Земсков. Задача номер 838 Ч 1

Баскетболист Земсков опять в своём репертуаре. Решая задачу номер 838, опять пыжится с жутко частным вариантом. Ссылка:
https://www.youtube.com/watch?v=H0vJgKFSiZ8&t=4s

Математически образованный человек должен стремиться всесторонне исследовать проблему. В задаче ясно, что найти нужный угол "х" путем анализа других углов (несмотря на то, что в квадрате известных углов довольно много) никак не удастся и приходится привлекать к рассмотрение различные длины отрезков и даже выявлять уравнения в декартовых координатах. Чтобы находить точку их пересечения М. Конечно Одиозному Деду, как всегда, лень приступать к общей постановке задачи. Мне же делать подобное очень нравится, ибо расширяется знание проблемы.
Итак, внутри квадрата ABCD имеются отрезки AF и CE, которые начинаются с вершин А и С и идут под заданными углами a и b. Из точки пересечения М проведена прямая ВМ. Требуется найти угол икс. Я задал стороны квадрата, равные единице и легко нашел линейные уравнения прямых AF и CE. Нашел также координаты точки пересечения М. Они показаны в иллюстрации. Ясно, что угол "x" находится через тангенс. То есть через отношение катетов треугольника ВСМ. Далее банально вывел общую формулу для "х".
Однако меня заинтересовали случаи, когда этот угол принимает целые значения в градусах. Составив прогу и проанализировав результаты вычислений, пришел к выводу, что икс будет целочисленным только тогда, когда b=a-45 град. В этом случае значение x=2b. То есть x=2(a-45). В частном примере Земскова a=60 и b=15 тогда ответ задачи вычисляется в уме: x=2*(60-45)=30. При этом есть ограничение на угол а. Его можно принимать от 46 до 67 град. Прога вычисления всех целочисленных случаев:

print " a    b    Mx    My     x"
print "--------------------------"
for a0=46 to 67
b0=a0-45
a=a0*pi/180:b=b0*pi/180
mx=(1/tan(b)-1)/(1/tan(b)-1/tan(a))
my=1/tan(a)*(1/tan(b)-1)/(1/tan(b)-1/tan(a))
x=180/pi*atan((1-1/tan(a))*1/tan(b)/(1/tan(b)-1))
print a0 using "###",b0 using "###";
print mx using "##.###";
print my using "##.###",x using "###"
next a0

13 октября 2024 г.