Найти все варианты

В 2012 году произошел такой случай. Я плотно сидел в одном из математических форумов, помогал студентам в решении задач. Как-то весной ко мне обратился студент университета в Мадриде и попросил сделать следующее: на завтра в 9 часов утра по мадридскому времени зайти на форум и дождаться его обращения с целью справиться с несколькими трудными экзаменационными задачами. Я знал, что разница во времени между Москвой и Мадридом 2 часа, то есть на форуме должен появиться в 11:00. Это меня вполне устраивало и довольно быстро согласился. Итак, он заходит ко мне где-то в 11:35 и прикрепляет скрин задания, написанное от руки. С небольшими пояснениями. Испанский язык мне в принципе знаком и потому быстро принялся за дело. Задача формулируется в две строки и это показано в фиолетовой рамочке. В первую очередь я выяснил, что число 16561 - простое и равно сумме двух чисел в четвертой степени (показано в красной рамочке). Можно было, конечно, раскручивать формулу дальше, делать необходимые замены. Но на это у меня бы ушло уйма времени. Поэтому за две минуты составил следующую прогу:

print "  INPUT  C = ";
input c
print
print "  C = ";:print c
print
n=20
print "  N a b x "
print "----------"
for x=2 to n
for a=2 to n
for b=a+1 to n
A=(x+a)^4+(x+b)^4
if A=c then
N=N+1
print N using "###",a,b,x
fi
next b
next a
next x

и после за секунду получил таблицу, в которой оказалось всего шесть вариантов троек a,b,x. Быстро оформил рисунок, который послал несчастному студенту. После посоветовал ему в вольфраме Альфа набить в окошке:

(x+a)^4+(x+b)^4=16561,a>=2,b>a,x>1 over the integers

и удостовериться в верности моих результатов.

Несчастный ответил, проявляя бурную радость. Сказал, что очень помог с представлением числа 16561. Ему удалось на основании тождества в красной рамочке составить цепочку алгебраических преобразований и с идеальной точностью все шесть вариантов получить.

Мне было интересно сказанное им повторить. Это оказалось настолько просто, что справился бы и пятиклассник. Если, конечно, догадаться что правая часть есть сумма двух чисел в четвёртой степени. Как последнее можно реализовать? Рассмотрим правую часть тождества, а именно 6561. Очень похоже, что это 81 в квадрате. Перемножение в столбик доказывает, что это именно так. Ну а недостоющиеся десять тысяч и есть десять в четвёртой степени! Следовательно, можем составить систему:
x+a=9
x+b=10
Учитывая условия, накладываемые на параметры, легко получим все шесть целочисленных вариантов.

2 ноября 2024 г.