Абсолютный звукоряд

А.Н.Ивашкевич.
В пределах частот, доступных для восприятия нормальным человеческим ухом (примерно от 20 до 20660 колебаний в секунду), можно выявить огромное количество звуков. Однако, при исполнении и написании музыкальных произведений, используется лишь небольшое их количество, причем эти звуки находятся между собой в строго определенных частотных соотношениях, называемых интервалами. В разные времена у различных народов использовались разнообразные принципы отбора звуков (нот) для построения музыкальных строев и звукорядов – своеобразных алфавитов, лежащих в основе любых музыкальных текстов.
Наиболее популярным  и оказавшим наибольшее влияние на развитие европейской  музыки был музыкальный строй, разработанный в древней Греции и известный под названием «строй Пифагора». Основные интервалы этого строя - октава, квинта (3/2) и кварта (4/3) – найдены опытным путём или, говоря проще, на слух. Остальные интервалы определяли посредством математических операций с квинтой: октаву разбивали на интервалы по степеням тройки и двойки. Частота какого-либо звука принималась за единицу, его октавой (звук с частотой в два раза большей или меньшей) будет двойка, а остальные более мелкие интервалы получались путем последовательного увеличения или уменьшения единицы в (3/2)Н раза с последующим октавным перенесением: делением или умножением получившейся частоты в два, четыре, восемь и т.д. раз, чтобы и все интервалы попали между 1 и 2, т.е. в октаву. Так, например, известная  пифагорова диатоническая гамма, примерно соответствующая мажорной гамме начиная с ноты До, получается из последовательности степеней (3/2):
(3/2)-1 ,(3/2)0=1, (3/2)1 , (3/2)2 , (3/2)3 , (3/2)4 , (3/2)5 .
Если этот ряд расширить в обе стороны от единицы то получится звуковой ряд, в котором внутри каждого интервала диатонической гаммы окажутся две дополнительные ноты (они были названы диезами и бемолями). Трудно сказать какие причины заставили последователей Пифагора отказаться от дальнейшего дробления октавы на более мелкие интервалы, однако сложилось мнение, что сколько бы мы не делали квинтовых ходов в любую сторону, мы никогда не достигнем интервала в целое число октав относительно начальной ноты или, другими словами: исходя из какой-либо ноты путем квинтовых ходов, с последующими октавным отнесением, нельзя получить эту же ноту следующей октавы, т.е. пифагоров строй незамкнут. По этой причине, а также из-за неприятного звучания в гармоний некоторых интервалов этого строя в 16 веке от него отказались.
На смену строя Пифагора пришел так называемый «чистый строй» в основе которого, помимо квинты, лежал интервал с отношением частот 5:4 (большая терция). Чистый строй характеризуется натуральным звуковым рядом – рядом расположенных в восходящей последовательности обертонов, отношение частот которых к основному тону составляет натуральный ряд чисел. Была предпринята попытка раскрыть физическую сущность натурального звукоряда на основе законов акустики («Химия и жизнь»,1984, №2, с.45). Однако предложенное Б.В.Гладковым уравнение для описания интервалов натурального звукоряда (Рn = n1/3 /k, где Рn – численное значение интервала; n – натуральный ряд чисел; k - принимает такое значение из ряда чисел   1,2,4,…,2n,    чтобы  Рn  попало между 1 и 2 не позволяет разбить октаву на ограниченное число интервалов. Это уравнение описывает бесконечное количество непрерывно уменьшающихся интервалов, среди которых, естественно, можно отыскать и интервалы натурального звукоряда. Легко убедиться, что любая функция вида  Рn ; n1/х /k,  где х = 1, 2, 3, и т.д., с таким же успехом может «описать» значения как натурального звукоряда, так и любого другого. В действительности, натуральный звукоряд – это последовательность гармонических обертонов от первого до пятого взятых  от основного тона, принятого за единицу, его квинты и большой терции (5/4) выше и ниже и сведенных в одну октаву ( см. Тейлор Ч.А. физика музыкальных звуков –М.: Легкая индустрия, 1976, 184 с.). Мы не будем рассматривать способы построения диатонической гаммы чистого строя, отметим только, что, хотя такая гамма более приятна в гармонии, она оказалась  неприемлемой при игре на инструментах  с фиксированной настройкой (фортепьяно, орган и др.) поскольку, чтобы проиграть одну и ту же мелодию в разных тональностях, требуется огромное количество дополнительных нот - для каждой тональности свой выбор нот. Кроме того, недостатком чистого строя , как и строя Пифагора, считается его незамкнутость: невозможно квинтами и большими терциями построить октаву. Для преодоления  этих недостатков в начале 18 века был разработан равномерно темперированный строй: октава делилась на 12 совершенно одинаковых полутонов. Этот строй является, по-существу , математической подгонкой интервалов пифагорова строя таким образом, чтобы он стал замкнутым. И хотя со времен И.С.Баха была убедительно показана применимость и универсальность этого строя, споры о качественной ценности  различных строев продолжаются и в настоящее время.
Среди причин, приведших к отказу от пифагорова строя и чистого строев, одной из основных считается их незамкнутость. Однако ни в одном учебнике по теории и истории музыки не приводится убедительного доказательства этого утверждения.
Строй Пифагора можно представить в виде последовательности  ,
где  Рn – численное значение интервала  n  и  k  принимают такие значения из ряда чисел 0, 1, 2 ,и т.д., чтобы величина Рn  попала между числами 1 и 2 , т.е. в октаву. Вопрос о замкнутости этой последовательности сводится к задаче : существуют ли такие целые числа n и k, чтобы Рn =2. Оказалось что существуют! На 53 шаге (n=53) получается величина интервала практически равная октаве: (3/2)53•2-30 = 2,0042. при дальнейшем продлении ряда (n>53) значение Рn начинают повторяться. Т.е. представление о невозможности квинтами построить октаву оказывается неверным.
Расположив вычисленные значения  Рn в порядке возрастания, получим звукоряд состоящий из 52 интервалов (см. таблицу),  который на 53 шаге замыкается. Интересно отметить, что наименьшее значение интервала (3/2)12•2-7 = 1,0136 как раз соответству3ет средней разрешающей способности человеческого уха. Полученный звукоряд описывается, как мы нашли, общей формулой вида:
Рn =(3/2)(12n – 53k)•2-(7n – 31k)
где n – порядковый номер интервала звукоряда, k – нуль или ближайшее целое положительное число, удовлетворяющее условию:
 
