Ускоренное расширение пространства Вселенной

1. Введение в тему

Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) – одна из теорий квантовой гравитации, основанная на концепции дискретного пространства-времени и предположении об одномерности физических возбуждений пространства-времени на планковских масштабах. Поскольку в теории ПКГ размер ячеек пространства составляет 10^–35 метра – это так называемая планковская длина, расстояние, на котором гравитационные и квантовые эффекты сравнимы по силе.
Согласно теории ПКГ, пространство и время состоят из дискретных частей. Эти маленькие квантовые ячейки пространства определённым способом соединены друг с другом, так что на малых масштабах времени и длины они создают пёструю, дискретную структуру пространства, а на больших масштабах плавно переходят в непрерывное гладкое пространство-время (см. рис. 1).
Наблюдения европейского космического телескопа Integral («Интеграл») позволили ограничить сверху размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана (не обнаружившие зернистость пространства). Анализ данных показал, что если зернистость (дискретность) пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10^–48 метра или меньше. Например, у физиков есть гипотеза, что дискретность пространства проявляется на уровне квадрата планковской длины, то есть на уровне порядка 10^–70 метра (но такой уровень в экспериментах физикам пока недоступен).

2. Элементарная ячейка пространства (ЭЯП)

Далее мы переходим к тому, что нам «подсказывает» мир натуральных чисел (в рамках моей числофизики). Всё ниже следующее в идеале (просто мечты автора) следовало бы прочитать серьезному физику-теоретику (обдумывающему ПКГ или свою подобную теорию), чтобы в полной мере оценить, понять, уловить «подсказки» мира чисел в части дискретного пространства-времени.
Числофизика – это гипотеза автора, утверждающая, что теория чисел может в какой-то степени «моделировать» (отражать, объяснять, предсказывать, …) «устройство» фундамента Мироздания (дискретного пространства-времени). Теория чисел – сложный, красивый и бесконечный по содержанию раздел высшей математики, изучающий в том числе законы натуральных чисел (и, в первую очередь, простых чисел). Простые числа (P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, …) – это ряд бесконечных чисел, имеющих только два делителя (1 и само Р), и именно из простых чисел строятся (в каноническом виде) все прочие – составные натуральные числа (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …), у которых псевдослучайное количество (Т) целых делителей больше двух (Т > 2).
У составных чисел (N) параметр Т (назовём его тип числа N) может быть любым натуральным числом больше 2, то есть рано или поздно, но любой тип Т непременно впервые появится у некого числа N (которое назовём лидером мира Т), а потом этот тип Т будет (непредсказуемо, случайно) появляться в натуральном ряде до бесконечности.
В рамках числофизики мы будем полагать (в нашей наипростейшей модели), что на числовой оси размер всякой элементарной ячейки пространства (ЭЯП) моделирует расстояние (R) между соседними простыми числами, которое мы назовём радиусом K-го простого числа:
R = P2 – Р1,                (2.1)
где Р1 < P2 – это соседние простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …), с порядковыми номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …(в ряде всех простых, разумеется, что  K1 < K2) [увы, на Дзене не так просто написать (в данном случае) индексы K и K+1 у соседних простых чисел, поэтому формула (2.1) и нижеследующие формулы имеет столь странный («дзеновский») вид].
Очевидно, что скорость (V1), с которой у K1-го простого числа P1 растет его радиус R1 (размер K1-ой ЭЯП), запишется так:
V1 = (Р2 – Р1)/(K2 – K1) = R1,                (2.2)
где P2 > P1 – это соседние простые числа, а вот разница их порядковых номеров (K2 – K1) всегда равна 1. Поэтому у простого числа P1 его радиус R1 (размер ячейки) – это и есть скорость V1 изменения данного радиуса за единицу времени, что и выражает формула (2.2).
Согласно теории чисел количество (K) простых чисел на отрезке [1; P] в первом приближении можно вычислить по такой асимптотической формуле [на это указывает символ тильды (~) вместо знаков обычного равенства («=» или «;»)]:
K ~ P/(lnP – 1).                (2.3)
Всякая асимптотическая формула (коих много и самых разных в теории чисел) говорит о том, что относительная погрешность (ОП) формулы (2.3) устремляется к нулю (ОП ; 0), когда её аргумент (здесь это Р) устремляется к бесконечности.
Прологарифмировав формулу (2.3) легко получить обратную к ней (и ей тождественную, эквивалентную) асимптотическую формулу:
P ~ K;lnK,                (2.4)
что всегда будет меньше реального простого числа Р (с номером K).
Очевидно, что минимально возможный радиус Rmin = 2 будет у всех простых чисел-близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31),… . А вот максимально возможный радиус (Rmax и размер ЭЯПmax), согласно гипотезе Фирузбэхт (1982 год), при P ; 29 не превысит такого значения (правда, эта гипотеза проверена только до Р = 10^19):
 Rmax = (lnP)^2 – lnP – 1.                (2.5)
После подстановки формулы (2.4) в (2.5), мы получаем (при K > 3):
Rmax = (lnK)^2 + (2*lnlnK)*lnK.                (2.6)

