Релятивистский эффект Доплера

Всем известно, что красное доплеровское смещение, т.е. увеличение длин волн источника света, указывает на его удаление, а синее или фиолетовое (уменьшение длин) – на приближение. Всем известен так называемый "поперечный эффект Доплера" – когда источник света, движущийся перпендикулярно лучу зрения на него, имеет красное смещение.

Но, полагаю, почти никто не задумывался, что свет от приближающегося источника – если только он не движется точно в сторону наблюдателя, по мере увеличения его скорости синеет лишь до некоторого уровня, а потом начинает краснеть. Так что при очень больших скоростях смещение будет красным почти при любом направлении движения источника света.

Вместо формализма преобразований Лоренца воспользуемся пониманием сути явления. Схема излучения света и его приёма приведена на РИС.1. Пусть в некий момент источник излучает волну 1'. А через время T1 – волну 2. К этому времени фронт волны 1' займет положение 1. За это же время источник переместится в направлении приёмника на расстояние V1x·T1.
Пусть приёмник в некий момент принял волну 1. Волна 2 догонит его через промежуток времени T2, но за это время Приёмник переместится в направлении распространения волн на расстояние V2x·T2

Поскольку фронт волны перпендикулярен лучу зрения, то играет роль только наклон векторов скоростей к лучу света, а их круговая взаимная ориентация безразлична. Поэтому эллипсы на первом рисунке на самом деле представляют собой эллипсоиды с осью симметрии вдоль оси x.

Соотношения можно записать как систему уравнений (1), где L1 это длина волны излучаемого света измеренная в системе координат внешнего наблюдателя. Из системы с учётом (2) получим соотношения (3). Интервалам времени T1 и T2 в системе наблюдателя будут соответствовать собственные значения T10 и T20 в системах источника и приёмника согласно соотношениям (4).

Для собственных значений в любых системах отсчёта справедливы соотношения (5), где скорость света численно везде и всегда const = c. Подставляя (4) и (5) в формулы (3) получим соотношение (6), в котором длины волн Лямбда_20 и Лямбда_10 указаны уже в собственных значениях для систем приёмника и источника.

Если приёмник неподвижен относительно наблюдателя, то выражение (6) можно записать в виде (7). Эта формула выводится в курсе Теория поля Ландау и Лифшица, изд.4-е, 1962г., §48, стр. 140-144  посредством пересчёта 4-вектора компонент электромагнитного поля к координатам системы в пространстве Минковского. А здесь она выведена согласно евклидовой геометрии в ньютоновом пространстве.

Но самое интересное получим проведя для вектора скорости источника замену переменных соответственно (8). Тогда выражение (7) перейдёт в выражение (9). От выражения (9) можно перейти к выражению (10).

Это уравнение описывает семейство эллипсоидов, сжатых по оси X с общей точкой в координатах {1,0}, имеющих максимальное значение max Y^2 = n^2/(n^2+1) при координате X=1/(n^2+1). В (10) показано сечение эллипсоида. Очень может быть, что эта формула для семейства эллипсоидов впервые публикуется мною.
Ряд этих эллипсоидов при некоторых отношениях n длин принятой волны к длинам излученной приведён на РИС.2.

На графике показаны линии соответствующие одинаковому доплеровскому смещению при различных направлениях и скоростях источника. Направление и скорость источника отображены синим вектором Бета из центра координат, и если его конец обегает какой-нибудь эллипс, то величина смещения будет неизменна. Любой величине смещения света от источника, даже нулевой, соответствует кривая (годограф) представленная здесь эллипсом.

Вектор скорости приближающегося (направлен вправо) источника к наблюдателю, по мере роста скорости, сначала пересекает эллипсоиды с меньшими длинами (n<1) волн света, а затем начинает пересекать эллипсоиды со всё более длинными (n>1) волнами. Если отсутствуют данные о перпендикулярной к линии наблюдения составляющей скорости источника, то точка B реального значения вектора скорости может быть воспринята как точка B' и как движение в другую сторону. А для точки C, где отношение длин волн =1, т.е. смещение =0, мы можем предположить, что источник относительно нас и вовсе неподвижен.