Сколько раз за сутки стрелки часов совпадают?

По   субботам  вся  огромная   Россия   рассаживается    перед  своими   телевизорами  и  наблюдает за   телевизионной  игрой:  «Кто хочет стать миллионером?»
- А,  действительно ,  а почему бы  и  нет.
-   Так –то, когда ещё  станешь   миллионером ,   разве   что  после  очередной  девальвации   рубля.
- А  тут ,  ответил  на   пятнадцать    вопросов,  прошёл  ,так  сказать, собеседование  на трезвость   ,   что не пропьёшь  сразу все деньги  , а  хотя бы  часть из них   оставишь   в банке , который  как раз и спонсирует эту передачу,  и   на  - заполучи   свой  миллион.
 Наш народ   всегда   очень   переживают   за игроков,  и   тоже    пытается    отвечать   на вопросы   ведущей.  Компот  из  вопросов   составлен    так  , что   мозгов    одного   нормального человека   часто  не  хватает. И   вдруг   я слышу   простенький    вопрос:  « Сколько раз за сутки    стрелки  часов   совпадают  на циферблате?».  Ответов четыре: 21 , 22 , 24 ,  64.   
- А, что тут думать!  Конечно   это  -   24,  по количеству  часов  в сутках.
-А вот и нет, - говорит  с экрана   симпатичная  ведущая, -  22.  Часовая стрелка делает   всего лишь  2 оборота за сутки, а минутная  ровно  24, их разница и   даст  цифру 22.
Я от неожиданности   даже привстал  со стула  :
-  Это же подгонка  под  ответ    в чистом виде! А,  где же   логика, то есть  последовательность   верных   умозаключений ,   опирающихся  на  предыдущие  утверждения .
Видимо   что-то  было  упущено в  моей   консерватории,  я   ЛИАП   имею   в  виду.  Однако  проблема   стрелок,  подобно  яду,   глубоко  проникла  в моё  сознание.   В воскресение  я   позвонил   Славику, чтобы  тот  не забыл  поздравить нашего Шефа – «В.В.»   с днём рождения .  Славик долгое  время   преподавал  ,   имел  большой   опыт  общения  со  студентами  и обширные познания,  за   что Шеф  его  очень уважал.
Мой  полуденный  звонок застал Славика на пляже Петропавловской крепости и совпал   с выстрелом  пушки.  Чтобы время пребывания  Славика   на открытом воздухе   было  не только  приятным, но еще   и полезным,  я  в конце нашего разговора  озвучил   вопрос  из  субботней  телевизионной  игры :   « Сколько раз за сутки    стрелки  часов   совпадают  на циферблате?».   Но,  и  Славик  не  сумел  дать   правильный  ответ.  Тогда    я    тупо  взял   будильник и    опытным путём   стал  искать  ответ на , столь  очевидный  вопрос,  хотя ,  в принципе  , его можно было   решить  математически .    Поэтому я    просто   перевернул  лист  с  набросками   формул ,  и    записал  :

  Мы все наследники  волхвов:
  Какие   нахрен  формулы.
  Удар ножищей , и готов
  К труду нерукотворному.

  Вот самолёт - едва взлетел, 
  И наземь тут же  брякнулся.
  На бирже  газ  чуток  просел,
  И  рубль  ту же крякнулся.

  Учите физику друзья,
  Вникайте  в  экономику.
  Не доверяйте  жизнь свою
  Очередному   комику. 