Так для n=1+4, k=0, для n=5+8, k=1 и т.д. Например, для девятого интервала n=9,  k , соответственно, равно 2, а Рn =1,125 (в пифагоровом и чистом строях этот интервал называется большая секунда). Для восемнадцатого интервала n=18, k=4, Рn =1,266 – в пифагоровом строе этот интервал называется большой терцией.
 
В чистом строе большая терция равна 1,250, а в нашем звукоряде этот интервал имеет порядковый номер 17:
Рn =(3/2)45•2-26 = 1,251
Нетрудно убедиться, что исходя не только из квинты, но и из кварты (4/3) можно получить такой же замкнутый звукоряд с практически теми же значениями 52 интервалов (величины интервалов расходятся не более чем на 0,22%). Этот результат, в общем-то, неудивителен, поскольку 4/3 = (3/2)-1•2. Неожиданным оказалось то, что исходя из большой терции, но принимая ее значение равным 1,249, а не 1,250



Таблица 1
Номер
интервала Звукоряд по
степеням 3/2 Натуральный
звукоряд Темперированный звукоряд
0 1 1 1           (До)
1 1,0136               
2 1,0275
3 1,0415 1,042        1,0595    (До;)
4 1,0557
5 1,0680 1,067        1,1225     (Ре)
6 1,0820
7 1,0972
8 1,1120
9 1,1250 1,125              
10 1,1400
11 1,1560
12 1,1720 1,172
13 1,1880        1,1892     (Ре;)
14 1,2010 1,200
15 1,2180
16 1,2340
17 1,2510 1,250
18 1,2660        1,260       (Ми)
19 1,2830 1,280
20 1,300 1,302
21 1,3180
22 1,3360 1,333        1,335       (Фа)
23 1,3510
24 1,3700
25 1,3890 1,389
26 1,4080       1,4142    (Фа;)
27 1,4240
28 1,4430 1,440
29 1,4630
30 1,4830
31 1,5000 1,500       1,495    (Соль)
32 1,5200
33 1,5410
34 1,562 1,562
35 1,583      1,5874   (Соль;)
36 1,603 1,600
37 1,623
38 1,645
39 1,668 1,667
40 1,687       1,682       (Ля)
41 1,710
42 1,733 1,736
43 1,757
44 1,783       1,782      (Ля;)
45 1,802 1,800
46 1,827
47 1,852
48 1,877 1,875       1,888      (Си)
49 1,898
50 1,924 1,920
51 1,951 1,953
52 1,977
53 2,004 2 2            (До)
(такую разницу интервалов не только на слух, но и прибором трудно уловить), можно построить тот же 52-интервальный звукоряд с теми же значениями интервалов, как и в случае квинты и кварты. Таким образом, утверждение о незамкнутости чистого строя также оказывается ошибочным. Более того, совершенно такой же 52-х интервальный звукоряд получается, если исходить из малой терции (6/5) или большой секунды (9/8), но принимая их равными 1,201 и 1,1249, а не 1,200 и 1,125, соответственно. Что это: случайность или проявление какой-то закономерности? Эти удивительные совпадения числа интервалов и их значений, независимо от того, кокой из основных музыкальных интервалов берется за исходный для разбивки октаны, позволяет предполагать, что полученный строгим математическим путем 53-х интервальный звукоряд представляет собой наиболее естественный, оптимальный музыкальный строй. Он включает в себя все интервалы Пифагорова и чистого строев, отпадает нужда в искусственной равномерной темперации. Конечно, трудно представить игру на инструменте, в октаве которого размещаются 53 звука. Однако можно ожидать, что именно такой инструмент с 53-х интервальной настройкой октав наилучшим образом будет отвечать гармонии. Кроме того, исходя из вычисленных 53 интервалов возможно, по-видимому, более рациональным способом провести темперацию и сократить число интервалов до приемлемого количества.