Отражение света в коническом световоде

Вряд ли где публиковались эти формулы. Строго говоря, формулы описывают отражение луча света в плоскости перпендикулярной к плоским сходящимися зеркалам. Но для осесимметричного случая и точечного источника применимы и к коническому световоду. Отражаемый луч тогда лежит в плоскости проходящей через ось симметрии световода. Акт отражения от световода показан на рисунке.

Формулы позволяют оценить апертуру входного пучка света, который гарантированно достигнет конца световода, угол лучей света на выходе из световода и степень затухания света при многократном отражении в зависимости от угла входа.

Пусть угол наклона образующей конуса к его оси равен "альфа". Угол отклонения луча после n-го отражения даётся формулой (1), а диаметр там световода формулой (2), где D1 - это его диаметр при первом отражении. Расстояние n-го отражения от места 1-го отражения вдоль оси даёт формула (3).

Следует иметь в виду, что луч в коническом световоде в конце концов поворачивает обратно. Число отражений до поворота назад даёт формула (4), а формула (5) показывает, какой при этом будет диаметр Dmin световода. Формула (6) описывает отражения в цилиндрическом световоде при "альфа"=0 и приведена, поскольку формула (3) для этого случая не подходит.

Схема первого акта отражения в коническом световоде приведена рисунке. Отражающийся луч изображён красными стрелками.

Геометрия процесса описывается формулами ниже. При каждом отражении угол между лучом и оптической осью меняется по формуле (1). Обозначим диаметры световода AB и CD как D1 и D2. Равносторонние треугольники AOB и COD подобны. Потому правомерны соотношения (7). Из схемы очевидна (8). Из (8) и (7) следует (9), откуда находим отношения диаметров (10).

Формулу (10) преобразуем к виду (11) <пользуясь справочником> и запишем соотношения диаметров и углов в виде рекурсивной формулы (12). Заменяя последовательно предшествующие диаметры формулами, будем сокращать левый числитель с правым знаменателем, пока не дойдём до подстановки D2. Выражение для него подставим из формулы (13), получив в итоге формулу (2).

Зная начальный и конечный диаметры, формулу (3) выведем по аналогии с (8).