Покончив  с   пушкинианой,  я   вдруг  почувствовал ,что   вопрос  со стрелками    достиг порога  одержимости и стал  навязчивой идеей. Пришлось перевернуть лист обратно  и   продолжить математические  расчёты.
В понедельник я  набрал Славу  и  рассказал  ему, что вроде  бы  нащупал   верное   решение. Слава  меня выслушал, а потом  сказал , что  если  бы  часы  имели  дискретный  механизм, то  стрелки никогда бы не  совпали. Суть же  моего решения  сводилась  к   следующему:
Возьмём  два циферблата: часовой - "Ziffer blatt" и минутный - "Ziffer blatt ".  Стрелка  на часовом с осью Х образует  угол - H:
 
 H =  ( 2п / 720 )• t ;  и   делает полный  оборот за 12 • 60 минут.
А  стрелка  на  минутном с осью  Х образует  угол - М : 

 М =  ( 2п / 60 )• t ;  и    делает полный  оборот за 60 минут.
Очевидно, что   совпадение  этих углов и  даст  те  точки  на циферблате ,  где     встречаются стрелки.  Но ,  просто   разница  углов  H и M  не показательна!
 t• (( 2п / 60 ) - ( 2п / 720 )) = t•(22п / 720) = t•(11п/ 360 ), где время t  в  минутах.
А , что  дальше    с этим    прикажете  делать?   Тогда   спустимся   в  подвалы  тригонометрии,  и   посмотрим  - нет ли там  чего-нибудь  эдакого  типа  :
cos (a-b) = cos a • cos b  + sin a • sin b;
В моменты   совпадения   стрелок  ,  cos (a-b) устремится   к  1, а  вся   правая часть, как  сумма квадратов  синуса и косинуса  обратится  в 1, как уравнение окружности .  Тогда   все  критические точки  сами  вылезут ,  если  взять  производную по времени   t,   слева  и справа,  как  от функции,  чтобы  отловить эти   замечательные    моменты:

(11п / 360) sin  (11п / 360) • t   =0

В  моменты  совпадений , после  одного  полного  оборота  минутной  стрелки в   2п  ,   sin    обращается    в 0. Про 180 градусов, мозги даже не напрягаем, смотрим  только   на   наш  Ziffer  blatt,  и    просто     тупо    подставляем    2п, 4п, 6п, 8, и т.д. , а   затем       отнимаем    по   60, 120,   180,   240  …и    так далее,    минут   с  каждым   оборотом    минутной  стрелки   из    наших расчетов:
(2..4…6…8…10.. ) п  =  (11/ 360 ) •  t ;
В результате расчётов получим  моменты совпадения стрелок часов, выраженный в   минутах :
5,4 / 10,9 /  16,4/   21,7/  27,2 /  32,6  / 38,1 /  43,5  / 48, 9 /  54,4  /  59,8 .
Сделаем ещё  один  -  последний   круг,   но точек  от этого   не  становится больше,   их   сумма   по-прежнему равна числу    -   22,   что   совпадает    с  правильным  ответом   коварной   ведущей .    А  вот, поверит  ли     моим    расчетам    Славик – не факт .  Послал свои   выкладки- догадки   Игорьку-  нашему   мыслителю   однокашнику   из    дальнего  зарубежья.   Вскоре  от  туда   вернулось  эхо:
«Не  прибегая  к  арифметике  соображаем,  что в каждом часе  имеет место…»
Ну, вот  гений,  гений   во всем,  к чему бы не  коснулась  его  светлая   мысль!    Сразу  чувствуется  его  имперский   стиль, хоть и прошло-то    всего     каких-то  сорок  лет ,  и   его  особый  философский   взгляд на любую    проблему,   словно  из другого - четвёртого   измерения.  Я  тут же схватился за перо,   и     увековечил   Игорька  в бумажке  :

  Что для  него дурацкие  проблемы-
  Какие-то   со стрелками часы.
  Он  Эйлера  сухие  теоремы
  Замачивает словно те  трусы. 

« Но всё-таки, я прав или не прав?»   Полез в интернет. Там  сам чёрт ногу сломит.  Народ   хохмит   и подкалывает  друг –друга,    в зависимости  от  качества  и  степени   образования. Но,  первую точку от  0  часов   ( 60 +  60/11),   я  всё-таки   нашёл  ,  и она совпала  с моей.   Далее  все   11  отсчетов   должны располагаться  через   равные   промежутки    60/ 11  . Вот , как-то  так .