения математиков, иногда казусы и даже демагогия. В геометрии есть понятие ТОЧКА. Они говорят что это математический объект, не имеющий размеров. В то же время любой отрезок линии, плоские и объемные фигуры представляются как бесконечное множество этих точек. Они имеют уже размеры - длина, площадь, объем. Размер в них появляется как черт из табакерки - таинственным образом. Ни один математик еще не объяснил этот парадокс. На Прозе уже была бесплодная дискуссия.
Алекс Савин 13.06.2025 09:30 • Заявить о нарушении
В математике это не обман, а заблуждения математиков, иногда казусы и даже демагогия. В геометрии есть понятие ТОЧКА. Они говорят что это математический объект, не имеющий размеров. В то же время любой отрезок линии, плоские и объемные фигуры представляются как бесконечное множество этих точек. Они имеют уже размеры - длина, площадь, объем. Размер в них появляется как черт из табакерки - таинственным образом. Ни один математик еще не объяснил этот парадокс. На Прозе уже была бесплодная дискуссия.
Алекс Савин 13.06.2025 09:30 • Заявить о нарушении
Здравствуйте, Алекс!
Спасибо за внимание к моим заметкам и добрый отклик.
Я заметил, что мои миниатюры с математическим содержанием, опробованные мной на лекциях в течение многих лет в виде возбуждающих интерес вставок, всегда с интересом встречавшиеся студентами, читателями «Прозы.ру» воспринимаются иногда с трудом.
Поэтому некоторые такие тексты для удобства восприятия я разбил на части.
Но вторую, заключительную часть «Великого обмана», Вы, Алекс, к сожалению, и не посмотрели.
О длине, площади и объеме.
«Размер в них появляется как черт из табакерки — таинственным образом. Ни один математик еще не объяснил этот парадокс».
Вообще-то в прежние времена (когда не было ЕГЭ, а в школе было три экзамена по математике: письменный, по алгебре устный и по геометрии устный) все школьники знали, что такое длина отрезка, площадь фигуры и объем тела.
Эти три понятия никак не связаны с тем, что линия (фигура и тело) — это множество точек.
Длина отрезка, например, это всего лишь функция, заданная на множестве отрезков с областью значений на всём множестве неотрицательных действительных чисел, причем эта функция согласована с отношением равенства отрезков и обладает свойством аддитивности.
Никакого парадокса (неожиданного противоречия) здесь нет и в помине.
У прежних школьников среди экзаменационных вопросов по геометрии был и такой: «Докажите, что функция «длина отрезка» существует».
Уже в высшей школе человек, выбравший профессию, связанную с математикой, узнавал, что не каждая линия имеет длину, не каждая фигура имеет площадь и не каждое тело имеет объем.
Но это уже будет потом, а определение длины линии (в том числе доказательство, что окружность имеет длину) тоже было в школьном курсе.
В том, что существуют неспрямляемые кривые, неквадрируемые фигуры и некубируемые тела, тоже нет ничего парадоксального; область определения числовой функции тоже может не совпадать со всем множеством R.
«Ни один математик еще не объяснил этот парадокс. На «Прозе» уже была бесплодная дискуссия».
Мне тоже показалось, что на «Прозе.ру» иногда ведётся дискуссия, в которой участники не удосуживаются уточнить предмет спора, даже вспомнить то, часто элементарное, что они должны были знать ещё из школы, и как-то бездумно «кроют» друг друга цитатами из Википедии.
Конечно, такая «дискуссия» гарантированно бесплодна.
Ещё раз спасибо за внимание.
С самыми теплыми пожеланиями в жизни и творчестве.
С уважением,
Петр Савватеев 13.06.2025 10:58 Заявить о нарушении
Спасибо за внимание к моим заметкам и добрый отклик.
Я заметил, что мои миниатюры с математическим содержанием, опробованные мной на лекциях в течение многих лет в виде возбуждающих интерес вставок, всегда с интересом встречавшиеся студентами, читателями «Прозы.ру» воспринимаются иногда с трудом.
Поэтому некоторые такие тексты для удобства восприятия я разбил на части.
Но вторую, заключительную часть «Великого обмана», Вы, Алекс, к сожалению, и не посмотрели.
О длине, площади и объеме.
«Размер в них появляется как черт из табакерки — таинственным образом. Ни один математик еще не объяснил этот парадокс».
Вообще-то в прежние времена (когда не было ЕГЭ, а в школе было три экзамена по математике: письменный, по алгебре устный и по геометрии устный) все школьники знали, что такое длина отрезка, площадь фигуры и объем тела.
Эти три понятия никак не связаны с тем, что линия (фигура и тело) — это множество точек.
