Теоремы Эмми Нётер

В 1918 году на семинаре Гёттингенского математического общества Амалия Нётер представила теорему, которая связывает непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения. Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».
Таким образом, если известны свойства симметрии системы, можно найти для нее законы сохранения, и наоборот. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени (инвариантность физических законов относительно изменения начала отсчета времени).

История открытия.
В 1915 году Давид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили Нётер в Гёттинген, так как предполагали, что её опыт в теории инвариантов поможет им в понимании общей теории относительности, геометрической теории гравитации, разработанной Альбертом Эйнштейном.
Работая над Общей теорией относительности Гильберт заметил, что сохранение энергии, по-видимому, нарушается в Общей теории относительности, потому что гравитационная энергия сама может притягиваться.
Нётер предоставила разрешение этого парадокса и фундаментальный математический инструмент с помощью своей первой теоремы, которую она доказала в 1915 году, но не опубликовала до 1918 года.
Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:
«Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Меня впечатляет, что такие вещи можно понять в таком общем смысле. Старая гвардия в Геттингене должна извлечь уроки у мисс Нётер! Кажется, она знает свое дело.»


Так, например, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в сфере, физические законы, управляющие ею, являются вращательно-симметричными.
Исходя из этой симметрии, теорема Нётер показывает, что угловой момент системы должен сохраняться. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, управляющих системой, отвечает за закон сохранения.
Другой пример: если физический эксперимент приводит к одинаковым результатам в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии учитывают законы сохранения импульса и энергии в этой системе соответственно.
В приложении к классической физике:
В изолированной системе частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения, действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется.

Поскольку адаптированного перевода на русский язык в Интернете в настоящее время нет, рассмотрим фрагмент статьи Нётер «Invariante Variationsprobleme» (Nachr. d. K;onig. Gesellsch. d. Wiss. zu G;ottingen, Math-phys. Klasse, 235–257 (1918)) в машинном переводе:
«Теперь мы рассмотрим эти две теоремы:
I. Если интеграл I инвариантен относительно G;, то ; линейно независимых комбинаций выражений Лагранжа становятся расходящимися - и из этого, наоборот, следует инвариантность I относительно G;. Теорема справедлива даже в предельном случае бесконечно большого количества параметров.
II. Если интеграл I инвариантен относительно G;;, в котором произвольные функции встречаются до ;-й производной, то существуют ; тождественных соотношений между выражениями Лагранжа и их производными до ;-го порядка. В этом случае также верно и обратное.
Для смешанных групп справедливы утверждения обеих теорем, то есть, существуют как зависимые, так и независимые от них соотношения. Переходя от этих тождеств к соответствующей вариационной задаче, то есть полагая ; = 0,7 теорема I в одномерном случае, где дивергенция переходит в полное дифференциальное уравнение, утверждает существование ; первых интегралов, между которыми, однако, могут существовать нелинейные зависимости; в многомерном случае получаются уравнения дивергенции, которые в последнее время часто называют «законами сохранения»; теорема II утверждает, что ; уравнений Лагранжа являются следствием остальных.
Для теоремы II аналогично мы получаем относительную инвариантность левых частей зависимостей, связанных с помощью произвольных функций; и, как следствие, другую функцию, расходимость которой одинаково равна нулю и допускает опосредующую группу в физической теории относительности связь между зависимостями и законом сохранения энергии.
Теорема II, наконец, с точки зрения теории групп, доказывает связанное с ней утверждение Гильберта о нарушении законов сохранения энергии в «общей теории относительности». С учётом этих дополнительных замечаний теорема I включает в себя все известные в механике теоремы о первых интегралах и т.д., а теорему II можно описать как максимально возможное обобщение «общей теории относительности» в теории групп.»

Для понимания того, что всё же на самом деле произошло в связи с этой публикацией обратим внимание на следующие обстоятельства:
1. В 1915 г. два знаменитых математика Гильберт и Кляйн приглашают Нётер в Гёттинген для решения конкретной задачи согласования Общей теории относительности Эйнштейна с классическим законом сохранения энергии.
2. Нётер сразу поняла, что от неё требуется и откликается двумя теоремами:
I. Если интеграл I инвариантен относительно G;, то ; линейно независимых комбинаций выражений Лагранжа становятся расходящимися - и из этого, наоборот, следует инвариантность I относительно G;.
II. Если интеграл I инвариантен относительно G;;, в котором произвольные функции встречаются до ;-й производной, то существуют ; тождественных соотношений между выражениями Лагранжа и их производными до ;-го порядка. В этом случае также верно и обратное.

Решение Нётер было до банальности простым, это мог сделать любой школьный учитель математики, не обременённые нравственными нормами, надо перевести физическую проблему в чисто математическую. Почему этого не сделали сами математики без Нётер? Потому что, все вменяемые учёные понимали: в случае провала ОТО, а это было вполне реально в то время, участие в этом пасквили стоило бы краху репутации, на что никто из математиков не решился, а Нётер было нечего терять, её даже в Гёттингене не взяли на работу. За то в случае успеха – признание и слава опоры ОТО. Она рискнула и выиграла, по крайней мере до тех пор пока ОТО будет удерживаться наплаву. Когда этот «Титаник» пойдёт ко дну он увлечёт туда и славу Нётер, так как ничего особого, по крайней мере, в отношении к физики она не открыла.