Каноническая гиперкомплексность

        Каноническая гиперкомплексность

        Моя задача не учить Вас преодолевать трудности знаменитого процесса Кэли-Диксона, связанные с построением правильных таблиц перемножения многочисленных мнимых единиц гиперкомплексного числа, а обсудить проблему преподавания гиперкомплексности в обычной школе для обычных детей, которые, честно говоря, математики не любят. Короче говоря, я собираюсь взять из Википедии таблицу умножения октонионов (см. рис.) и на ней показать как можно получить, таблицу умножения октонионов, отправляясь от таблицы умножения кватернионов при помощи чисто механической операции, по сложности исполнения сопоставимой с раскладыванием пасьянса или сдачей карт, скажем, при игре в "подкидного дурака".
       Для начала перепишем таблицу умножения октонионов (см. рис.) в более удобном двоичном коде
       +000 +001 +010 +011 +100 +101 +110 +111
       +001 -000 +011  -010 +101  -100  -111 +110
       +010  -011  -000 +001 +110 +111  -100  -101
       +011 +010  -001  -000 +111  -110 +101  -100
       +100  -101  -110  -111  -000 +001 +010 +011
       +101 +100  -111 +110  -001  -000  -111 +010
       +110 +111 +100  -101  -010 +111  -000  -001
       +111 +110 +101 +100  -011  -010 +001  -000
       Первое, что тут же бросается в глаза, - эта таблица не случайна! Двоичные коды "говорят", что это таблица значений замечательной логической связки XOR для 3-значных двоичных чисел - двоичное число z, стоящее на пересечении строки x и столбца y удовлетворяет соотношению:
                z =  XOR(x, y)
       Почему этого никто не замечает?
       Самое неожиданное заключается в том, что этим соотношением мы можем заполнять таблицу, совсем не зная ничего о логике и логической связке XOR(x, y) "методом рамки". Рамочный метод - это несоменно какой-то вид математической магии. Действо, похожее на сдачу обычных карт - ничего знать не надо, всё работает само!

       Шаг первый. Берём пустую рамку

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001 _____________________110
       010 _____________________101
       011 _____________________100
       100 _____________________011
       101 _____________________010
       110 _____________________001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Шаг второй. Первым столбцом заполняем в ней средний столбец, начиная от середины вниз

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001 __________ 101 _______110
       010 __________ 110 _______101
       011 __________ 111 _______100
       100 __________ 000 _______011
       101 __________ 001 _______010
       110 __________ 010 _______001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Шаг третий. Первой строкой заполняем среднюю строку от середины вправо

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001  __________101_______110
       010  __________110_______101
       011  __________111_______100
       100 101 110 111 000 001 010 011
       101  __________001_______010
       110  __________010_______001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Шаг четвёртый. Последней строкой заполняем, расположенную над ней строку от середины влево

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001 __________ 101 _______110
       010 __________ 110 _______101
       011 010 001 000 111 110 101 100
       100 101 110 111 000 001 010 011
       101 __________ 001 _______010
       110 __________ 010 _______001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Шаг пятый. Последним столбцом заполняем средний столбец, расположенный левее от "000" вверх. Получились 4 рамки для четырёх кватернионов, из которых и состоит октонион

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001 ______  010 101_______110
       010 ______  001 110_______101
       011 010 001 000 111 110 101 100
       100 101 110 111 000 001 010 011
       101 ______  110 001_______010
       110 ______  101 010_______001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Шаг шестой. Отчётливо видно, что первоначальная рамка состоит из 4-х не до конца заполненных рамок, в которых осталось заполнить 4 клеточки, каждая из которых реализует "точку пересечения диагоналей".
       Заполняем диагонали и получаем "Таблицу имён логической связки XOR(x, y)". Все таблицы умножения мнимых единиц гиперкомплексных чисел обладают одной и той же таблицей формирования имени результата, умножения.  Более того, эту истину способен усвоить любой школьник, потому что "это не бином Ньютона".

       000 001 010 011 100 101 110 111
       001 000 011 010 101 100 111 110
       010 011 000 001 110 111 100 101
       011 010 001 000 111 110 101 100
       100 101 110 111 000 001 010 011
       101 100 110 110 001 000 011 010
       110 110 100 101 010 011 000 001
       111 110 101 100 011 010 001 000

       Остается только знаки правильно расставить. Но как это сделать? Теплится чрезвычайно слабая надежда, что, если в самом начале, на первом шаге, в последнем столбце и последней строке поместить числа со знаками, то после пятого шага у нас появятся знаки внутри таблицы, благодаря которым её можно разделить на 4 рамки, в каждой из которых имеется столбец и строка, уже содержащие знаки! И исходная задача разобьётся на 4 задачи половинного размера! Смейтесь, смейтесь, а я верю в чудеса, и ничего поделать с собой не могу.
       Итак, нам осталось только решить проблему расстановки знаков в последнем столбце, потому что в последней строке должны стоять те же самые имена с противоположными знаками, так как для всех гиперкомплексные чисел выполняется соотношение XOR(x, y) = -XOR(y, x).

