Метатеория жидкой воды, или ответ оппоненту. Ч. 5

                Часть 5
               Закон больших чисел, или, что общего в механике разрушения
                волокнистых композитов и броуновском движении


Рассмотрение структуры жидкой воды мы ещё продолжим. А переход  к броуновскому движению был вызван необходимостью сокращения количества рассмотрений одного и того же вопроса: взаимодействия молекул с существенно большими объектами. К числу таких объектов, кроме микроампул относятся и броуновские частицы.



В 1827 году английский ботаник Роберт Броун с помощью микроскопа наблюдал непрерывное движение очень мелких частиц – спор папоротника, взвешенных в воде. Более крупные
частицы находились в состоянии постоянного колебания около положения равновесия. Природу этого явления он не смог объяснить.
Во второй половине ХIХ века более точные исследования броуновского движения провёл французский физик Л. Гуи, который установил, что эти движения связаны с тепловым движением молекул.

Обратим внимание на одно важное обстоятельство, на которое «почему-то» не обратили внимание теоретики броуновского движения - польский физик Мариан Смолуховский и, не нуждающийся в представлении, Альберт Эйнштейн!

Суть этого обстоятельства сводится к следующему. Исследователям хорошо известно, что броуновское движение наблюдается в отношении частиц размером 1 мкм и менее. С увеличением размера до 3 мкм происходят колебания частиц около положения равновесия. И не наблюдается каких-либо движений у частиц размером 5 мкм и более.

Скорее всего и до Смолуховского (1900 - 1904 гг.) предпринимались попытки математического описания броуновского движения. Но учёные ХIХ века не могли этого сделать по одной единственной причине: закон больших чисел при описании случайных движений неизбежно и устойчиво должен приводить к нулевому результату.

Чтобы понять о чём идёт речь, представим броуновскую частицу в виде шара диаметром D = 3 мкм, а молекулы воды в виде шариков диаметром d = 3*10^(-4) мкм.
В таких соотношениях молекула воды меньше такой частицы в 10 000 раз. И, следовательно, на её поверхности может разместиться  n молекул воды

n = 4* П*R^2/П*r^2 =4* R^2/ r^2= 400 000 000

То есть на броуновскую частицу одновременно может воздействовать почти половина миллиарда молекул. Напомним, что каждая молекула воды осуществляет не менее 10^12 колебаний, т.е. ударов по броуновской частице, в секунду. А все вместе они осуществляют более 4*10^20 случайных ударов. Это очень большое число!


Применительно к таким случайным событиям закон больших чисел утверждает, что:


ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ СЛУЧАЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СОБЫТИЙ ИХ СРЕДНИЙ РЕЗУЛЬТАТ ПЕРЕСТАЁТ БЫТЬ СЛУЧАЙНЫМ И МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСКАЗАН С БОЛЬШОЙ СТЕПЕНЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ.


На рис.1 показано, как меняются параметры распределения f(xn) средних значений выборки из  n случайным образом выбранных элементов, в зависимости от числа n.

При n = 1 и бесконечном числе испытаний мы получаем обычный (базовый) закон распределения случайной величины, поскольку выборку представляет один элемент, среднее значение которой равно значению этой величины x.

При   объеме выборки n > 1, например, состоящей из 5-ти случайным образом выбранных элементов, принадлежащих базовому закону распределения, и бесконечном числе таких испытаний, полученные средние значения  пятиэлементной выборки будут иметь существенно меньший разброс, чем базовая выборка.

При увеличении объемов выборки случайных элементов кривая распределения средних значений этих элементов будет всё больше сужаться. А при некотором объеме выборки nбч, называемом Большим Числом, средние значения таких выборок при любом количестве испытаний становятся равными, с точностью приемлемой для практических приложений, среднему значению случайных элементов базового распределения. То есть среднее значение выборки с большим числом элементов перестаёт быть случайным числом.


На рис. 2 показано, как меняется коэффициент вариации (показатель разброса) распределений средних значений выборок из n элементов с ростом числа n. При n >= nбч коэффициент вариации становится равным нулю, то есть результат таких испытаний перестаёт быть случайным, и его можно предсказать.