3. «Начинка» ЭЯП (элементарные события микромира)

Таким образом, при P > 3 в каждой K-ой элементарной ячейке пространства (ЭЯП) есть своя «начинка» – это псевдослучайное (непредсказуемое) количество составных чисел (N), которые, возможно, моделируют некие элементарные события (в количестве R – 1), происходящие в микромире на предельно глубоком уровне (и ещё неизвестном физикам). И чем больше Р (больше K), тем, вообще говоря, больше Rmax (см. формулы 2.5 и 2.6), а также больше, разнообразнее, сложнее «начинка» ЭЯП [но всегда внутри ЭЯП будет встречаться только одно составное число – это будет в паре чисел-близнецов (где Т = Тmin = 2)]. Разнообразие «начинки» ЭЯП заключается в непредсказуемом «калейдоскопе» типов (Т) у составных чисел ячейки: от Т = 3 до Т = Тmax у сверхсоставных чисел (или типомаксов – это в рамках числофизики), имеющих наибольшее (Тmax) количество целых делителей (больше, чем у всех предшествующих чисел). Причем количество общих делителей, возможно, «моделирует» некие виртуальные связи между собой разных реальных ЭЯП [в части некой «связи» – см. на Дзене статью автора «Объяснение % состава наблюдаемой Вселенной…» (22.10.24)]
При этом в рамках числофизики мы будем полагать, что размер элементарной ячейки пространства (ЭЯП) составляет порядка 10^–70 метра (квадрат планковской длины, см. гл. 1 про теорию ПКГ). Поэтому на числовой оси 1 метр дискретного пространства содержит порядка 10^70 элементарных ячеек пространства [однако это не догма и, взяв иной размер ячейки, читатель получит иные результаты (следуя рассуждениям аналогичным в данной статье ниже)]. Даже из гл. 2 уже угадывается (и ниже это мы обоснуем), что ЭЯП не только мощно флуктуируют, но и, вообще говоря, расширяются с ускорением.
В нашей наипростейшей модели мы также будем полагать, что фотон (квант света) проходит всякую элементарную ячейку пространства (ЭЯП) со скоростью света в вакууме (с = 3*10^8 метров/секунду). И, если полагать эту скорость постоянной (с = const, что далеко не факт и в общепризнанной физике), то получается, что счётчик времени как бы «замораживается»? Ведь при устремлении K в бесконечность  очередная ЭЯП уже никогда «не закроется» (следующим простым числом), поскольку даже расстояние между соседними парами простых чисел-близнецов, вообще говоря, также устремляется к бесконечности.
Однако вместо «заморозки» счётчика времени (параметра K) можно говорить «всего лишь» об … исчезновении времени (прекращении роста K). Поясним данный феномен. Пусть Р – это сколь угодно большое простое число, с порядковым номером K (в ряде всех простых), тогда нам достаточно полагать, что всякий отрезок [1; P] натурального ряда – это всего лишь первые делители (d = 1, 2, 3, 4, …, Р – копия отрезка [1; P]) колоссального метачисла (М), вычисляемому так:
 M ~ exp(P),                (3.1)
или, иначе говоря, M ~ ;^P, где e = 2,718… – важная математическая константа – число «е», которую мы умножаем саму на себя Р раз – согласно формуле (3.1)], а Р – это старшее (наибольшее) простое число (в упорядоченном ряде всех простых: 2, 3, 5, …, Р), порождающее метачисло М в каноническом виде (его легко находить, см. у автора статью «Метачисло…»). Например, шестое (K = 6) простое число Р = 13 порождает такое метачисло (в каноническом виде): М = (2^3)*(3^2)*5*7*11*13 = 360360, откуда мы, согласно теории чисел, легко вычисляем у метачисла М, скажем, его тип: Т = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)^4 = 192 (всего 192 делителей, включая 1 и само М). Кстати, приблизительная формула (3.1) (об этом в ней говорит символ тильда «~») для шестого метачисла М ~ exp(13) = 442413 даёт в 1,2 раза больше реального значения (М = 360360), однако, чем больше старшее простое Р – тем погрешность формулы (3.1) становится менее существенной, поэтому для достаточно больших Р можно смело пользоваться весьма удобной формулой М ~ exp(P).
И сколько бы не было делителей у метачисла (их будет Т = Тmax штук, то есть как у ближайшего соседнего типомакса N < М, то есть метачисло М здесь выступает как лучший заменитель родственного ему типомакса N) – среди этих T штук делителей не будет простого числа, превосходящего старшего Р, то есть после старшего Р в ряде всех делителей метачисла больше нет простых чисел (то есть время исчезает) и нам известная теория чисел (некий «прообраз» известной нам физики) перестаёт работать. Образно говоря, «внутри» всякого метачисла (в лице всех его уникальных Т делителей) есть своя уникальная вселенная со своими неповторимыми законами физики. См. у автора на Дзене статью (от 07.12.24) «Вселенная – это внутренность … чёрной дыры…» (а эту дыру «моделирует» всякое метачисло, типомакс и похожие на них числа).
Рабочий отрезок автора – это 120000 первых простых чисел (Р), исследуя на ПК именно эти числа, автор получил всё нижеследующее.