       Чтобы двигаться дальше, следует понять, какой смысл могло бы иметь это соотношение, а для этого необходимо располагать какой-то интерпретацией процессов, с которыми связаны гиперкомплексные системы. Основная идея, в принципе понятна, - это системы, реализующие равноправие. Когда действующих лиц много - это демократия, а когда их совсем мало - это кватернион. Демократией занимался Платон, поэтому я постараюсь проинтерпретировать "противоположный" случай, которому соответствует кватернион.

1  i  j  k
i -0 -k  j
j  k -0 -i
k -j  i -0

      В наши дни равноправную систему, реализующую кватернион, образуют: США, Евросоюз, Россия и Украина. Соединённым Штатам соответствует мнимая единица k, Евросоюзу - мнимая единица j, России - мнимая единица i, а Украине - не мнимая 1. В ситуации четырёх совершенно равноправных стран три страны рискуют, грубо говоря, "мнимо", тогда как четвёртая - самоубийца, решившая реально рискнуть своей жизнью "ради светлого будущего человечества".
       Равноправие этих стран реализуется при помощи естественной симметрии логической связки XOR(x, y) = XOR(y, x), тогда как дополнительный знак "минус" говорит, что в основе операции лежит не только умножение, а иногда и ограниченное деление. Действительно, x/y не равно y/x, а за откровенно глупой записью -0 скрыта не менее глупая запись 1/0. Откровенная заманушка типа: "Мы тебе дадим 1% и у тебя настанет Коммунизм!"
       Судьба Украины, оказавшейся элементом кватерниона равноправия предрешена, её поделят на мужчин и женщин (мужчин отправят на "Тот свет").

                Формально мнимые единицы равноправны.
       Проверять работу канонической схемы заполнения таблицы умножения мнимых единиц я буду на седенионе, который обладает пятнадцатью мнимыми единицами. Основная идея - все единицы равноправны, поэтому первичная рамка имеет конкретный вид:
 1. Первая строка (первый столбец)  состоит из 16 чисел: "+0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, +11, +12, +13, +14, +15";
 2. Последняя строка состоит из тех же самых 16 чисел, идущих в обратном порядке с чередованием знаков: +15, -14, +13, -11, +10, -9, +8, -7, +6, -5, +4, -3, +2, -1, -0;
 3. Последний столбец является отражением от диагонали со сменой знака на противоположный: XOR(x, y) = -XOR(y, x).

Шаг первый. Берём пустую рамку
00  0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111 +1000   1001   1010   1011   1100   1101   1110  +1111
01 0001  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1110
02 0010 _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -1101
03 0011 _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1100
04 0100 _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -1011
05 0101 _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1010
06 0110 _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -1001
07 0111 _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000  _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1000
08 1000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____   -0111
09 1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110
10 1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ _____  -0101
11 1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____ _____ +0100
12 1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000 _____ _____  -0011
13 1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010
14 1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____  -0000  -0001
15 1111  -1110 +1101 -1100 +1011  -1010 +1001  -1000 +0111 -0110 +0101  -0100 +0011  -0010 +0001  -0000

Шаг второй. Средняя строка заполняется первой строкой со сменой знака на противоположный при пересечении границ рамки

00 0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 +0111 +1000 +1001 +1010 +1011 +1100 +1101 +1110 +1111
01 0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1110
02 0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1101
03 0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1100
04 0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1011
05 0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1010
06 0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1001
07 0111 _____ _____ _____ _____ _____ _____-0000  _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1000
08 1000 -1001 -1010 -1011  -1100  -1101  -1110  -1111 -0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 -0111
09 1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110
10 1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ -0101
11 1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +0100
12 1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ -0011
13 1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010
14 1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000  -0001
15 1111 -1110 +1101  -1100 +1011  -1010 +1001  -1000 +0111 -0110 +0101  -0100 +0011  -0010 +0001  -0000

Шаг третий (заполняется от -0000 вверх первым столбцом со сменой знака)

