Сколько раз за сутки стрелки часов совпадают?

По субботам вся огромная Россия рассаживается перед своими телевизорами и  наблюдает за телевизионной игрой:«Кто хочет стать миллионером?».
- А, действительно.А ,почему бы и нет.
- Так– то, когда ещё станешь миллионером , разве что после девальвации   рубля.
- А  тут , ответил на пятнадцать вопросов, прошёл,так сказать, тест на трезвость , что не сразу пропьёшь всю сумму, а хотя бы часть денег оставишь в банке , который спонсирует эту передачу, и на - заполучи свой миллион.
 Наш народ всегда очень переживает за игроков и тоже пытается отвечать на вопросы ведущей, компот из которых составлен так , что мозгов одного нормального человека часто не хватает. И вдруг я слышу простенький вопрос:
« Сколько раз за сутки стрелки часов совпадают на циферблате?».
Ответов четыре: 21 , 22 , 24 ,  64.   
- А, что здесь думать! Это конечно - 24, по количеству часов в сутках.
-А вот и нет, - говорит мне с экрана симпатичная ведущая - 22,- часовая стрелка делает за сутки всего лишь 2 оборота , а минутная ровно 24, их разница и даст  цифру 22.
Я от неожиданности привстал со стула:
- Это же подгон в чистом виде! А, где же тут логика, то есть  последовательность верных умозаключений , опирающихся на предыдущие  утверждения.
Видимо что-то было упущено в моей "консерватории", я ЛИАП имею в виду.  Однако проблема стрелок, подобно яду, глубоко проникла в моё сознание. В воскресение я позвонил Славику, чтобы тот не забыл поздравить нашего Шефа – «В.В.» с юбилеем . Славик одно время преподавал , имел большой опыт общения  со  студентами и обширные познания, за что Шеф его очень уважал.
Мой полуденный звонок застал Славика на пляже Петропавловской крепости и почти совпал с выстрелом пушки.  Чтобы время пребывания  Славика  на открытом воздухе  было  не только  приятным, но еще   и полезным,  я  в конце нашего разговора озвучил вопрос из субботней телевизионной игры :« Сколько раз за сутки стрелки часов совпадают на циферблате?». Но,и Славик не сумел дать   правильный  ответ. Тогда я тупо взял будильник и опытным путём стал искать ответ на столь казалось бы очевидный  вопрос, хотя в принципе , его можно было решить математически. Поэтому я просто перевернул лист с набросками формул и записал:

  Мы все наследники  волхвов:
  Какие к чёрту формулы.
  Удар ножищей, и готов
  К труду нерукотворному.

  Вот самолёт едва взлетел 
  И наземь сразу брякнулся.
  На бирже газ чуток просел
  И тут же рубль крякнулся.

  Учите физику друзья,
  Вникайте в экономику.
  Не доверяйте  жизнь свою
  Очередному комику... 

Покончив с пушкинианой, я вдруг почувствовал ,что вопрос со стрелками достиг порога одержимости и стал навязчивой идеей. Пришлось перевернуть лист бумаги обратно и продолжить математические расчёты.
В понедельник я набрал Славу и рассказал ему, что нащупал верное решение. Слава выслушал меня ,после чего сказал , что если бы часы имели дискретный механизм, то стрелки часов никогда бы не совпали. Суть же моего решения сводилась к следующему:

Возьмём два циферблата: часовой- "Ziffer blatt" и минутный- "Ziffer blatt".  Стрелка на часовом циферблате образует с осью Х угол - H:
 
 H = ( 2п / 720 )• t ;  и   делает полный оборот за 12 • 60 минут.

А стрелка на минутном циферблате образует с осью Х угол - М : 

 М = ( 2п / 60 )• t ;  и    делает полный  оборот за 60 минут.
Очевидно, что совпадение этих углов и даст те самые точки  на циферблате ,  где встречаются стрелки.  Но , просто разница углов H и M  не показательна!
 t• (( 2п / 60 ) - ( 2п / 720 )) = t•(22п / 720) = t•(11п/ 360 ), где время t  в  минутах.
А , что со всем этим прикажете дальше делать?
Давайте спустимся в подвалы тригонометрии и посмотрим, а нет ли там чего-нибудь эдакого типа:

cos(a-b) = cos a • cos b  + sin a • sin b;

В моменты совпадения стрелок, косинус разности углов ( cos (a-b)) устремится к  1, а  вся правая часть-  сумма квадратов синуса и косинуса  обратится в 1 , как уравнение окружности . Тогда все критические точки сами вылезут , если  взять производную по времени t, слева и справа, как от функции, чтобы отловить эти замечательные моменты:

(11п / 360) sin  (11п / 360) • t   =0

В моменты совпадения стрелок , после одного полного оборота  минутной  стрелки в 2п , sin обращается в 0. Про 180 градусов, мозги даже не напрягаем, смотрим только на наш  Ziffer  blatt,  и просто тупо подставляем - 2п, 4п, 6п, 8, и т.д. , а   затем отнимаем по - 60, 120, 180, 240...и так далее,    минут с  каждым оборотом минутной стрелки из наших расчетов:
(2..4…6…8…10.. )п  =  (11/ 360 ) •  t ;
В результате расчётов получим  моменты совпадения стрелок часов, выраженный в   минутах :
5,4 / 10,9 /  16,4/   21,7/  27,2 /  32,6  / 38,1 /  43,5  / 48, 9 /  54,4  /  59,8 .
Сделаем ещё один -  последний круг, но точек от этого не становится больше,   их сумма по-прежнему равна числу -   22, что совпадает с  правильным  ответом   коварной ведущей. А вот поверит ли моим расчетам Славик – не факт .  Послал свои догадки-выкладки Игорьку - нашему однокашник - мыслителю  из дальнего  зарубежья. Вскоре вернулось эхо:
«Не прибегая к арифметике соображаем, что в каждом часе имеет место…»
Ну, что тут скажешь. Гений, гений во всём, к чему бы не коснулась его  светлая мысль! Сразу почувствовал его имперский стиль, хоть и прошло-то    всего каких-то сорок лет , и его особый философский взгляд на любую    проблему, словно из другого - четвёртого измерения.  Я тут же схватился за перо и увековечил Игорька на всё той же бумажке:

  Что для него дурацкие проблемы-
  Какие-то со стрелками часы.
  Он Эйлера сухие  теоремы
  Замачивает словно те трусы.

  Он рассчитал "Железный купол",
  Ему подвластны Махи все.
  Мир на Востоке очень хрупок.
  Как скарабей на взлётной полосе.

Но всё же , я прав или не прав? Полез в интернет. Там сам чёрт ногу сломит.  Народ лишь хохмит и подкалывает друг –друга, в зависимости от культурности и степени развитости. Но, первую точку от 0 часов ( 60 +  60/11), я  всё-таки там нашёл и она совпала с моей. Далее все 11 отсчетов должны располагаться через равные промежутки 60/11. Вот , как-то  так ...