Чтобы найти приблизительное количество (Т) всех делителей у метачисла М ~ exp(P) при 5 < Р < 60013 можно пользоваться такой эмпирической формулой автора [откуда Т ~ exp(exp(…))]:
lnlnT ~ 0,01425*(lnP)^2 + 0,6088*lnP – 0,0541,             (3.2)
при этом вплоть до Р = 7933 (Tреал = 10^308) наша формула (3.2) ошибается не более, чем на 2 порядка: 0,01 < Т/Tреал < 100. Однако при Р > 7933 формула (3.2) не годится и надо пользоваться формулой (3.4).
У типомаксов (N) при N >> 1 параметр Т устремляется к значению параметра Т у праймориалов (про них – см. в википедии):
Tmax ~ 2^[lnN/(lnlnN – 1)] = N^[ln2/(lnlnN –1)],              (3.3)
а при Р > 7933 метачисло (М) близко к родственному типомаксу (M ~ N с таким же Т) и lnN ~ lnM ~ P, поэтому из формулы (3.3) получаем:
lnlnT ~ lnP – lnlnP + lnln2.                (3.4)
Поскольку K ~ P/lnP (см. формулу 2.3), то lnK ~ lnP – lnlnP и, с учётом (3.4), получаем, что для большого метачисла можно записать:
lnT ~ K,                (3.5)
то есть у большого метачисла логарифм его типа (lnТ) близок количеству (K) линейных делителей данного метачисла («линейных» – т.е. копирующих начало натурального ряда: 1, 2, 3, 4, …, Р). Например, в части метачисел для 31; K ; 3241 автор получил такую эмпирическую формулу:
lnT ~ (0,693 + 0,967/K^0,608)*K.                (3.6)
Итак, ещё раз: разнообразие и фундаментальное значение «начинки» элементарных ячеек пространства (ЭЯП) заключается в непредсказуемом «калейдоскопе» типов (Т) у составных чисел внутри ячейки: от Т = 3 до Т = Тmax у сверхсоставных чисел (типомаксов), метачисел и других чисел, близких к ним в части фундаментального параметра Т (о котором можно написать отдельную увлекательную книгу).
 
