Про ситец и сатин

Принято считать, что для поддержания здоровья надо давать организму как физическую, так и умственную нагрузку.
Физическая нагрузка – пешие прогулки, работа на даче, занятия гантельной гимнастикой.
А умственная – это чтение книг, разучивание стихов, решение сканвордов и других головоломок, игра в шахматы, домино и в «дурака». Можно решать арифметические задачи за пятый класс. Какие?
Из пункта А в пункт Б поезд вышел…
В бассейн проведено три трубы…
По двору ходят куры и поросята…

Или вот такая задача.
Купец продавал ткани – ситец и сатин. Один метр сатина стоил 35 рублей, а ситца – 25 рублей. Разница  равна 10 рублям.
Всего обоих видов тканей продал 18 метров. И получил 550 рублей.
Сколько метров ситца и сколько метров сатина продал купец?
Решение.
Предположим, что вся проданная ткань была ситец. Тогда купец получил бы
25 х 18 = 450 рублей. А он получил 550 рублей. 550 - 450 = 100 рублей. Разница в 100 рублей свидетельствует о том, что было продано и несколько метров сатина. Делим 100 на 10 и получаем 10 метров сатина.
Значит, купец продал 10 метров сатина и 18 - 10 = 8 метров ситца.
Проверка правильности решения.
8 х 25 = 200 рублей.
10 х 35 = 350 рублей
Сумма равна 350 + 200 = 550 рублей.

Задача решена правильно.

Можно решить и по-другому. Предположим, что вся проданная ткань - сатин. Тогда купец должен был получить 18 х 35 = 630 рублей. А он получил 550. Значит, он продал и несколько метров ситца. Разница равна 630 - 550 = 80 рублей. Делим 80 рублей на 10 рублей: 80 : 10 = 8 метров ситца. А сатина было продано: 18 - 8 = 10 метров.

Можно решить и путём подбора. Полагаем последовательно количество проданного ситца. Получаем такую табличку.

1 х 25 + 17 х 35 = 25 + 595 =  620 Предположение неверное.
2 х 25 + 16 х 35 = 50 + 560 =  610 Предположение неверное.
3 х 25 + 15 х 35 = 75 + 525 =  600 Предположение неверное.
4 х 25 + 14 х 35 = 100 + 490 = 590 Предположение неверное.
5 х 25 + 13 х 35 = 125 + 455 = 580 Предположение неверное.
6 х 25 + 12 х 35 = 150 + 420 = 570 Предположение неверное.
7 х 25 + 17 х 35 = 25 + 595 =  560 Предположение неверное.
8 х 25 + 10 х 35 = 200 + 350 =  550 Предположение правильное.

А вот задача немножко сложнее.

Магазин продал 28 куриных яиц и получил 275 рублей. Но яйца были различные по размеру и цене. Крупные яйца продавались по 12 рублей за штуку, средние – по 10 рублей и мелкие по 7 рублей.
Требуется определить, сколько каких яиц продал магазин.

Можно определить сколько каких яиц было продано перебором. Но здесь вариантов будет не 18, как в предыдущей задаче, а 21952. Если каждый вариант просчитывать за пять секунд, то для перебора всех вариантов потребуется 21952 х 5 = 109760 секунд, или  1829 минут, или 3 часа.

Придётся составлять уравнения.

Пусть читатели не пугаются алгебры. Здесь надо знать всего одно правило. При переносе любого члена уравнения из правой части в левую или из левой части в правую знак этого члена меняется на обратный, то есть плюс на минус или минус на плюс. Вот и вся премудрость.


РЕШЕНИЕ

Обозначим количество проданных яиц буквами: крупных А штук, средних Б штук, мелких В штук.
Составим два уравнения с тремя неизвестными.

12А+10Б+7В = 275 [1]

А+Б+В = 28 [2]

Третье уравнение составить нельзя. Нет данных. Будем решать два уравнения. Из второго уравнения определим значение В. 

В = 28 – А – Б

Теперь значение В подставляем в первое уравнение.
12А + 10 Б + 7(28 – А –Б) = 275

Раскрываем скобки:

12А + 10Б + 196 –7А – 7Б = 275

Теперь число 275 перенесём из правой части в левую, поменяв знак на обратный. В правой части останется ноль.

12А + 10Б + 196 –7А – 7Б – 275 = 0.

Выполним приведение подобных членов (12А-7А=5А; 10Б -7Б=3Б; -275 + 196 = - 79).

У нас получилось:

5А+3Б = 79.

Теперь 3Б перенесём в правую часть, изменив знак на обратный.
5А = 79 – 3Б.
Теперь разделим левую и правую часть уравнения на 5:

А = (79 – 3Б): 5.

Мы зашли в тупик. Из полученного уравнения нельзя определить ни А, ни Б.
Но мы знаем, что число яиц не может быть дробным, например, пол-яйца. Число проданных яиц должно быть целым числом.

Будем давать значения Б числами 1, 2, 3… Все значения дают дробное число А. И только при Б=8 число А становится целым. Оно равно 11.

А = (79 – 3 х 8) : 5 = 11.

Значит, средних яиц было продано Б=8 штук, крупных А=11.
Подставив значения А и Б в уравнение 2, найдём В= 9.

Проверяем правильность решения.
11 + 8 + 9 = 28.

12 х 11 = 132 рубля; 10 х 8 = 80 рублей; 7 х 9 = 63 рубля.

132+80+63 = 275 рублей.

Можно попробовать решить эту же задачу путём последовательного приближения. Без составления уравнений.

РЕШЕНИЕ

Поскольку мы абсолютно не знаем, по сколько штук каждого размера было продано яиц, то первое предположение сделаем такое. Предположим, что яиц разных размеров было продано примерно поровну: 9 штук по 12 рублей, 9 штук по 10 рублей, 10 штук по 7 рублей.
Тогда выручка равна:
9 х 12 = 108 руб.; 9 х 10 = 90 руб.; 10 х 7 = 70 руб.
Сумма равна: 108 + 90 + 70 = 268 руб.
А по условию задачи выручка равна 275 рублей. Разница 275-268= 7 руб. Значит, чтобы увеличить выручку, надо "продать" дополнительно одно крупное яйцо  и уменьшить на одно мелкое яйцо. Тогда:

10 крупных, 9 средних, 9 мелких.
10 х 12 = 120; 9 х 10 =90; 9 х 7 = 63. Сумма 120+90+63 = 273 руб. Разница: 275-273 = 2 руб. Это разница между ценой крупного и среднего яиц. Увеличим количество крупных яиц на одно яйцо и уменьшим число средних яиц на одно яйцо:

11 х 12 = 132; 8 х 10 = 80; 9 х 7 = 63 руб. Сумма равна: 132+80+63 = 275.

Задача решена.