Важно подчеркнуть, что значение большого числа является предметом отдельных исследований. Правда, во многих случаях знание его  значения необязательно. Это относится к рассмотренному выше примеру в отношении 400 000 000 молекул, воздействующих на броуновскую частицу. То есть, когда число участвующих случайных элементов заведомо очень велико, то вопрос о значении «большого числа» просто снимается с повестки.


Но мы, тем не менее, на этом не остановимся и попытаемся узнать, какое число является большим для броуновского движения. Для этого воспользуемся результатами исследований КАА почти сорокалетней давности.

С законом больших чисел КАА познакомился, когда занимался исследованиями прочности и механизма разрушений конструкций из волокнистых композиционных материалов (ВКМ). В частности ему пришлось решать задачу о распределении параметров прочности пучка из n волокон. Для задачи о пучке с конечным числом волокон, вариация прочности которых составляла 0,5 (50%) было получено решение, которое качественно отражает рис. 2. Здесь большое число было принято равным 100. При этом коэффициент вариации прочности такого пучка составлял менее полупроцента, что для прочностных расчётов более, чем достаточно.

Что следовало из этого исследования? Из этого исследования вытекало противоречие: прочность любой конструкции из ВКМ, содержащей более 100 волокон (а реальные конструкции содержат миллиарды таких волокон) перестаёт быть случайной величиной и должна быть предсказана с высокой достоверностью. Но в действительности это не так. Вариация прочности реальных конструкций из ВКМ составляет не менее 5%.

Правда прочнисты люди ушлые, и вводят по этому поводу оправдание - гипотезу слабого звена, согласно которой разрушение малой области, являющейся слабым звеном, ведет к разрушению всей конструкции. Но для нашего случая коэффициент вариации в 5% соответствует слабому звену с числом волокон порядка 25 -30 штук. Это, конечно, абсурд. Те, кто знаком с подобными вопросами, знают, что область разрушения оболочек из ВКМ обширна и представляет собой сноп соломы.

 На основании исследования, включая изучение разрушенных конструкций, КАА пришёл к выводу, что их разрушение имеет многоуровневый характер: рассеяно разрушенные одиночного волокна объединяясь приводят к разрушению блоков 1 уровня. Те в свою очередь, накапливаясь приводят к разрушению более крупных блоков 2 уровня, и так далее. С учётом этой логики всё становилось на свои места. Закон больших чисел в этих условиях не мог вступить в свои права, и вариация прочности реальной конструкции получила своё обоснование.

Аналогичная ситуация имеет место и при исследовании броуновского движения, когда полагание о том, что броуновское движение вызывается непосредственно молекулами воды в соответствие с законом больших чисел терпит фиаско. Но, как и в предыдущем случае, реальная структура воды приводит к тому, что в большом диапазоне размеров частиц броуновское движение наблюдается благодаря тому, что закону больших чисел негде проявиться из-за второго уровня структуры воды. Как это происходит? 

Рассмотрим рисунок 3. На нём некоторые малые частицы бомбардируют более крупные частицы. Пусть масса маленькой частицы равна m, а большой М. Если маленькая частица имеет скорость v`, то она, в случае упругого удара, передаёт большой частице импульс j` (здесь апостроф над буквой означает, что это вектор, то есть помимо величины он имеет и направление)


                j` = 2*m*v`


Если большую частицу бомбардируют n частиц, каждая из которых имеет случайное значение скорости по величине и направлению, то суммарный импульс J`будет определяться как сумма векторов


                J` = сум(j`) =2*m* сум(v`)


Более правильная запись приведена на рис.3.

А суть вопроса сводится к суммированию n случайных векторов скорости, которые, как известно, подчиняются закону распределения Максвелла. Но мы на этом не будем заострять внимание. Для нас сейчас главное то, что результат этой суммы будет зависеть от числа действующих частиц из базового закона распределения.

Если число частиц, воздействующих на броуновскую частицу, менее «большого числа» n < nбч (варианты А и Б), то суммарный импульс с большой вероятностью будет иметь ненулевое значение, и броуновское движение будет наблюдаться. Такая картина соответствует воздействию молекул воды на небольшую броуновскую частицу в плотной (жидкой) среде (вариант А), и на большую частицу в разреженной (газовой) среде (вариант Б).

Если же n >= nбч, которое будет иметь место при воздействии молекул воды на большую частицу в плотной (жидкой) среде (вариант В), то суммарный импульс будет иметь нулевое значение, поскольку осреднение по времени и по малым элементам площади поверхности даёт одинаковое значение средней скорости, и, соответственно, среднего импульса, которое теперь будет называться импульсом давления. И значит броуновского движения не будет.