4. Средний размер (средняя скорость) ЭЯП

Формула (2.4) P ~ K;lnK позволяет получить выражение для радиуса R (и скорости V изменения данного радиуса за единицу времени) K-го простого числа: R = V ~ (K + 1)*ln(K + 1) – K*lnK = (K + 1)*ln[K*(1 + 1/K)] – K*lnK*(K + 1)*(lnK + 1/K) – K*lnK, откуда окончательно получаем:
R = V ~ 1 + 1/K + lnK                (4.1)
Очевидно также, что сумма (sum) всех первых K радиусов равна разности P – 2 [поскольку: sum = (3 – 2) + (5 – 3) + (7 – 5) + (11 – 7) + … + (P – р) = P – 2], поэтому на отрезке [1; P] средний радиус будет таким:
Rср = (P – 2)/K,                (4.2)
где K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – порядковый номер простого числа Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (в ряде всех простых), а также K – это ещё и порядковый номер элементарной ячейки пространства (ЭЯП), иначе говоря, K – это счётчик ЭЯП (счётчик времени).
Подставив формулу (2.4) в формулу (4.2), мы получаем: Rср ~ (K*lnK – 2)/K, поэтому при K >> 1 можно смело записать:
Rср ~ lnK.                (4.3) 
Подставив формулу (2.3) K ~ P/lnP в формулу (4.3), мы получим Rср ~ lnP – lnlnP и, пренебрегая lnlnP, окончательно получаем:
Rср ~ lnP.                (4.4)               
Исследования на ПК первых 120000 простых чисел показывают, что при P > 11 всегда выполняется неравенство: lnK < Rср < lnP, причем у формулы Rср ~ lnK, вообще говоря (за исключением примерно такого интервала: 26 < K < 1230, т.е. 100 < P < 10000) относительная погрешность (ОП) будет больше (то есть хуже), чем у формулы Rср ~ lnР, у которой ОП < 1,55/(lnP)^1,1043 (что, по оценке автора, близко к истине, как минимум, до Р ~ 10^24 когда ОП = 0,0185, т.е. убывает до 1,85 %, что в 3 раза меньше, чем будет у формулы Rср ~ lnK).
При этом следует помнить, что радиус R (то есть скорость V) простого числа мощно флуктуирует (непредсказуемо изменяется) во всё возрастающем диапазоне: 2 ; R < Rmax, где Rmax ~ (Rср)^2 – Rср – 1, что следует из формул (2.5) и (4.4). И на графике R = f(lnP) линия тренда всех точек (первых 120000 простых чисел Р) – устремляется к графику функции Rср ~ lnP (формула 4.4).

