Олимпиада Нью-Йорка, 8 класс

По ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=kqY4aYzvVgE
предложена довольно любопытная задача для восьмиклассников, причем олимпиадная. Частный случай решается геометрически довольно легко. Но хотелось бы иметь решение общее. Как ни странно, это пожелание далось мне достаточно быстро. Я сразу сообразил, что сторона ВС, точнее ее наклон, никак не влияет на значение угла "х". Это установил, приняв дополнительное соотношение c=t*a и решив систему уравнений, что справа от рисунков. В результате получил очень красивые формулы для сторон "а" и "с". Ну, а формула для угла пересечения диагоналей d1 и d2 выпуклого четырехугольника хорошо известна и записана в фиолетовой рамочке. Именно она подсказала мне, что в первую очередь необходимо было найти боковые стороны "а" и "c", а также диагонали "d1" и "d2". Программа расчета в самом общем случае такая:

d=4:b=2
t=1
a=sqrt(d*(d^2-b^2)/(d*t^2+2*b*t+d))
c=a*t
print a,b,c,d
d1=sqrt((a*c+b*d)*(a*d+b*c)/(a*b+c*d))
d2=sqrt((a*c+b*d)*(a*b+c*d)/(a*d+b*c))
print d1,d2
print c,a
d01=sqrt(d1^2+c^2)
d02=sqrt(a^2+d2^2)
print d01,d02
x=180/pi*acos((a^2+c^2-b^2-d^2)/(2*d1*d2))
print 180-x

В итоге будут распечатаны все промежуточные параметры, а в конце - искомый угол х=60 град. Причем, если задаться t=1.5 или t=2, то результат окажется таким же, то есть шестьдесят градусов. Как и в упомянутом видео.
Сделал графически тестовый пример, задав по проге t=1, b=6 и d=10. В итоге по расчету получил a=c=4.47214; d1=d2=8.94427 и угол x=53.1301 град. Транспортир последний параметр точно подтвердил. При t=2: a=2.94086; b=6; c=5.88172; d=10; d1=8.08736; d2=9.55779; x=53.1301 град. Все в итоге верно!

13 ноября 2024 г.