Длина отрезка, например, это всего лишь функция, заданная на множестве отрезков с областью значений на всём множестве неотрицательных действительных чисел, причем эта функция согласована с отношением равенства отрезков и обладает свойством аддитивности.
Никакого парадокса (неожиданного противоречия) здесь нет и в помине.
У прежних школьников среди экзаменационных вопросов по геометрии был и такой: «Докажите, что функция «длина отрезка» существует».
Уже в высшей школе человек, выбравший профессию, связанную с математикой, узнавал, что не каждая линия имеет длину, не каждая фигура имеет площадь и не каждое тело имеет объем.
Но это уже будет потом, а определение длины линии (в том числе доказательство, что окружность имеет длину) тоже было в школьном курсе.
В том, что существуют неспрямляемые кривые, неквадрируемые фигуры и некубируемые тела, тоже нет ничего парадоксального; область определения числовой функции тоже может не совпадать со всем множеством R.
«Ни один математик еще не объяснил этот парадокс. На «Прозе» уже была бесплодная дискуссия».
Мне тоже показалось, что на «Прозе.ру» иногда ведётся дискуссия, в которой участники не удосуживаются уточнить предмет спора, даже вспомнить то, часто элементарное, что они должны были знать ещё из школы, и как-то бездумно «кроют» друг друга цитатами из Википедии.
Конечно, такая «дискуссия» гарантированно бесплодна.
Ещё раз спасибо за внимание.
С самыми теплыми пожеланиями в жизни и творчестве.
С уважением,
Петр Савватеев 13.06.2025 10:58 Заявить о нарушении
* Без понятия функция, аддитивность и прочих математических терминов вы можете объяснить не математику что такое точка?
* Почему отрезок линии, состоящий из бесконечного множества точек, имееет размер - "длину отрезка" когда составляющие этот отрезок точки без размера?
Алекс Савин 13.06.2025 18:43 Заявить о нарушении
* Почему отрезок линии, состоящий из бесконечного множества точек, имееет размер - "длину отрезка" когда составляющие этот отрезок точки без размера?
Алекс Савин 13.06.2025 18:43 Заявить о нарушении
Длина отрезка AB -— это неотрицательное действительное число l(AB) такое, что:
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) если отрезок AB разбит точкой C на два отрезка AC и CB, то
l(AB) = l(AC) + l(CB).
Длина отрезка может быть натуральным числом или дробным или иррациональным. Случай натуральной длины рассматривают еще в начальной школе — это когда единичный отрезок укладывается в измеряемом целое число раз.
То, что отрезок состоит из бесконечного множества точек (и вообще, что он состоит из точек), в доказательстве существования длины совершенно не требуется.
На устном экзамене по математике (школьном или вступительном в вуз) при ответе на вопрос о существовании функции «длине отрезка» надо было последовательно рассмотреть все три случая.
Длина кривой определялась с помощью длины отрезка. Кривая (например, окружность) заменялась ломаной и длины звеньев ломаной устремлялись к нулю. И школьник «философского» склада ума мог «пофилософствовать»: как это звенья превратились в точки а длина (например, окружности) — ненулевое число.
Вопрос о доказательстве существования длины окружности тоже был и есть в школьной программе.
Более того, сейчас в школьной программе есть и применение определенного интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции, и поэтому выпускники прошлых лет, если бы вникли в это доказательство, тоже могли бы задаться вопросом: «Почему фигура, состоящая из бесконечного числа отрезков, имеет размер «площадь фигуры», когда все составляющие ее отрезки имеют нулевую площадь?»
Аналогичный вопрос можно задать и для объема.
Такого рода вопросы можно было задать еще Архимеду — он, по сути, стоял на пороге открытия дифференциального и интегрального исчисления, вычислив именно таким методом площадь сегмента параболы и объем шара.
Извините, Алекс, но почему—то мне кажется, что Вы просто «прикалываетесь». У Вашей специальности, даже если Вы только по «железу», должен быть вполне приличный курс математического анализа.
Я уж не говорю о том, что вопросы о геометрических величинах (длине, площади и объеме) были и есть в школьном курсе математики.
Петр Савватеев 13.06.2025 22:13 Заявить о нарушении
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) если отрезок AB разбит точкой C на два отрезка AC и CB, то
l(AB) = l(AC) + l(CB).
Длина отрезка может быть натуральным числом или дробным или иррациональным. Случай натуральной длины рассматривают еще в начальной школе — это когда единичный отрезок укладывается в измеряемом целое число раз.
То, что отрезок состоит из бесконечного множества точек (и вообще, что он состоит из точек), в доказательстве существования длины совершенно не требуется.