5. Ускорение изменений размера ЭЯП

Ускорение (А), с которым у K-го простого числа Р изменяется его радиус R (размер K-ой элементарной ячейки пространства), можно записать такой общей условной формулой:
А = (V2 – V1)/(K2 – K1),                (5.1)
где V2 и V1 – это скорости (найденные по формуле 2.2) у любых соседних простых чисел (P2 > P1).
Исследования на ПК первых 120000 простых чисел показывают:
1). Ускорение положительное (A > 0) у 57782 простых чисел, то есть у 48,15 % простых чисел, причем дальнейший рост (или всё-таки убывание?) этих процентов вызывает вопросы.
2). Ускорение отрицательное (A < 0) у 57747 простых чисел, то есть у 48,12 % простых чисел, и явный рост этих процентов, начинается с первых простых чисел (за счёт убывания чисел с нулевым ускорением).
3). Нулевое ускорение (A = 0) у 4471 простых чисел, то есть у 3,73 % простых чисел, и налицо явное убывание доли (D) таких простых чисел, скажем, по такому закону: D = 0,3082/(lnK)^0,862 (при K ; 1577).
 4). Сумма всех ускорений (нарастающим итогом) всегда оказывается положительной (;А > 0), а среднее ускорение (Аср на указанном отрезке) описывает такая линия тренда: Аср = sum(А)/K = 3,1548/K^0,912.               
 5). По мере роста K (счётчика времени) среднее ускорение Аср можно описать такой эмпирической формулой (где B и Z – это линии тренда с высокой достоверностью соответственно 0,9997 и 0,9994):
Аср = B/K^Z,                (5.2)
B = 0,0071*(lnK)^2 + 0,1407*lnK + 0,5377,                (5.3)
Z = 1/[1 + 2,3738/(lnK)^1,2970].                (5.4)
6). В части среднего ускорения Аср можно обнаружить и такую линию тренда (с высокой достоверностью 0,9998): ln(K;Аср) = f(lnlnK), откуда мы получаем весьма полезную формулу:
Аср* = exp[0,0969*(lnlnK)^2 + 0,7054*lnlnK – 0,2351]/K.      (5.5)
О точность данной формулы относительно формулы (5.2) можно судить по такому отношению Аср/Аср*, а именно: при 10^7 < K < 10^308 мы получаем следующее: 1,04 > Аср/Аср* > 0,96. А вот при K = exp(10^17) формула (5.5) нам выдаёт Аср* = exp(– 9,99999999999998;10^16), что почти равно K, и у нас не остаётся сомнений, что при K >> 1 мы получаем:
Аср ~ 1/K.                (5.6)
И если вспомнить, что ускорение – это первая производная от скорости (для которой выше мы получили Vcp = Rср ~ lnK, см. выше формулу 4.3), то формула (5.6) вполне подтверждается: Аср = (Vср)' = 1/K.
7). Можно предположить, что в мире чисел будет выполняться и такой закон (в части второй производной от средней скорости):
(Vср)'' = – 1/K^2,                (5.7)
а вот проверить на ПК эту гипотезу автора – могут сами читатели.

6. Распределение средних ускорений по сериям

В гл. 5 уже говорилось, что сумма всех ускорений (sumА) нарастающим итогом – это всегда положительное число. Поэтому и среднее ускорение (Аср = sumА/K) – также всегда положительное число. При этом исследование на ПК первых K = 120000 простых чисел показывает, что все средние ускорения (параметр Аср) распределяются по 58-ми сериям (группам с условным номером S). «Распределяются» – это значит, что на графике Аср = f(K) в логарифмических осях все средние ускорения данной серии (S) будут лежать на прямой линии с таким уравнением:
 Аср = S/K,                (6.1)
иначе говоря, если реальный K-ый параметр Аср будет в точности равен отношению S/K, то данный параметр Аср относится к серии S.
В качестве номера серии (S) выступают все первые простые числа, правда, кроме 2, 107, 127 (как это объяснить?), а именно: S = 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …, 131 (это 32-ое простое число в ряде всех простых, если начинать отсчет с простого числа Р = 2). Кстати, иногда математики и совершенно особое число 1 (единицу) считают простым числом, вот и в данном случае (с нашими сериями) мы должны согласиться с математиками. Однако помимо указанных первых простых чисел в качестве номера серии (S) выступают и 28 составных нечетных чисел: S = 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99, 105, 111, 117 (как их можно объяснить?). На долю этих, скажем, составных серий приходится около 22 % всех средних ускорений (всего их 120000 значений), то есть доля простых серий – около 78 %.
При этом на долю наименьшей серии (S = 1) приходится около 10 % всех средних ускорений. Наибольшая доля (около 16,8 %) – у серии S = 5, а на долю первых 10-ти серий (идущих по возрастанию: S = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) приходится почти 81 % всех средних ускорений.
В целом доля (D) серии S, вообще говоря (совершая существенные колебания), убывает по такой экспоненте:
D ~ 0,168/exp(0,09*S).                (6.2)
Если читатель знает, как вычислить на ПК все первые простые числа (120000 штук и более того), то он сможет сам провести более тщательные исследования средних ускорений (параметра Аср и его серий).
06.01.2025, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2025