Философ и логика

      
               

      Иммануил Кант[1] считал, что отрицанием утверждения

      «Мир имеет начало во времени и ограничен в пространстве»

является:
 
      «Мир не имеет начала во времени и границ в пространстве; он бесконечен и во времени, и в пространстве».

      Такие пары: предложение и его отрицание (тезис и антитезис) называются «антиномиями». Кроме антиномии о мире, у Канта в этой работе ещё три, т. е. всего четыре пары.

      Философ ошибся во всех четырёх. 




                А КАК ПРАВИЛЬНО?
   

      Рассмотрим ситуацию с точки зрения логики.

      Предложение «А и В» принято называть конъюнкцией (пишут: A&B), а «А или В» называется дизъюнкцией (символически: A\/B). Высказывание «Неверно, что А» называют отрицанием А, пишут: ¬A.

      Два предложения A, B равносильны, если они истинны или ложны одновременно:

                A <=> B.

Основные логические операции (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание) связаны законами де Моргана[2]:

      Отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний,
               
                ¬(A\/B) <=> ¬A & ¬B.

      Отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний,

                ¬(A&B) <=> ¬A \/ ¬B.

      Например, если на тёмной улице некто «высказался» в Вашу сторону: «Кошелёк или жизнь!» (дизъюнкция), а Вы пристрелили мерзавца или убежали от него, то высказывание негодяя оказалось неверным (отрицание дизъюнкции), и этот некто не получил ни Вашего кошелька, ни Вашей жизни (конъюнкция отрицаний)[3].

      А теперь пример применения второго закона.

      Дедушка пообещал деткам: «Будет вам и белка, будет и свисток»[4]. «Житейская логика» подсказывает, что если это обещание не будет выполнено (отрицание конъюнкции), то детишки или белки не получат, или свистка не увидят (дизъюнкция отрицаний).

      Так что, с точки зрения «бытовой логики» законы де Моргана выглядят совершенно естественно: математическая (формальная) логика здесь нисколько не расходится с «житейской».

      Поэтому вызывает удивление, почему же общепризнанные «титаны философии» и «корифеи логики», начиная с Аристотеля[5] и кончая Кантом[6] и Гегелем[7], не обнаружили столь естественных и простых логических связей.
Объяснение тут может быть только одно: Августус де Морган, в отличие от «философов», оперировал символами, а не словами и конкретными предложениями.

      Логика, став символической, а не философствующей, смогла легко обнаружить эти и другие логические закономерности.

      Похожая картина случилась несколькими столетиями ранее с появлением символической алгебры.

      Как только Франсуа Виет[8] ввёл буквенную, символическую алгебру, он сразу же обнаружил связь между коэффициентами и корнями многочлена любой степени; связь несложную, но незамеченную ни одним из его великих предшественников, оперировавших с конкретными числами.

_________________________________________________

                Примечания


    [1] Иммануил Кант (Kant, 1724–1804) – немецкий философ, основатель так называемой «немецкой классической философии», здесь цитируется его работа «Критика чистого разума», 1781 г.

    [2] Августус де Морган (De Morgan, 1806–1871) — шотландский математик, профессор математики Университетского колледжа в Лондоне (1828–1866), первый президент (с 1866 г.) Лондонского математического общества. Законы де Моргана опубликованы в работе «Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных» (1847 г.).

    [3] Конечно, в нынешнее время дизъюнкция «кошелёк или жизнь» — это из лексикона врачей. А на тёмной улице «логик» формулирует «высказывание» чуть иначе: «Извините, сэр. Не дадите ли мне немного денег, а то у меня ничего нет: ни денег, ни дома, ни жены, ни детей, а только вот этот револьвер сорок пятого калибра».

    [4] Алексей Николаевич Плещеев (1825—1893), «Старик» (1877 г.). А обещание дедушка не выполнил. Он умер.

    [5] Аристотель (384—322 до новой эры) считается «крёстным отцом» гуманитарной логики, развитой им как методики суждений, применимых к любой науке.

    [6] Отрицание утверждения «Мир имеет начало во времени и ограничен в пространстве»  имеет вид:

        «Мир не имеет начало во времени ИЛИ он неограничен в пространстве».

      В этой и в трёх остальных своих антиномиях Кант ошибочно считает, что отрицание конъюнкции логически равносильно конъюнкции отрицаний.

      [7] Георг Вильгельм Фридрих Гегель (Hegel, 1770–1831) – немецкий философ, создатель системы «абсолютного идеализма». Одна из основных работ – «Наука логики», опубликованная в 1812–1816 гг.

      [8] Франсуа Виет (Viete, 1540–1603) — французский математик. Первым ввёл буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов в уравнениях. Среди своих алгебраических открытий сам Виет особенно ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами алгебраических уравнений любой степени (формулы Виета).

_________________________________________________

На фото: Августус де Морган; Франсуа Виет;

Аристотель; Иммануил Кант; Георг Гегель.

Законы де Моргана с доказательствами.