Теперь переходим к определению «большого числа» для броуновского движения. Для этого мы будем использовать данные исследования прочности пучка с конечным числом волокон. Это делает наш анализ не точным, а оценочным, рассчитанным на определение порядка числа. Но для нашего исследования этого вполне достаточно.

В случае с вероятностным анализом прочности пучка волокон, мы имели дело с одномерной задачей, подобно тому, как если бы молекулы воды действовали по одной линии. Тогда применительно к реальному броуновскому движению задача имеет двухмерный характер (взаимодействие по поверхности). Поэтому число случайных однородных событий 100, нам надо возвести в степень 2. Получаем 10 000. То есть если на броуновскую частицу будет одновременно воздействовать десять тысяч более мелких частиц, то броуновское движение вырождается в колебания относительно положения равновесия. А поскольку на неё воздействует в 40 000 раз большее количество молекул, то последние никаким образом не могут приводить к броуновскому движению.


Для того, чтобы броуновское движение существовало, необходимы не молекулы, а объекты-частицы, радиус которых должен быть менее, чем в 50 раз меньше диаметра броуновской частицы.
 

А теперь обратимся к результатам расчета размеров микроампул. При температуре 20 градусов размер микроампул составляет 6,18^10(-8) м, а предельный размер броуновской частицы, ещё совершающей хаотические движения около положения равновесия - 3*10 ^(-6). Соотношение диаметров частиц равно 48, что делает микроампулы претендентами на роль объектов, генерирующих броуновское движение.


Таким образом, для задачи о броуновском движении большим числом в статистическом смысле является 10 000. Именно по этой причине все добросовестные учёные ХIХ века отворачивались от попыток объяснить причину броуновского движения.

А что делает Эйнштейн?

Работая в бюро патентов, он конечно же был прекрасно  осведомлён об опытах по исследованию броуновского движения, диффузии и осмоса французским физиком Л. Гуи и опытах немецкого ботаника В. Пфеффера по определению осмотического давления. Это становится ясным из того, что подобные исследования требовали изобретения новых устройств и новых способов исследования, учёт которых осуществляют бюро патентов.


Приступая к работе, Эйнштейн  задаётся вопросом: «...почему некоторому количеству взвешенных тел не должно соответствовать такое же осмотическое давление, какое вызывает то же число растворённых молекул?» И весьма определенно даёт на это ответ: «...растворённые молекулы и взвешенные в равном количестве тела в сильно разбавленном виде совершенно равноценны для осмотического давления».


Спрашивается, а что неправильного в таком логическом посыле? Да, собственно, ничего, поскольку все его рассуждения опираются на опыты исследователей, которые подтверждали факт существования броуновского движения. Правда, он об этом скромно умалчивает.

Более того, во ведение он открещивается от известных ему опытных данных: «Возможно, что рассматриваемые движения тождественны с так называемым броуновским молекулярным движением; однако доступные мне данные относительно последнего настолько не точны, что я не мог составить об этом определенного мнения». Обратите внимание, какой простор он оставляет для заднего хода: «Я не я и хата не моя!»


Таким  образом, в самих рассуждениях Эйнштейна формально нет никакого криминала. За исключением самой малости: перед этими рассуждениями он не провёл анализа случайных событий на предмет их соответствия закону больших чисел; анализа, который только что выполнили мы. Правда, после такого анализа  теория, скорее всего, не появилась на свет, поскольку она могла быть пригодной для объектов размером всего в 100 раз больших диаметра молекул воды, что соответствует размерам молекул белка.


Так что для таких объектов, которые не больше молекулы белка  его теория более или менее годится. Вот только пользы от такой теории мало, поскольку исследователи имели дело с гораздо большими объектами, в отношение которых теория Смолуховского-Эйнштейна не работает, и по факту является ложной.


Анализ ошибок в теории Эйнштейна можно было бы продолжить, но это вряд ли будет интересно читателю.


А на «сладкое» данные из Википедии:


«Теория броуновского движения является приближенной. Хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория даёт удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведённые в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молекулярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна — Смолуховского».

Комментарии, как говорится, излишни.

                (продолжение следует)