К ТФО. Теория хаоса

Теория фрактальной ошибки
Сопроводительные материалы


Теория хаоса

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику, а так же математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос.

Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной (предопределённой, заранее обусловленной).

Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.


Основные сведения

Теория хаоса подразумевает, что сложные детерминированные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий:
- небольшие изменения в окружающей среде могут привести к существенно различным последствиям,
- и это делает предсказания их поведения крайне затруднительными.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются строгим законам, и обладают определённым порядком.

В этом контексте использование слова "хаос" отличается от его обычного значения, например в мифологии. Теория квантового хаоса (область физики) — изучает квантовые системы, которые демонстрируют хаотическое поведение, схожее с классическими аналогами.


Примерами подобных систем являются:
- атмосфера,
- турбулентные потоки,
- некоторые виды аритмий сердца,
- биологические популяции,
- общество как система коммуникаций и

его подсистемы:
- экономические,
- политические,
- психологические (культурно-исторические и интеркультуральные) и другие социальные системы.

Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Основоположниками теории хаоса считаются:
- французский математик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении),
- советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд,
- немецкий математик Ю. К. Мозер.

Теория хаоса вводит понятия аттракторов, включая:
- странные аттракторы,
- обладающие самоподобной структурой и
- демонстрирующие сложную динамику.


Понятие хаоса

В бытовом контексте слово "хаос" означает "быть в состоянии беспорядка".
В теории хаоса прилагательное "хаотический" определено более точно.

Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:
- она должна быть чувствительна к начальным условиям;
- она должна иметь свойство топологического смешивания;
- её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:
- система должна иметь нелинейные характеристики,
- быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа,
- при этом фрактальная размерность системы должна быть не менее 1,5.

Другие условия:
- линейные системы никогда не бывают хаотическими;
- чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной;
- по теореме Пуанкаре — Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической;
- среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия);
- дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.


По материалам из Википедии — свободной энциклопедии