Сколько целочисленных решений?

С таким вопросом ко мне обратился сосед-шестиклассник. Сказал, что учитель вызвал к доске и попросил определить наибольшее количество целочисленных ненулевых решений при значении а=2025. В результате ученик запутался, но подбором нашел только два варианта. Я его спросил: - Интересно! И какие же они, эти варианты?
- Ну, вот такие: x=25, y=1600 и x=225, y=900.
Я его, конечно, похвалил с таким успехом и подсказал, как буквально за считанные минуты задачу можно решить полностью. Тут ясно, что корень квадратный из 2025 равен 45. Поэтому, если убрать радикалы, то цепочка решений будет такой (принимая во внимание условие y>x):
1+44=45
2+43=45
........
21+24=45
22+23=45

Таким образом, ненулевых целочисленных решений будет ровно столько, сколько строк будем иметь с учётом обозначенных точками строк. Очевидно, что всего строк 22. Это и есть правильный ответ. Но чтобы иметь полную картину, лучше составить прогу, текст которой привожу в иллюстрации. Для верности копирую его и тут:

a=2025
print "   a = 2025"
print "--------------------------"
print "  N    x   y   (x) (y) (a)"
print "--------------------------"
for x=1 to 100
for y=x+1 to 200
if x+y=sqrt(a) then
N=N+1
print N using "###",x^2 using "####";
print y^2 using "####",x using "###";
print y using "###",sqrt(a) using "###"
fi
next y
next x
N=0

В итоге получим таблицу всех решений. Тут видно, что количество их непременно 22.
Кстати число 2025 - это как раз следующий год! Скоро уже будем его встречать.

9 ноября 2024 г.