Парадокс близнецов

Если не заморачиваться нюансами ОТО <общая теория относительности Эйнштейна>, куда уносит многих пытающихся объяснить сей "парадокс", то из двух близнецов меньше постареет тот, кто до момента встречи успел проделать бОльший путь или, если они двигались по одинаковому пути, тот кто первый пришёл к финишу и потом дождался другого.

Пусть ИСО1 система, в которой наблюдаются движения всех участников. А ИСО2 это, например, космический ракетоносец с челноком на борту, который имеет скорость V относительно ИСО1 и летит по инерции. И на нём сначала летят оба близнеца. Выберем начало отсчёта координат и времени в системах ИСО1 и ИСО2 в точке и в момент, когда близнец 2 на челноке стартовал с ракетоносца со скоростью V2. Отлетев на расстояние L относительно ракетоносца, близнец 2 с той же скоростью вернулся обратно. Близнец 1 всё время находится в ИСО2 движущейся с неизменной скоростью относительно ИСО1. См. рис.1.

Рассмотрим сначала случай, когда челнок стартовал перпендикулярно вектору движения ИСО2. См. рис.2. Показана только 1-я часть его движения "туда", а "обратно" полностью симметрично.

ИСО2 движется вправо со скоростью V1 и в момент "0" челнок стартовал из точки "О" в точку "A", двигаясь вместе с ИСО2 вдоль её оси Y' со скоростью V2y. В абсолютной ИСО прошло время t, а в ИСО2 время Т1. Для близнеца 1 время Т1 вычисляется согласно формуле (1) показанной на рисунке. Ибо время замедляется у того, кто движется в абсолютной ИСО, см. "Причины замедления времени" http://proza.ru/2024/09/23/1056. Собственное время для близнеца 2 следует вычислять по формуле (2).

Приведём (2) к виду (3).
V2y вычисляется по формулам (4). V21 там – это скорость челнока относительно ИСО2. Следует учесть, что y'=y. Сравнив полученное выражение для V2y с выражение под радикалом в (3) и заменив его на V21, получим (5). Что, собственно, и ожидалось. И нет никакого парадокса.

Теперь рассмотрим более сложный вариант, когда челнок стартует в направлении движения ИСО2. См. рис.1. Тут уже придётся прибегнуть к преобразованиям Лоренца и обозначения введём другие.

Пусть в ИСО2 собственное время близнеца 1 от старта близнеца 2 до встречи с ним после возвращения равно t2. А собственное время Т близнеца 2 в том же событии следует вычислять по формуле (6) согласно лоренцеву замедлению.

Чтобы рассмотреть движение близнеца 2 в ИСО1, воспользуемся преобразованием Лоренца (см. "Преобразования Лоренца в 3-х мерном пространстве", http://proza.ru/2024/09/23/1469, формулы 15 и 16) для времени и скорости из ИСО2 в ИСО1 по формулам (7) и (8), где времена, расстояния и скорости в ИСО1 обозначены индексами 1, а в ИСО2 индексами 2 и литерами T2, x2 и V2.

В данном конкретном случае движение близнеца 2 складывается из 2-х эпизодов: сначала вперёд на расстояние L в ИСО2, а потом назад в точку старта. Время и скорость в ИСО1 по пути "туда" будем обозначать индексами 11, а обратному пути сопоставим индексы 12.

Подставляя в (7) T2=t2/2 и x2=L, получим в (9) время t11 для первой половины пути близнеца 2. Формула (10) для t1 соответствует сумме времён туда и обратно, т.е. в (7) тогда следует положить T2 равным t2 из (6) и x2=0, так как близнец 2 возвратился в точку старта в ИСО2. Зная общее время туда и обратно =t1, и время "туда" =t11, определим в (11) время t12 "обратно" для близнеца 2 в ИСО1. Времена t11 и t12 для близнеца 2 в ИСО1 приведены в (12).
Итоговое собственное время T близнеца 2, вычисленное в системе ИСО1, приведено в формуле (13).

В (14) представлены скорости близнеца 2 туда и обратно, но приведенные к ИСО1 согласно преобразованиям Лоренца (8).
Подставляя в формулу (13) выражения из (12) и из (15) с учётом (16), получим в (17) собственное время близнеца 2, вычисленное в ИСО1. Сравним его с (6).

Как видим, чтобы вычислить отношения собственных времён близнецов можно воспользоваться любой инерциальной системой отсчёта, в которой удаётся получать сведения о скоростях и путях близнецов относительно неё. Причём, в данном случае такой системой правомерно может быть система ИСО2 близнеца 1.