00 0000  0001  0010  0011  0100  0101  0110  0111 +1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110 +1111
01 0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1110
02 0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1101
03 0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ +1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1100
04 0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1011
05 0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ +1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1010
06 0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1001
07 0111 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0000 +1111 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1000
08 1000 -1001 -1010 -1011  -1100  -1101  -1110  -1111 -0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 -0111
09 1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110
10 1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ -0101
11 1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +0100
12 1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ -0011
13 1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010
14 1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 -0001
15 1111 -1110 +1101 -1100 +1011 -1010 +1001 -1000 +0111 -0110 +0101 -0100 +0011 -0010 +0001 -0000

Шаг четвёртый. Вторая средняя строка заполняется последней строкой (со сменой знака)

00 0000  0001  0010  0011  0100  0101  0110  0111 +1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110 +1111
01 0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1110
02 0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1101
03 0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ _____ +1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1100
04 0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1011
05 0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ _____ +1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1010
06 0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1001
07 0111 -0110 +0101 -0100  +0011  -0010  +0001 -0000 +1111 +1110 -1101 +1100 -1011 +1010 -1001 +1000
08 1000 -1001 -1010 -1011  -1100   -1101   -1110  -1111 -0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 -0111
09 1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110
10 1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ -0101
11 1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +0100
12 1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ -0011
13 1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010
14 1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ -0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 -0001
15 1111 -1110 +1101 -1100 +1011 -1010 +1001 -1000 +0111 -0110 +0101 -0100 +0011 -0010 +0001 -0000

Шаг пятый. Второй средний столбец заполняется последним столбцом от -0000 вверх (со сменой знака)

00 0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111 ||   1000   1001   1010  1011   1100   1101   1110   +1111
01 0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110 || +1001 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1110
02 0010 _____ -0000 _____ _____ _____ _____ -0101  || +1010 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1101
03 0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +0100 || +1011 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1100
04 0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ -0011  || +1100 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1011
05 0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010 || +1101 _____ _____ _____ _____ _____ _____ +1010
06 0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 -0001  || +1110 _____ _____ _____ _____ _____ _____ -1001
07 0111 -0110 +0101 -0100 +0011 -0010 +0001  -0000  || +1111 +1110 -1101 +1100 -1011 +1010 -1001 +1000
08 1000 -1001  -1010 -1011  -1100 -1101  -1110  -1111  || -0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 -0111
09 1001 -1000 _____ _____ _____ _____ _____ -1110 || -0001 -0000 _____ _____ _____ _____ _____ +0110
10 1010 _____ -1000 _____ _____ _____ _____ +1101|| -0010 _____ -0000 _____ _____ _____ -1000 -0101
11 1011 _____ _____ -1000 _____ _____ _____ -1100 || -0011 _____ _____ -0000 _____ _____ _____ +0100
12 1100 _____ _____ _____ -1000 _____ _____ +1011|| -0100 _____ _____ _____ -0000 _____ _____ -0011
13 1101 _____ _____ _____ _____ -1000 _____ -1010 || -0101 _____ _____ _____ _____ -0000 _____ +0010
14 1110 _____ _____ _____ _____ _____ -1000 +1001|| -0110 _____ _____ _____ _____ _____ -0000 -0001
15 1111 -1110 +1101  -1100 +1011  -1010 +1001  -1000|| +0111 -0110 +0101 -0100 +0011 -0010 +0001 -0000

        В этом месте мне следует остановиться, потому что изложено самое главное. Опубликована индуктивная схема работы с гиперкомплексными системами любого размера. Изложен основной принцип расчленения объекта на 4 подобные части. Одна из предъявленных четвертей прекрасно известна - это октонион (верхний левый угол). Скандальная особенность предъявленной мной "рамки" заключается в том, что она не совпадает с рамкой октониона, опубликованного Википедией. И этот факт очень важен сам по себе!
         Да, знаки у них не совпадают (см. рис.)! Но рамка октониона, которая "без спросу возникла в моём тексте", совпадает с рамкой октониона, опубликованного в "Математической энциклопедии", том 4, с. 160, "Кэли-Диксона алгебра", Москва, 1982 г. Для Википедии важно предъявить читателю тот октонион, который был опубликован Кэли, а для "Математической энциклопедии" важен другой вариант, который был потом проверен и перепроверен тысячи раз.
        В заключение приведу пример. Все мы бывали на берегу океана и любовались его волнами, всегда такими разными. Тем, кто не бывал, советую посмотреть картину Айвазовского "Девятый вал". Однако в школе мы изучаем волны по каноническому представлению, имя которому - "синус".