Самым распространённым заблуждением при обращении к дзета-функции Римана остаётся меняющаяся в ходе рассуждений и доказательств область определения дзета-функции. Когда сначала выделяют область определения, где реальная часть аргумента больше единицы, никаких возражений и противоречий не возникает: ряд сходится, формула Эйлера, выражающая сумму ряда обратных величин степеней через произведение множителей с простыми числами, корректна, правда, преобразования, связанные с симметрией, требуют комментария при работе с нулями и бесконечностями. Но потом некоторые авторы «забывают» про ограничения и сходимости и спокойно расширяют область определения, в результате чего получают «нетривиальные нули» дзета-функции. На самом же деле при значениях аргумента, меньших единицы (в том числе отрицательных вещественных значениях и нуле) или равных единице, этот ряд расходится, нули являются эфемерными призраками преобразований, в частности, из-за обращающегося в нуль синусного множителя (но при нём есть множители, обращающиеся в бесконечность!). Порой математики требуют весьма высокой степени точности, но в данном случае, как и с знакопеременными расходящимися рядами, допускают большие вольности и произвол, опуская необходимые оговорки (например, что сложение ведётся в смысле Рамануджана, а не в обычном классическом смысле, или в смысле главного значения Коши). Наше предложение заключается в том, чтобы отказаться при рассмотрении дзета-функции Римана от нетривиальных нулей. На самом деле значение дзета-функции при этих аргументах является бесконечностью.
Вместе с тем мы предлагаем обобщённые формулы, позволяющие вычислять значения подобных функций комплексных переменных. Прорывом могут стать открытия новых, более простых методов исчисления значений этих функций.
Мы используем файлы cookie для улучшения работы сайта. Оставаясь на сайте, вы соглашаетесь с условиями использования файлов cookies. Чтобы ознакомиться с Политикой обработки персональных данных и файлов cookie, нажмите здесь.