На устном экзамене по математике (школьном или вступительном в вуз) при ответе на вопрос о существовании функции «длине отрезка» надо было последовательно рассмотреть все три случая.
Длина кривой определялась с помощью длины отрезка. Кривая (например, окружность) заменялась ломаной и длины звеньев ломаной устремлялись к нулю. И школьник «философского» склада ума мог «пофилософствовать»: как это звенья превратились в точки а длина (например, окружности) — ненулевое число.
Вопрос о доказательстве существования длины окружности тоже был и есть в школьной программе.
Более того, сейчас в школьной программе есть и применение определенного интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции, и поэтому выпускники прошлых лет, если бы вникли в это доказательство, тоже могли бы задаться вопросом: «Почему фигура, состоящая из бесконечного числа отрезков, имеет размер «площадь фигуры», когда все составляющие ее отрезки имеют нулевую площадь?»
Аналогичный вопрос можно задать и для объема.
Такого рода вопросы можно было задать еще Архимеду — он, по сути, стоял на пороге открытия дифференциального и интегрального исчисления, вычислив именно таким методом площадь сегмента параболы и объем шара.
Извините, Алекс, но почему—то мне кажется, что Вы просто «прикалываетесь». У Вашей специальности, даже если Вы только по «железу», должен быть вполне приличный курс математического анализа.
Я уж не говорю о том, что вопросы о геометрических величинах (длине, площади и объеме) были и есть в школьном курсе математики.
Петр Савватеев 13.06.2025 22:13 Заявить о нарушении
Из свойства 2) (аддитивности длины) сразу следует, что отрезок, у которого начало и конец совпадают, имеет нулевую длину.
Так что на точку можно смотреть как отрезок нулевой длины.
А то, что бесконечная сумма нулей может оказаться конкретным числом, является основной идеей дифференциального и интегрального исчислений. Идея эта еще из семнадцатого века, но гуманитариями даже нынешнего времени воспринимается с трудом.
Кстати, два бородатых «гения» девятнадцатого века эту идею поняли плохо, но оправдали.
В интернете распространена шутка.
Гуманитарии прошлых веков знали несколько иностранных языков, разбирались в истории и искусстве, а нынешний гуманитарий (Алекс, не обижайтесь, — это явно не про Вас) — это человек, который так и не смог выучить таблицу умножения.
Кстати, про таблицу умножения тоже можно «пофилософствовать».
Один мой читатель (кстати, назвавшийся программистом) спросил меня: «что значит — «можно найти значение функции по таблице? Значит можно и не найти?»»
Конечно, на Земле миллионы людей, которые не знают таблицы умножения и, более того, не знают даже, что такое «таблица».
Петр Савватеев 13.06.2025 22:43 Заявить о нарушении
Так что на точку можно смотреть как отрезок нулевой длины.
А то, что бесконечная сумма нулей может оказаться конкретным числом, является основной идеей дифференциального и интегрального исчислений. Идея эта еще из семнадцатого века, но гуманитариями даже нынешнего времени воспринимается с трудом.
Кстати, два бородатых «гения» девятнадцатого века эту идею поняли плохо, но оправдали.
В интернете распространена шутка.
Гуманитарии прошлых веков знали несколько иностранных языков, разбирались в истории и искусстве, а нынешний гуманитарий (Алекс, не обижайтесь, — это явно не про Вас) — это человек, который так и не смог выучить таблицу умножения.
Кстати, про таблицу умножения тоже можно «пофилософствовать».
Один мой читатель (кстати, назвавшийся программистом) спросил меня: «что значит — «можно найти значение функции по таблице? Значит можно и не найти?»»
Конечно, на Земле миллионы людей, которые не знают таблицы умножения и, более того, не знают даже, что такое «таблица».
Петр Савватеев 13.06.2025 22:43 Заявить о нарушении
Алекс, это и есть ответы на Ваши вопросы.
А слов в определении длины и точки здесь лишних нет, похоже, наоборот, для гуманитария недостаточно.
Более подробные разъяснения Вы можете найти в любом школьном учебнике.
Петр Савватеев 13.06.2025 22:49 Заявить о нарушении
А слов в определении длины и точки здесь лишних нет, похоже, наоборот, для гуманитария недостаточно.
Более подробные разъяснения Вы можете найти в любом школьном учебнике.
Петр Савватеев 13.06.2025 22:49 Заявить о нарушении
Доброго времени суток, Алекс!
Хотя вы спрашивали и не меня, но позвольте высказать некоторые окологуманитарные ))) соображения по данному интересному вопросу.
