Сколько всего магических квадратов?

Варианты квадрата с помощью вращений и отражений не учитываются.
Статистическая запись: 1,2345 (25) ·109 означает, что число точно неизвестно, но находится в интервале (1,2345 ±0,0025) ·109 с вероятностью 99%.
Ультрамагические квадраты бывают ассоциативными (центрально-симметричными) и пандиагональными магическими.
Больше количества классических (обычных) магических квадратов

Все точные числа опубликованы в Энциклопедии целочисленных последовательностей ® Нила Слоуна. (Внешние ссылки)
    OEIS: (A) A271103 , (B) A006052 , (C) A081262 , (D) A027567 , (E) A081263

________________________________________
B3 = 1: Ло Шу (как его называют) уникален.
B4 был открыт французом Бернаром Фреником де Бесси в 1693 году. Первое аналитическое доказательство Кэтлин Оллереншоу и Германа Бонди (1982).
A4, C5 и E5 можно было найти на бывшем сайте Mutsumi Suzuki.
B5 был рассчитан в 1973 году Ричардом Шрёпелем (компьютерная программа), опубликован в Scientific American в январе 1976 года.
А5 был рассчитан мною в марте 2000 года с помощью обычного ПК. Судзуки опубликовал результат на своем сайте. Мне удалось подтвердить результат с помощью других методов.
D5 равно количеству правильных панмагических квадратов. Они могут быть сгенерированы с помощью латинских квадратов, как указал Леонард Эйлер в 18 веке.
А6 рассчитывал Артем Рипатти (Россия) до апреля 2018 года. Это новая веха в перечислении магических квадратов.
Читайте его статью на arxiv.org/abs/1807.02983 (внешняя ссылка). Скачайте папку alldata.zip (127 Мб) для того, чтобы получить все данные о количестве полумагических квадратов по 9366138 классам.
Подробности и результаты своих расчетов Артем рассказал мне еще в 2017 году. Могу подтвердить правильность его метода.
В мае 2024 года Хидетоси Мино смог подтвердить A6.
D6 и D10 были доказаны А. Х. Фростом (1878) и более изящно К. Планком (1919).
С6 и С10 также равны 0, потому что каждый ассоциативный (симметричный) магический квадрат четного порядка может быть преобразован в пандиагональный магический квадрат.
B6 (NEW) рассчитывался в течение более чем одного года и окончательно представлен в мае 2024 года Хидетоси Мино (Япония). Смотрите magicsquare6.net (внешняя ссылка).
Первая попытка была завершена в июле 2023 года. Для этого перечисления было использовано около 80 000 часов графических процессоров Nvidia GeForce RTX-4090 и около шести месяцев календарного времени.
К сожалению, произошло несколько аппаратных ошибок. Потребовалось несколько месяцев, чтобы снова сделать расчет и исправить ошибки.
Метод Хидетоси сначала ищет полумагические квадраты порядка 6, а затем проверяет, сколько магических квадратов можно получить. Во второй попытке также были подсчитаны полумагические квадраты. Таким образом, А6 может быть подтверждена.
Результат согласуется со стохастическими оценками, ранее сделанными Клаусом Пинном и Кристианом Вечерковски (май 1998 года) и мной (март 2002 года). Посмотрите на магические квадраты 6x6.
Мы можем быть уверены, что B6 в конечном итоге был перечислен правильно.
Все оценки в столбцах В, С и D найдены с помощью одного и того же метода, это больше похоже на подход Шрёппеля, чем на подход Пинна и Вечерковского. Систематической ошибки быть не должно, потому что метод был проверен профессором Питером Лоли (Университет Манитобы, Канада) И все результаты могут быть подтверждены разными программами. Для более высоких порядков см.: Числа классических магических квадратов

C7 был рассчитан Го Като (Япония) и впервые опубликован в ноябре 2018 года на OEIS A081262 (внешняя ссылка). Его подход основан на методе Рипатти. Краткое описание можно найти на сайте OEIS. Обо всех подробностях читайте в статье, написанной Го Като и Синъити Минато на arxiv.org/abs/1906.07461 (внешняя ссылка). Подход Като определенно правильный. В его расчетах нет никакой ошибки, так как я нашел точно такой же результат с помощью собственной программы, основанной на его методе. Этот новый рубеж также является подтверждением моего метода аппроксимации, потому что результат Като очень близок к оценке 1.125151(51)·10 18, которая была показана в таблице ранее.
E7 был рассчитан мною в мае 2001 года. Специальные преобразования позволяли учитывать Всего две позиции целых чисел 1, 25 и 49. С помощью усовершенствованных уравнений и эвристического алгоритма возврата время вычислений может быть сокращено до нескольких дней. Все ультрамагические квадраты порядка 7 сохранены и доступны для дальнейших исследований. Подробнее см.: Ультрамагические квадраты Порядка 7

D7 (ноябрь 2001) стал большим сюрпризом. Существует 38 102 400 правильных пандиагональных магических квадратов порядка 7. Альберт Л. Кэнди обнаружил 640 120 320 неправильных. Из Е7 может быть создано еще почти 1000 миллионов. Но кто бы поверил, что таких квадратов больше10 17? Эта оценка очень сложна, потому что вероятность того, что нормальный квадрат порядка 7 является пандиагональным, равна всего 1 : 3·10 17.
D8 больше C8, потому что каждый ассоциативный магический квадрат порядка 8 может быть преобразован в пандиагональный и есть примеры дополнительных пандиагональных квадратов Это не может быть выведено из ассоциативного квадрата.
Оценки Е8 и Е9 были получены в марте 2002 года. В случае с E8 я смог найти 64 преобразования и несколько уравнений всего с 4 переменными.
D9 больше 81· E9, потому что каждый ультрамагический квадрат порядка 9 может быть преобразован путем циклической перестановки строк и столбцов в 80 других пандиагональных магических квадратов, которые не являются ассоциативными.
________________________________________
Вальтер Трамп, Нюрнберг, Германия, ms(at)trump.de, © 2001-11-01 (последнее изменение: 2024-06-03)

А для низкой жизни были числа,

 Как домашний подъярёмный скот,
 Потому что все оттенки смысла
 Умное число передаёт.
 Патриарх седой, себе под руку
 Покоривший и добро и зло,
 Не решаясь обратиться к звуку,
 Тростью на песке чертил число.
                Николай Гумилёв