А философы и не заметили

      

      Предложение «А и В» принято называть конъюнкцией (пишут: A&B), а «А или В» называется дизъюнкцией (символически: A\/B). Высказывание «Неверно, что А» называют отрицанием А, пишут: ¬A.

      Два предложения A, B равносильны, если они истинны или ложны одновременно:

                A <=> B.

      Основные логические операции (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание) связаны законами де Моргана[1]:

            Отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний,
               
                ¬(A\/B)<=> ¬A & ¬B.

            Отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний,

                ¬(A&B)<=> ¬A \/ ¬B.

      Например, если на тёмной улице некто «высказался» в Вашу сторону: «Кошелёк или жизнь!» (дизъюнкция), а Вы пристрелили мерзавца или убежали от него, то высказывание негодяя оказалось неверным (отрицание дизъюнкции), и этот некто не получил ни Вашего кошелька, ни Вашей жизни (конъюнкция отрицаний)[2].

      А теперь пример применения второго закона.

      Дедушка пообещал деткам: «Будет вам и белка, будет и свисток»[3]. «Житейская логика» подсказывает, что если это обещание не будет выполнено (отрицание конъюнкции), то детишки или белки не получат, или свистка не увидят (дизъюнкция отрицаний).

       Так что, с точки зрения «бытовой логики» законы де Моргана выглядят совершенно естественно: математическая (формальная) логика здесь нисколько не расходится с "житейской».   

      Поэтому вызывает удивление, почему же общепризнанные «титаны философии» и «корифеи логики», начиная с Аристотеля[4] и кончая Кантом[5] и Гегелем[6], не обнаружили столь естественных и простых логических связей.

      Объяснение тут может быть только одно: Августус де Морган, в отличие от «философов», оперировал символами, а не словами и конкретными предложениями.

      Логика, став символической, а не философствующей, смогла легко обнаружить эти и другие логические закономерности.

      Похожая картина случилась несколькими столетиями ранее с появлением символической алгебры.

      Как только Франсуа Виет[7] ввёл буквенную, символическую алгебру, он сразу же обнаружил связь между коэффициентами и корнями многочлена любой степени; связь несложную, но незамеченную ни одним из его великих предшественников, оперировавших с конкретными числами.

~~~~~~~~~~~~~

                Примечания

    [1] Августус де Морган (De Morgan, 1806–1871) — шотландский математик, профессор математики Университетского колледжа в Лондоне (1828–1866), первый президент (с 1866 г.) Лондонского математического общества. Законы де Моргана опубликованы в работе «Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных» (1847 г.).

    [2] Конечно, в нынешнее время дизъюнкция «кошелёк или жизнь» — это из лексикона врачей. А на тёмной улице «логик» формулирует «высказывание» чуть иначе: «Извините, сэр. Не дадите ли мне немного денег, а то у меня ничего нет: ни дома, ни жены, ни детей, а только вот этот револьвер сорок пятого калибра».

    [3] Алексей Николаевич Плещеев, «Старик» (1877 г.). А обещание дедушка не выполнил. Он умер.

    [4] Аристотель (384—322 до новой эры) считается «крёстным отцом» гуманитарной логики, развитой им как методики суждений, применимых к любой науке.

    [5] Иммануил Кант (Kant, 1724–1804) – немецкий философ, основатель так называемой «немецкой классической философии».

    [6] Георг Вильгельм Фридрих Гегель (Hegel, 1770–1831) – немецкий философ, создатель системы «абсолютного идеализма». Одна из основных работ – «Наука логики», опубликованная в 1812–1816 гг.

    [7] Франсуа Виет (Viete, 1540–1603) — французский математик. Первым ввёл буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов в уравнениях. Среди своих алгебраических открытий сам Виет особенно ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами алгебраических уравнений любой степени (формулы Виета).


На фото: Августус де Морган; Франсуа Виет; Аристотель; Иммануил Кант; Георг Гегель.

Законы де Моргана с доказательствами.