Во первых:
– математика абстрактная наука. Все действия происходят в абстрактном математическом пространстве, следовательно и точка, и прямая, и плоскость абстрактны. В реальности нет ни идеальных прямых, ни плоскостей - в связи с предполагаемой искривлённостью физического пространства. Здесь самая наипрямейшая прямая – это кривая, радиус которой стремится к бесконечности.
Прямая это воображаемая величина, как и точка не имеющая размеров, но лишь координаты. Дублируя положение средствами восточной философии говорим:
– прямая – это лишь ПРЕДСТАВЛЕНИЕ-ПОНЯТИЕ и на ней можно указать несчётное количество координат, т. е. ТОЧЕК. В принципе вы сами же и ответили на свой вопрос – «любой отрезок линии, плоские и объёмные фигуры ПРЕДСТАВЛЯЮТСЯ (всего лишь!), как бесконечное множество точек»;
– отрезок прямой ограниченный координатными точками АВ не имеет мерности, его вернее бы называть интервалом. Мерность (мм, см, м, км…) появляется отдельно, как прикладная, условная, физическая величина, принятая нами по соглашению.
С уважением
Юрий Тамистов 17.06.2025 21:37 Заявить о нарушении
Хотя вы спрашивали и не меня, но позвольте высказать некоторые окологуманитарные ))) соображения по данному интересному вопросу.
Во первых:
– математика абстрактная наука. Все действия происходят в абстрактном математическом пространстве, следовательно и точка, и прямая, и плоскость абстрактны. В реальности нет ни идеальных прямых, ни плоскостей - в связи с предполагаемой искривлённостью физического пространства. Здесь самая наипрямейшая прямая – это кривая, радиус которой стремится к бесконечности.
Прямая это воображаемая величина, как и точка не имеющая размеров, но лишь координаты. Дублируя положение средствами восточной философии говорим:
– прямая – это лишь ПРЕДСТАВЛЕНИЕ-ПОНЯТИЕ и на ней можно указать несчётное количество координат, т. е. ТОЧЕК. В принципе вы сами же и ответили на свой вопрос – «любой отрезок линии, плоские и объёмные фигуры ПРЕДСТАВЛЯЮТСЯ (всего лишь!), как бесконечное множество точек»;
– отрезок прямой ограниченный координатными точками АВ не имеет мерности, его вернее бы называть интервалом. Мерность (мм, см, м, км…) появляется отдельно, как прикладная, условная, физическая величина, принятая нами по соглашению.
С уважением
Юрий Тамистов 17.06.2025 21:37 Заявить о нарушении
...забыл добавить изначально-простейшие сравнительные характеристики отрезков... – больше, меньше, равны)))
Юрий Тамистов 17.06.2025 21:49 Заявить о нарушении
Юрий Тамистов 17.06.2025 21:49 Заявить о нарушении
Вы все крутитесь вокруг да около, но не способны объяснить коротко и ясно без софистики - почему множество точек с нулевыми размерами превратившись в отрезок, линию, окружность превращается в объекты с конкретными размерами?
Алекс Савин 18.06.2025 14:32 Заявить о нарушении
Алекс Савин 18.06.2025 14:32 Заявить о нарушении
Алекс, вот, таки и софистика? Но ведь прямо сказано, что геометрическая прямая - это идеализация физических объектов со свойствами заданными аксиомами и что она относится к неопределяемым понятиям, как и плоскость, объём… число, множество…
Прямая это не объект собранный из слипшихся точек, ведь последняя не имеет размеров, но поскольку куда ни ткни пальцем в прямую и это будет координата, то можно опосредованно утверждать, что вся прямая состоит из координат, то есть точек)))
Вообще-то заданный вами вопрос не вполне корректен и под видом «парадокса» точки и прямой вы, вероятно, хотите получить ответ на фундаментальное: как ИДЕАЛЬНОЕ превращается в МАТЕРИАЛЬНОЕ или наоборот?
С огромным уважением
Юрий Тамистов 19.06.2025 00:04 Заявить о нарушении
Прямая это не объект собранный из слипшихся точек, ведь последняя не имеет размеров, но поскольку куда ни ткни пальцем в прямую и это будет координата, то можно опосредованно утверждать, что вся прямая состоит из координат, то есть точек)))
Вообще-то заданный вами вопрос не вполне корректен и под видом «парадокса» точки и прямой вы, вероятно, хотите получить ответ на фундаментальное: как ИДЕАЛЬНОЕ превращается в МАТЕРИАЛЬНОЕ или наоборот?
С огромным уважением
Юрий Тамистов 19.06.2025 00:04 Заявить о нарушении
На это произведение написано 26 рецензий, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.