Объяснение апории Зенона Бегун и черепаха

 
                "Бытие есть, а небытия нет". (Парменид)

Теперь рассмотрим самую известную апорию Зенона Элейского под названием
 "Бегун и черепаха".

  "Аристотель излагает его таким образом: «Второй же [аргумент]
— так называемый „Ахиллес” . Заключается он в том, что
более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым
быстрым. Ибо прежде чем преследующее явилось [туда, откуда
отправилось преследуемое], преследуемое неизбежно уже
выступило оттуда; а поэтому оказывается, что более медленное
всегда должно находиться впереди."
(Комарова В.Я. "Учение Зенона Элейского", 1988г, стр.158)
  В современном изложении эта апория  звучит так:
"Парадокс утверждает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если ей дать фору, поскольку каждый раз, когда бегун достигает точки, где была черепаха, она успевает уползти на некоторое расстояние вперёд. Этот процесс делится на бесконечное число шагов, и, с точки зрения Зенона, это делает движение иллюзией."
  Однако теперь обладая знаниями полученными при  рассмотрении апорий "Стрела" и "Дихотомия", мы можем объяснить и эту интересную загадку Зенона.
В дальнейших рассуждениях  вместо слов  "бесконечно малое"  пишем   БМ.
   Конечно Зенон знал, что бегун не только догоняет черепаху, но и обгоняет её, однако  встав на защиту взглядов  своего учителя  философа Парменида, он придумал парадоксальную и необычную апорию о движении, в которой  самое быстрое никогда не догонит самое медленное.
Неискушенный читатель  который никогда ранее не сталкивался с таким необычным представлением процесса движения, впадает в ступор прочтя эту апорию впервые, так как в ней  вроде все логично изложено, а непротиворечивого объяснения  этой загадки нет.
   Сразу отметим, что и в этой апории о наличии  времени  можно  только догадываться, так как  Зенон снова использует только бесконечное  деление пути (пространства), причем в этой апории он не делит путь постоянно на 2, как в  "Дихотомии,  хотя  по сути, эти две апории можно было бы объединить в одну, так как логикой рассуждения они во многом похожи.
Итак начнем.
Сразу скажу главное - у этой  задачи нет логически непротиворечивого решения в том виде в каком Зенон её описал, так как при описании движения он использовал только путь  (пространство) и ничего не сказал о времени, а без привлечения времени решить задачу о движении  невозможно (см. объяснение апории "Дихотомия" и "Летящая стрела").
Поэтому  будем рассматривать эту апорию с учетом времени.
    Тогда становится очевидно что бегун и черепаха за один и тот же временной отрезок проходят РАЗНЫЕ по величине пути  (у бегуна и черепахи разные скорости), и это различие  в пройденных  путях бегуном и черепахой остается неизменным   даже в случае бесконечного деления  времени.
Теперь попробуем это логически доказать например с помощью дихотомического деления (как это делал Зенон).
  Предположим, что за секунду бегун пробегает 10м, а черепаха проползает 10см, таким образом   при сравнении  путей пройденных бегуном и черепахой за одно и то же время мы видим, что они  различаются в 100 раз.
Теперь мысленно начнем "дихотомически"  делить время  и каждый раз после деления будем сравнивать между собой  части пути пройденные бегуном и черепахой.
 В этом случае мы увидим что  через 0,5 сек бегун пробегает 5м, а черепаха проползает 5см, через 0,25 сек бегун пробегает 2,5м, а черепаха проползает 2,5см  и т.д.
 Такое деление времени продолжаем бесконечно долго и каждый раз при сравнении  путей пройденных бегуном и черепахой, мы видим что  они ВСЕГДА различаются в 100 раз, поэтому  даже при делении времени на бесконечное количество частей, различие в 100 раз между  частями пути пройденного бегуном и черепахой  всегда  остается постоянным.
То, что эта пропорция всегда сохраняется,  можно доказать и обратным путем, суммируя  полученные в результате деления БМ части и таким образом мы получим ровно те части, которые были ДО деления.
  Таким простым путем доказывается, что при делении  чего-то конечного на бесконечное количество частей,   полученные в результате деления БМ части  можно  сравнивать между собой и если части ДО деления различались между собой на какое-то конкретное значение, то это значение всегда  остаётся неизменным.
    Тогда объяснение  как бегун догоняет (и обгоняет) черепаху  становится  простым - когда бегун за БМ время пробегает одну бесконечно малую  часть  своего пути, то черепаха за это же время проползает в 100 раз меньшую  БМ часть своего пути,  поэтому  даже предложенное Зеноном  деление  пути на бесконечность  не сможет опровергнуть логику этого доказательства- бегун не только догонит черепаху, но и перегонит её, ибо даже за БМ время бегун всегда будет проходить больший путь, нежели черепаха.
Вот таким образом можно разрешить эту знаменитую апорию Зенона.
 Поэтому ответ на эту апорию таков:
 Даже в бесконечно малом отрезке времени более быстрое всегда догонит и перегонит более медленное.

                Дополнение

 Решение этой апории можно значительно упростить, если  немного изменить  условия задачи как  её  сформулировал Зенон.
 Главное условие которое поставил Зенон в том, что когда бегун  догоняет  черепаху, то он    бежит не к ней, а к ТОЧКЕ где она была, и именно это условие  порождает сложности при попытке разрешить апорию.
Однако если эту точку убрать и  рассматривать расстояние (путь) только между бегуном и   черепахой (а не точкой где она была), то становится  очевидным что это расстояние просто постепенно сокращается, и в конечном итоге приводит к тому что бегун догоняет и перегоняет черепаху.
Более того, при таком условии черепахе двигаться вообще не обязательно, так как нет никакой разницы движется она или нет, поэтому  апорию можено еще более упростить, представив  что  бегун просто бежит к  чему-то неподвижному.
В этом случае апория "Бегун и черепаха" становится очень похожей на апорию "Дихотомия", которую мы рассмотрели ранее.
А если из апории убрать  черепаху, то апория превращается в апорию "Стрела", где кроме стрелы (бегуна) ничего нет.
Поэтому нужно заметить, что  рассматривая движение  во всех возможных вариантах,  Зенон был весьма последователен.
  Также хочу отметить замечательную способность Зенона представлять очевидное в таком виде,  когда оно становится парадоксальным и трудно объяснимым, хотя все поставленные им условия задачи  абсолютно  логичны и непротиворечивы.